TEMAS DE GEOMETRÍA

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El conjunto de todas las distribuciones normales forma una variedad estadística con geometría hiperbólica .

La geometría de la información es un campo interdisciplinario que aplica las técnicas de geometría diferencial para estudiar la teoría de la probabilidad y las estadísticas . Estudia múltiples estadísticas , que son múltiples riemannianas cuyos puntos corresponden a distribuciones de probabilidad .

Históricamente, la geometría de la información se remonta al trabajo de CR Rao , quien fue el primero en tratar la matriz de Fisher como una métrica riemanniana . ^[1] [2] La teoría moderna se debe en gran parte a Shun'ichi Amari , cuyo trabajo ha sido muy influyente en el desarrollo del campo. ^{[ cita requerida ]}

Clásicamente, la geometría de la información considera un modelo estadístico parametrizado como una variedad de Riemann . Para tales modelos, existe una elección natural de la métrica de Riemann, conocida como la métrica de información de Fisher . En el caso especial de que el modelo estadístico sea una familia exponencial , es posible inducir la variedad estadística con una métrica de Hess (es decir, una métrica de Riemann dada por el potencial de una función convexa). En este caso, la variedad naturalmente hereda dos conexiones afines planas , así como una divergencia canónica de Bregman.. Históricamente, gran parte del trabajo se dedicó a estudiar la geometría asociada de estos ejemplos. En el entorno moderno, la geometría de la información se aplica a un contexto mucho más amplio, que incluye familias no exponenciales, estadísticas no paramétricas e incluso múltiples estadísticas abstractas no inducidas por un modelo estadístico conocido. Los resultados combinan técnicas de la teoría de la información , la geometría diferencial afín , el análisis convexo y muchos otros campos.

Las referencias estándar en el campo son Shun'ichi Amari y el libro de Hiroshi Nagaoka, Métodos de Geometría de la Información , ^[3] y el libro más reciente de Nihat Ay y otros. ^[4] Frank Nielsen da una suave introducción en la encuesta. ^[5] En 2018, se publicó la revista Information Geometry , que está dedicada al campo.

 geometría integral es la teoría de las medidas en un espacio geométrico invariante bajo el grupo de simetría de ese espacio. En tiempos más recientes, el significado se ha ampliado para incluir una visión de las transformaciones invariantes (o equariantes ) del espacio de funciones en un espacio geométrico al espacio de funciones en otro espacio geométrico. Tales transformaciones a menudo toman la forma de transformaciones integrales , como la transformada de Radon y sus generalizaciones.

Contexto clasico [ editar ]

La geometría integral como tal surgió primero como un intento de refinar ciertas afirmaciones de la teoría de la probabilidad geométrica. La obra temprana de Luis Santaló ^[1] y Wilhelm Blaschke ^[2] fue en este sentido. Se sigue del teorema clásico de Crofton que expresa la longitud de una curva plana como una expectativa del número de intersecciones con una línea aleatoria . Aquí, la palabra "aleatorio" debe interpretarse como sujeto a las consideraciones de simetría correctas.

Hay un espacio muestral de líneas, en el que actúa el grupo afín del plano. Se busca una medida de probabilidaden este espacio, invariante en el grupo de simetría. Si, como en este caso, podemos encontrar una medida invariable de este tipo, el problema de formular con precisión lo que significa la "línea aleatoria" significa que las expectativas se convierten en integrales con respecto a esa medida. (Tenga en cuenta, por ejemplo, que la frase 'acorde aleatorio de un círculo' se puede usar para construir algunas paradojas, por ejemplo, la paradoja de Bertrand ).

Por lo tanto, podemos decir que la geometría integral en este sentido es la aplicación de la teoría de la probabilidad (como axiomatized por Kolmogorov ) en el contexto del programa Erlangen de Klein . El contenido de la teoría es efectivamente el de las medidas invariantes (suaves) en espacios homogéneos (preferiblemente compactos ) de grupos de Lie ; y la evaluación de integrales de las formas diferenciales . ^[3]

Un caso muy famoso es el problema de la aguja de Buffon : deje caer una aguja en un piso hecho de tablas y calcule la probabilidad de que la aguja se encuentre sobre una grieta. Generalizando, esta teoría se aplica a varios procesos estocásticos relacionados con cuestiones geométricas y de incidencia. Ver geometría estocástica.

