TEMAS DE GEOMETRÍA

La geometría proyectiva es un tema en matemáticas . Es el estudio de las propiedades geométricas que son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas . Esto significa que, en comparación con la geometría elemental, la geometría proyectiva tiene una configuración, un espacio proyectivo y un conjunto selectivo de conceptos geométricos básicos diferentes. Las intuiciones básicas son que el espacio proyectivo tiene más puntos que el espacio euclidiano , para una dimensión dada, y que se permiten transformaciones geométricas que transforman los puntos extra (llamados " puntos en el infinito ") en puntos euclidianos, y viceversa.

Las propiedades significativas para la geometría proyectiva son respetadas por esta nueva idea de transformación, que tiene efectos más radicales que los que pueden expresarse mediante una matriz de transformación y traducciones (las transformaciones afines ). El primer problema para los geometers es qué tipo de geometría es adecuada para una situación novedosa. No es posible referirse a los ángulos en la geometría proyectiva como lo está en la geometría euclidiana , porque el ángulo es un ejemplo de un concepto que no es invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se ve en el dibujo en perspectiva . Una fuente para la geometría proyectiva fue, de hecho, la teoría de la perspectiva. Otra diferencia con la geometría elemental es la forma en quese puede decir que las líneas paralelas se encuentran en un punto en el infinito , una vez que el concepto se traduce en términos de geometría proyectiva. Nuevamente, esta noción tiene una base intuitiva, como las vías ferroviarias que se encuentran en el horizonte en un dibujo en perspectiva. Vea el plano proyectivopara los conceptos básicos de la geometría proyectiva en dos dimensiones.

Si bien las ideas estaban disponibles anteriormente, la geometría proyectiva fue principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluía la teoría del espacio proyectivo complejo , las coordenadas utilizadas ( coordenadas homogéneas ) eran números complejos. Varios tipos principales de las matemáticas abstractas más (incluyendo la teoría de invariantes , la escuela italiana de la geometría algebraica , y Felix Klein 's programa de Erlangen que resulta en el estudio de los grupos clásicos ) se basan en la geometría proyectiva. También fue un tema con un gran número de practicantes por su propio bien, como la geometría sintética.. Otro tema que se desarrolló a partir de estudios axiomáticos de la geometría proyectiva es la geometría finita .

El tema de la geometría proyectiva ahora se divide en muchos subtemas de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de variedades proyectivas ) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de las invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).

Descripción general [ editar ]

La Teoría Fundamental de la Geometría Proyectiva.

La geometría descriptiva es un no-elemental métrica forma de la geometría, lo que significa que no se basa en un concepto de distancia. En dos dimensiones comienza con el estudio de configuraciones de puntos y líneas . El hecho de que existe cierto interés geométrico en este entorno escaso fue establecido por primera vez por Desargues y otros en su exploración de los principios del arte en perspectiva . ^[1] En los espacios dimensionales superiores se consideran hiperplanos (que siempre se encuentran) y otros subespacios lineales, que muestran el principio de dualidad.. La ilustración más simple de la dualidad se encuentra en el plano proyectivo, donde las declaraciones "dos puntos distintos determinan una línea única" (es decir, la línea que los atraviesa) y "dos líneas distintas determinan un punto único" (es decir, su punto de intersección) muestran lo mismo La estructura como proposiciones. La geometría proyectiva también puede verse como una geometría de construcciones con un borde recto solo. ^[2]Dado que la geometría proyectiva excluye las construcciones de brújula , no hay círculos, ni ángulos, ni medidas, ni paralelos, ni concepto de intermediación . ^[3] Se observó que los teoremas que se aplican a la geometría proyectiva son declaraciones más simples. Por ejemplo, las diferentes secciones cónicas.son todos equivalentes en geometría proyectiva (compleja), y algunos teoremas sobre círculos pueden considerarse como casos especiales de estos teoremas generales.

A principios del siglo XIX, el trabajo de Jean-Victor Poncelet , Lazare Carnot y otros estableció la geometría proyectiva como un campo independiente de las matemáticas . ^[3] Sus fundamentos rigurosos fueron abordados por Karl von Staudt y perfeccionados por los italianos Giuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro Padoa y Gino Fano a finales del siglo XIX. ^[4] La geometría proyectiva, como la geometría afín y la euclidiana , también puede desarrollarse a partir del programa Erlangen de Felix Klein; La geometría proyectiva se caracteriza porInvariantesbajo transformaciones del grupo proyectivo .