Uno de los teoremas más interesantes en esta forma de geometría integral es el teorema de Hadwiger .

El significado más reciente de la geometría integral es el de Sigurdur Helgason ^[4] [5] e Israel Gelfand . ^[6] Trata más específicamente de transformaciones integrales, modeladas en la transformada de Radon . Aquí, la relación de incidencia geométrica subyacente (puntos que se encuentran en las líneas, en el caso de Crofton) se ve con una luz más libre, como el sitio para una transformación integral compuesta como retroceso en el gráfico de incidencia y luego empuje hacia adelante .

la geometría inversa es el estudio de las propiedades de las figuras que se conservan mediante una generalización de un tipo de transformación del plano euclidiano , llamada inversión . Estas transformaciones conservan los ángulos y mapean los círculos generalizados en círculos generalizados, donde un círculo generalizado significa un círculo o una línea (en términos generales, un círculo con radio infinito ). Muchos problemas difíciles en geometría se vuelven mucho más manejables cuando se aplica una inversión.

El concepto de inversión puede generalizarse a espacios de dimensión superior .

Inversión del círculo [ editar ]

Inverso de un punto [ editar ]

P ' es el inverso de P con respecto al círculo.

Invertir un número en aritmética usualmente significa "tomar su recíproco". Una idea estrechamente relacionada en geometría es la de "invertir" un punto. En el plano, la inversa de un punto P con respecto a un círculo de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto P ' , que se encuentra en el rayo de O a P , de manera que

$${\ displaystyle OP \ times OP ^ {\ prime} = r ^ {2}.}

Esto se llama inversión de círculo o inversión de plano . La inversión de tomar cualquier punto P (que no sea O ) para su imagen P ' también toma P ' de vuelta a P , por lo que el resultado de aplicar la misma inversión dos veces es la transformación de identidad en todos los puntos del plano que no sea O . ^[1] [2] Para hacer que la inversión sea una involución , es necesario introducir un punto en el infinito , un solo punto situado en todas las líneas y extender la inversión, por definición, para intercambiar el centro O y este punto en el infinito.

De la definición se deduce que la inversión de cualquier punto dentro del círculo de referencia debe estar fuera de él, y viceversa, con el centro y el punto en posiciones infinitas cambiantes, mientras que cualquier punto en el círculo no se ve afectado (es invariante bajo inversión). En resumen, cuanto más cerca esté un punto del centro, más lejos estará su transformación y viceversa.

Construcción de brújula y regla (punto fuera del círculo) [ editar ]

Para construir la inversa P ' de un punto P fuera de un círculo Ø : Sea r el radio de Ø . Triángulos rectángulos de OPN y ONP ' son similares. OP es a rcomo r es a OP ' .

Para construir la inversa P ' de un punto P fuera de un círculo Ø :

• Dibujar el segmento de O (centro del círculo Ø ) a P .
• Sea M el punto medio de OP .
• Dibujar el círculo c con el centro M de pasar por P .
• Sean N y N ' los puntos donde se intersecan Ø y c .
• Dibuja el segmento NN ' .
• P ' es donde se intersecan OP y NN ' .

Construcción de brújula y regla (punto dentro del círculo) [ editar ]

Para construir la inversa P de un punto P ' dentro de un círculo Ø :

• Dibuje el rayo r desde O (centro del círculo Ø ) hasta P ' .
• Dibuja la línea s a través de P ' perpendicular a r .
• Sea N uno de los puntos donde se intersecan Ø y s .
• Dibuja el segmento en ON .
• Dibuja la línea t a través de N perpendicular a ON .
• P es donde el rayo r y la línea t se intersecan.

La construcción de Dutta [ editar ]

Hay una construcción de la punto inverso a A con respecto a un círculo P que es independiente de si A está dentro o fuera P . ^[3]

Considere un círculo P con el centro O y un punto A que puede estar dentro o fuera del círculo P .

• Tome el punto de intersección C de la ray OA con el círculo P .
• Conecte el punto C con un punto arbitrario B en el círculo P (diferente de C )
• Refleje el rayo BA en la línea BC y sea h el reflejo que corta el rayo OC en un punto A '. A 'es el punto inversa de A con respecto al círculo P . ^{[3] : § 3.2}

Propiedades [ editar ]

• 

  La inversa, con respecto al círculo rojo, de un círculo que pasa por O(azul) es una línea que no pasa por O (verde), y viceversa.
 
• 

  La inversa, con respecto al círculo rojo, de un círculo que no pasa por O (azul) es un círculo que no pasa por O(verde), y viceversa.
 
• 

  La inversión con respecto a un círculo no asigna el centro del círculo al centro de su imagen

La inversión de un conjunto de puntos en el plano con respecto a un círculo es el conjunto de inversos de estos puntos. Las siguientes propiedades hacen que la inversión del círculo sea útil.

• Un círculo que pasa por el centro O del círculo de referencia se invierte en una línea que no pasa por O , sino que es paralela a la tangente del círculo original en O , y viceversa; mientras que una línea que pasa a través de O se invierte en sí misma (pero no es invariante puntual). ^[4]
• Un círculo que no pasa por O invierte a un círculo que no pasa por O . Si el círculo se encuentra con el círculo de referencia, estos puntos invariantes de intersección también están en el círculo inverso. Un círculo (o línea) no cambia por inversión si y solo si es ortogonal al círculo de referencia en los puntos de intersección. ^[5]

Las propiedades adicionales incluyen:

• Si un círculo q pasa por dos puntos distintos A y A 'que son inversos con respecto a un círculo k , entonces los círculos k y q son ortogonales.
• Si los círculos k y q son ortogonales, entonces una línea recta que pasa a través del centro O de k y que se interseca con q , lo hace en puntos inversos con respecto a k .
• Dado un triángulo OAB en el que O es el centro de un círculo k , y los puntos A 'y B' son inversos de A y B con respecto a k , entonces

$${\ displaystyle \ angle OAB = \ angle OB'A '\ {\ text {y}} \ \ angle OBA = \ angle OA'B'.}

• Los puntos de intersección de dos círculos p y q ortogonales a un círculo k , son inversos con respecto a k .
• Si M y M 'son puntos inversos con respecto a un círculo k en dos curvas m y m', también inversos con respecto a k , entonces las tangentes a m y m 'en los puntos M y M' son perpendiculares a la recta línea MM 'o forma con esta línea un triángulo isósceles con base MM'.
• La inversión deja inalterada la medida de los ángulos, pero invierte la orientación de los ángulos orientados. ^[6]

Ejemplos en dos dimensiones [ editar ]

• La inversión de una línea es un círculo que contiene el centro de inversión; o es la línea misma si contiene el centro
• La inversión de un círculo es otro círculo; o es una línea si el círculo original contiene el centro
• La inversión de una parábola es un cardioide.
• La inversión de la hipérbola es un lemniscado de Bernoulli.

Aplicación [ editar ]

Para un círculo que no pasa por el centro de inversión, el centro del círculo que se está invirtiendo y el centro de su imagen bajo inversión son colineales con el centro del círculo de referencia. Este hecho se puede usar para probar que la línea de Euler del triángulo de un triángulo de un triángulo coincide con su línea OI. La prueba es aproximadamente la siguiente:

Invertir con respecto al incircle del triángulo ABC . El triángulo medial del triángulo entrante se invierte en el triángulo ABC , es decir, el circuncentro del triángulo medial, es decir, el centro de nueve puntos del triángulo entrante, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC son colineales .

Cualquiera de los dos círculos que no se intersectan puede invertirse en círculos concéntricos . Luego, la distancia inversa (generalmente denotada como δ) se define como el logaritmo natural de la relación de los radios de los dos círculos concéntricos.

Además, cualquiera de los dos círculos que no se intersectan puede invertirse en círculos congruentes , usando un círculo de inversión centrado en un punto en el círculo de antisimilitud .

El enlace Peaucellier-Lipkin es una implementación mecánica de inversión en un círculo. Proporciona una solución exacta al importante problema de la conversión entre movimiento lineal y circular.

Polo y polar [ editar ]

Artículo principal: polo y polar.

Si el punto R es el inverso del punto P, entonces las líneas perpendiculares a la línea PR a través de uno de los puntos son la polar del otro punto (el polo ).

Los polacos y polares tienen varias propiedades útiles:

• Si un punto P se encuentra en una línea l , a continuación, el polo L de la línea l se encuentra en la polar pdel punto P .
• Si un punto P se mueve a lo largo de la línea l , su polar p gira alrededor del polo L de la línea l .
• Si se pueden dibujar dos líneas tangentes desde un polo hasta el círculo, entonces su polar pasa a través de ambos puntos tangentes.
• Si un punto se encuentra en el círculo, su polar es la tangente a través de este punto.
• Si un punto P se encuentra en su propia línea polar, entonces P está en el círculo.
• Cada línea tiene exactamente un polo.

En tres dimensiones [ editar ]

Inversión de una esfera en la esfera roja.

Inversión de un esferoide (en la esfera roja)

Inversión de un hiperboloide de una hoja

La inversión del círculo es generalizable a la inversión de la esfera en tres dimensiones. La inversión de un punto P en 3D con respecto a una esfera de referencia centrada en un punto O con radio R es un punto P 'tal que$${\ displaystyle OP \ times OP ^ {\ prime} = R ^ {2}}y los puntos P y P 'están en el mismo rayo a partir de O . Al igual que con la versión 2D, una esfera invierte en una esfera, excepto que si una esfera pasa a través del centro O de la esfera de referencia, entonces se invierte en un plano. Cualquier plano que no pasa por O , invierte a una esfera de tocar en O . Un círculo, es decir, la intersección de una esfera con un plano secante, se invierte en un círculo, excepto que si el círculo pasa a través de O, se invierte en una línea. Esto reduce al caso 2D cuando el plano secante pasa a través de O , pero es un verdadero fenómeno 3D si el plano secante no pasa por O .

Ejemplos en tres dimensiones [ editar ]

Esfera [ editar ]

La superficie más simple (además de un plano) es la esfera. La primera imagen muestra una inversión no trivial (el centro de la esfera no es el centro de inversión) de una esfera junto con dos lápices de círculos que se intersectan ortogonales.

Cilindro, cono, toro [ editar ]

La inversión de un cilindro, cono o toro da como resultado un ciclo de Dupin .

Esferoide [ editar ]

Un esferoide es una superficie de revolución y contiene un lápiz de círculos que se asigna a un lápiz de círculos (ver imagen). La imagen inversa de un esferoide es una superficie de grado 4.

Hiperboloide de una hoja [ editar ]

Un hiperboloide de una hoja, que es una superficie de revolución, contiene un lápiz de círculos que se asigna a un lápiz de círculos. Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices adicionales de líneas, que se asignan a lápices de círculos. La imagen muestra una de estas líneas (azul) y su inversión.

Proyección estereográfica como la inversión de una esfera [ editar ]

Proyección estereográfica como inversión de una esfera.

Una proyección estereográfica suele proyectar una esfera desde un punto. $${\ displaystyle N} (polo norte) de la esfera sobre el plano tangente en el punto opuesto $${\ displaystyle S}(Polo Sur). Este mapeo se puede realizar mediante una inversión de la esfera en su plano tangente. Si la esfera (a proyectar) tiene la ecuación.$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = - z} (alternativamente escrito $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + (z + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} = {\ tfrac {1} {4}}}; centrar$${\ displaystyle (0,0, -0,5)}radio $${\ displaystyle 0.5}, verde en la imagen), luego será mapeado por la inversión en la esfera unitaria (roja) sobre el plano tangente en el punto $${\ displaystyle S = (0,0, -1)}. Las líneas a través del centro de inversión (punto$${\ displaystyle N}) se asignan a sí mismos. Son las líneas de proyección de la proyección estereográfica.

Coordenadas de 6 esferas [ editar ]

Las coordenadas de 6 esferas son un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional obtenido invirtiendo las coordenadas cartesianas .

Axiomática y generalización [ editar ]

Uno de los primeros en considerar los fundamentos de la geometría inversa fue Mario Pieri en 1911 y 1912. ^[7]Edward Kasner escribió su tesis sobre "Teoría invariante del grupo de inversión". ^[8]

Más recientemente, la estructura matemática de la geometría inversa se ha interpretado como una estructura de incidencia en la que los círculos generalizados se denominan "bloques": en geometría de incidencia , cualquier plano afín junto con un solo punto en el infinito forma un plano de Möbius , también conocido como plano inverso. El punto en el infinito se agrega a todas las líneas. Estos planos de Möbius se pueden describir axiomáticamente y existen tanto en versiones finitas como infinitas.

Un modelo para el plano de Möbius que proviene del plano euclidiano es la esfera de Riemann .

Invariante [ editar ]

La relación cruzada entre 4 puntos.$${\ displaystyle x, y, z, w}Es invariante bajo una inversión. En particular si O es el centro de la inversión y$${\ displaystyle r_ {1}} y $${\ displaystyle r_ {2}} son las distancias a los extremos de una línea L, luego la longitud de la línea $${\ displaystyle d} se convertirá $${\ displaystyle d / (r_ {1} r_ {2})} bajo una inversión con centro O. El invariante es:

$${\ displaystyle I = {\ frac {| xy || wz |} {| xw || yz |}}}

Relación con el programa de Erlangen [ editar ]

Según Coxeter, ^[9] la transformación por inversión en círculo fue inventada por LI Magnus en 1831. Desde entonces, este mapeo se ha convertido en una vía para las matemáticas superiores. A través de algunas medidas de aplicación del mapa inversión del círculo, un estudiante de la geometría de transformación pronto aprecia la importancia de Felix Klein ‘s programa de Erlangen , una consecuencia de ciertos modelos de la geometría hiperbólica

Dilatación [ editar ]

La combinación de dos inversiones en círculos concéntricos da como resultado una similitud , transformación homotética o dilatación caracterizada por la relación de los radios del círculo.

$${\ displaystyle x \ mapsto R ^ {2} {\ frac {x} {| x | ^ {2}}} = y \ mapsto T ^ {2} {\ frac {y} {| y | ^ {2} }} = \ left ({\ frac {T} {R}} \ right) ^ {2} x.}

Reciprocación [ editar ]

Cuando un punto en el plano se interpreta como un número complejo $${\ displaystyle z = x + iy,}con conjugado complejo $${\ displaystyle {\ bar {z}} = x-iy,}entonces el recíproco de z es

$${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}

En consecuencia, la forma algebraica de la inversión en un círculo unitario está dada por $${\ displaystyle z \ mapsto w} dónde:

$${\ displaystyle w = {\ frac {1} {\ bar {z}}} = {\ overline {\ left ({\ frac {1} {z}} \ right)}}}.

La reciprocación es clave en la teoría de la transformación como generador del grupo de Möbius . Los otros generadores son traslación y rotación, ambos familiares a través de manipulaciones físicas en el espacio 3-ambiente. La introducción de la reciprocidad (dependiente de la inversión del círculo) es lo que produce la naturaleza peculiar de la geometría de Möbius, que a veces se identifica con la geometría inversa (del plano euclídeo). Sin embargo, la geometría inversa es el estudio más amplio, ya que incluye la inversión bruta en un círculo (aún no se ha hecho, con conjugación, en reciprocidad). La geometría inversa también incluye el mapeo de conjugación . Ni la conjugación ni la inversión en un círculo están en el grupo de Möbius, ya que no son conformes (ver más abajo). Los elementos del grupo Möbius sonLas funciones analíticas de todo el plano y, por lo tanto, son necesariamente conformes .

Transformando círculos en círculos [ editar ]

Considera, en el plano complejo, el círculo de radio. $${\ displaystyle r} alrededor del punto $${\ displaystyle a}

$${\ displaystyle (za) (za) ^ {*} = r ^ {2}}

donde sin pérdida de generalidad, $${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}.} Usando la definición de inversión

$${\ displaystyle w = {\ frac {1} {z ^ {*}}}}

Es sencillo mostrar que $${\ displaystyle w} obedece la ecuación

$${\ displaystyle ww ^ {*} - {\ frac {a} {(a ^ {2} -r ^ {2})}} (w + w ^ {*}) + {\ frac {a ^ {2} } {(a ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {r ^ {2}} {(a ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2} }}}

Mostrando que el $${\ displaystyle w} describe el circulo de centro $${\ textstyle {\ frac {a} {a ^ {2} -r ^ {2}}}} y radio $${\ textstyle {\ frac {r} {| a ^ {2} -r ^ {2} |}}}.

cuando $${\ displaystyle a \ to r,} El círculo se transforma en la línea paralela al eje imaginario. $${\ displaystyle w + w ^ {*} = {\ tfrac {1} {a}}.

por $${\ displaystyle a \ not \ in \ mathbb {R}} y $${\ displaystyle aa ^ {*} \ neq r ^ {2}} el resultado para $${\ displaystyle w} es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & ww ^ {*} - {\ frac {aw + a ^ {*} w ^ {*}} {(a ^ {*} ar ^ {2})}} + {\ frac {aa ^ {*}} {(aa ^ {*} - r ^ {2}) ^ {2}}} = {\ frac {r ^ {2}} {(aa ^ {*} - r ^ { 2}) ^ {2}}} \\ [4pt] \ Longleftrightarrow {} & \ left (w - {\ frac {a ^ {*}} {aa ^ {*} - r ^ {2}}} \ right ) \ left (w ^ {*} - {\ frac {a} {a ^ {*} ar ^ {2}}} \ right) = \ left ({\ frac {r} {\ left | aa ^ {* } -r ^ {2} \ right |}} \ right) ^ {2} \ end {alineado}}}

Mostrando que el $${\ displaystyle w} describe el circulo de centro $${\ textstyle {\ frac {a ^ {*}} {(aa ^ {*} - r ^ {2})}}} y radio $${\ textstyle {\ frac {r} {\ left | a ^ {*} ar ^ {2} \ right |}}}.

cuando $${\ displaystyle a ^ {*} a \ to r ^ {2},} la ecuación para $${\ displaystyle w} se convierte en

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & aw + a ^ {*} w ^ {*} = 1 \ Longleftrightarrow 2 \ operatorname {Re} \ {aw \} = 1 \ Longleftrightarrow \ operatorname {Re} \ {a \} \ operatorname {Re} \ {w \} - \ operatorname {Im} \ {a \} \ operatorname {Im} \ {w \} = {\ frac {1} {2}} \\ [4pt] \ Longleftrightarrow { } & \ operatorname {Im} \ {w \} = {\ frac {\ operatorname {Re} \ {a \}} {\ operatorname {Im} \ {a \}}} \ cdot \ operatorname {Re} \ { w \} - {\ frac {1} {2 \ cdot \ operatorname {Im} \ {a \}}}. \ end {alineado}}}

Geometría superior [ editar ]

Como se mencionó anteriormente, cero, el origen, requiere una consideración especial en el mapeo de inversión de círculo. El enfoque es adjuntar un punto en el infinito designado ∞ o 1/0. En el enfoque de números complejos, donde la operación de reciprocidad es la operación aparente, este procedimiento conduce a la línea proyectiva compleja , a menudo llamada esfera de Riemann . Fue subespacios y subgrupos de este espacio y grupo de mapeos que se aplicaron para producir modelos tempranos de geometría hiperbólica por Beltrami , Cayley y Klein . Así, la geometría inversiva incluye las ideas originadas por Lobachevsky y Bolyai en su geometría plana. Además, Felix Klein.fue tan abrumado por esta facilidad de mapeos para identificar fenómenos geométricos que entregó un manifiesto, el programa Erlangen , en 1872. Desde entonces, muchos matemáticos reservan el término geometría para un espacio junto con un grupo de mapeos de ese espacio. Las propiedades significativas de las figuras en la geometría son aquellas que son invariantes en este grupo.

Por ejemplo, Smogorzhevsky ^[10] desarrolla varios teoremas de geometría inversa antes de comenzar la geometría lobachevskiana.

En dimensiones superiores [ editar ]

En n espacio dimensional donde hay una esfera de radio r , la inversión en la esfera está dada por

$${\ displaystyle x_ {i} \ mapsto {\ frac {r ^ {2} x_ {i}} {\ sum _ {j} x_ {j} ^ {2}}}}

La transformación por inversión en hiperplanos o hiperesferas en E ⁿ puede utilizarse para generar dilataciones, traslaciones o rotaciones. De hecho, dos hiperesferas concéntricas, que se utilizan para producir inversiones sucesivas, dan como resultado una dilatación o contracción en el centro de las hiperesferas. Tal mapeo se llama una similitud .

Cuando se utilizan dos hiperplanos paralelos para producir reflexiones sucesivas, el resultado es una traducción . Cuando dos hiperplanos se intersecan en una ( n –2) plana , las reflexiones sucesivas producen una rotación en la que cada punto del plano ( n –2) es un punto fijo de cada reflexión y, por lo tanto, de la composición.

Todos estos son mapas conformes , y de hecho, cuando el espacio tiene tres o más dimensiones, los mapeos generados por inversión son los únicos mapeos conformes. El teorema de Liouville es un teorema clásico de la geometría conformal .

La adición de un punto en el infinito al espacio obvia la distinción entre hiperplano y hiperesfera; La geometría inversa de dimensión superior se estudia frecuentemente en el contexto presumido de una n- esfera como espacio base. Las transformaciones de la geometría inversa a menudo se denominan transformaciones de Möbius . La geometría inversa se ha aplicado al estudio de los colorantes o particiones de una n- esfera. ^[11]

Propiedad de mapeo anticonformal [ editar ]

El mapa de inversión del círculo es anticonformal, lo que significa que en cada punto conserva los ángulos e invierte la orientación (un mapa se denomina conforme si conserva los ángulos orientados ). Algebraicamente, un mapa es anticonformal si en cada punto el jacobiano es un escalar multiplicado por una matriz ortogonal con un determinante negativo: en dos dimensiones, el jacobiano debe ser un escalar multiplicado por una reflexión en cada punto. Esto significa que si J es el jacobiano, entonces$${\ displaystyle J \ cdot J ^ {T} = kI} y $${\ displaystyle \ det (J) = - {\ sqrt {k}}.Cálculo del jacobiano en el caso z _i = x _i / || x || ² , donde || x || ² = x ₁ ² + ... + x _n ² da JJ ^T = kI , con k = 1 / || x || ⁴ , y adicionalmente det ( J ) es negativo; De ahí que el mapa inverso sea anticonformal.

En el plano complejo, el mapa de inversión de círculo más obvio (es decir, utilizando el círculo unitario centrado en el origen) es el complejo conjugado del mapa complejo inverso que toma z a 1 / z . El complejo mapa analítico inverso es conforme y su conjugado, la inversión del círculo, es anticonformal. En este caso, una homografía es conforme, mientras que una anti-homografía es anticonformal.

Geometría inversa y geometría hiperbólica [ editar ]

La  esfera ( n - 1) con ecuación

$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} + 2a_ {1} x_ {1} + \ cdots + 2a_ {n} x_ {n} + c = 0}

tendrá un radio positivo si a ₁ ² + ... + a _n ² es mayor que c , y al invertir da la esfera

$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} +2 {\ frac {a_ {1}} {c}} x_ {1} + \ cdots +2 {\ frac {a_ {n}} {c}} x_ {n} + {\ frac {1} {c}} = 0.}

Por lo tanto, será invariante bajo inversión si y solo si c = 1. Pero esta es la condición de ser ortogonal a la esfera unitaria. Por lo tanto, nos llevan a considerar las  esferas ( n - 1) con la ecuación

$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} + 2a_ {1} x_ {1} + \ cdots + 2a_ {n} x_ {n} + 1 = 0,}

que son invariantes bajo inversión, ortogonales a la esfera unitaria, y tienen centros fuera de la esfera. Estos, junto con los hiperplanos subespaciales que separan los hemisferios, son las hipersuperficies del modelo de disco de geometría hiperbólica de Poincaré .

Dado que la inversión en la esfera de la unidad deja las esferas ortogonales a ella invariantes, la inversión asigna los puntos dentro de la esfera de la unidad hacia el exterior y viceversa. Por lo tanto, esto es cierto en general para las esferas ortogonales, y en particular la inversión en una de las esferas ortogonales a la esfera unitaria asigna la esfera unitaria a sí misma. También mapea el interior de la esfera unitaria a sí mismo, con puntos fuera del mapeo de la esfera ortogonal dentro, y viceversa; esto define las reflexiones del modelo de disco de Poincaré si también incluimos con ellas las reflexiones a través de los diámetros que separan los hemisferios de la esfera unitaria. Estas reflexiones generan el grupo de isometrías del modelo, que nos dice que las isometrías son conformes.