Después de mucho trabajo sobre la gran cantidad de teoremas en el tema, por lo tanto, los conceptos básicos de la geometría proyectiva se entendieron. La estructura de incidencia y la relación cruzada son invariantes fundamentales en las transformaciones proyectivas. La geometría proyectiva puede ser modelada por el plano afín (o espacio afín) más una línea (hiperplano) "en el infinito" y luego tratar esa línea (o hiperplano) como "normal". ^[5] Un modelo algebraico para hacer geometría proyectiva en el estilo de la geometría analítica está dado por coordenadas homogéneas. ^[6] [7] Por otro lado, estudios axiomáticos revelaron la existencia de planos no desarguesianos, ejemplos para mostrar que los axiomas de incidencia pueden modelarse (solo en dos dimensiones) mediante estructuras que no son accesibles al razonamiento a través de sistemas de coordenadas homogéneos.

Medida de crecimiento y los vórtices polares. Basado en el trabajo de Lawrence Edwards.

En un sentido fundamental, la geometría proyectiva y la geometría ordenada son elementales, ya que implican un mínimo de axiomas y pueden usarse como la base para la geometría afín y euclidiana . ^[8] [9] La geometría proyectiva no está "ordenada" ^[3], por lo que es una base distinta para la geometría.

Historia [ editar ]

Más información: Matemáticas y arte.

Las primeras propiedades geométricas de una naturaleza proyectiva fueron descubiertas durante el siglo III por Pappus de Alejandría . ^[3] Filippo Brunelleschi (1404–1472) comenzó a investigar la geometría de la perspectiva durante 1425 ^[10] (vea la historia de la perspectiva para una discusión más detallada del trabajo en las bellas artes que motivó gran parte del desarrollo de la geometría proyectiva). Johannes Kepler (1571–1630) y Gérard Desargues(1591–1661) desarrollaron de forma independiente el concepto de "punto en el infinito". ^[11] Desargues desarrolló una forma alternativa de construir dibujos en perspectiva al generalizar el uso de puntos de fuga para incluir el caso cuando estos están infinitamente lejos. Convirtió la geometría euclidiana , donde las líneas paralelas son verdaderamente paralelas, en un caso especial de un sistema geométrico que lo abarca todo. El estudio de Desargues sobre secciones cónicas llamó la atención de Blaise Pascal, de 16 años, y lo ayudó a formular el teorema de Pascal . Las obras de Gaspard Monge a fines del siglo XVIII y principios del siglo XIX fueron importantes para el posterior desarrollo de la geometría proyectiva. El trabajo de Desargues fue ignorado hasta que Michel Chasles encontró una copia manuscrita durante 1845. Mientras tanto,Jean-Victor Poncelet había publicado el tratado fundacional sobre la geometría proyectiva durante 1822. Poncelet separó las propiedades proyectivas de los objetos en una clase individual y estableció una relación entre las propiedades métricas y proyectivas. Las geometrías no euclidianas descubiertas poco después finalmente se demostró que tenían modelos, como el modelo de Klein del espacio hiperbólico , relacionado con la geometría proyectiva.

Esta geometría proyectiva de principios del siglo XIX era intermedia desde la geometría analítica a la geometría algebraica . Cuando se trata en términos de coordenadas homogéneas , la geometría proyectiva parece una extensión o mejora técnica del uso de coordenadas para reducir los problemas geométricos al álgebra , una extensión que reduce el número de casos especiales. El estudio detallado de las cuadráticas y la " geometría de línea " de Julius Plücker aún forman un rico conjunto de ejemplos para geometristas que trabajan con conceptos más generales.

El trabajo de Poncelet , Jakob Steiner y otros no pretendía extender la geometría analítica . Se suponía que las técnicas eran sintéticas : en efecto , el espacio proyectivo, como se entendía ahora, debía introducirse axiomáticamente. Como resultado, reformular el trabajo inicial en geometría proyectiva para que cumpla con los estándares actuales de rigor puede ser algo difícil. Incluso en el caso del plano proyectivo solo, el enfoque axiomático puede dar como resultado modelos no descriptibles a través del álgebra lineal .

Este período en la geometría fue superado por la investigación sobre la curva algebraica general por Clebsch , Riemann , Max Noether y otros, que extendió las técnicas existentes, y luego por la teoría invariante . Hacia el final del siglo, la escuela italiana de geometría algebraica ( Enriques , Segre , Severi ) se separó del tema tradicional en un área que exigía técnicas más profundas.

Durante la última parte del siglo XIX, el estudio detallado de la geometría proyectiva se puso menos de moda, aunque la literatura es voluminosa. Algunos trabajos importantes se realizaron en geometría enumerativa en particular, por Schubert, que ahora se considera que anticipa la teoría de las clases de Chern , que se toma como representación de la topología algebraica de Grassmannianos .

Paul Dirac estudió geometría proyectiva y la utilizó como base para desarrollar sus conceptos de mecánica cuántica , aunque sus resultados publicados siempre fueron en forma algebraica. Vea un artículo del blog que se refiere a un artículo y un libro sobre este tema, y ​​también a una charla que Dirac dio a una audiencia general durante 1972 en Boston sobre geometría proyectiva, sin información específica sobre su aplicación en su física.

Descripción [ editar ]

La geometría proyectiva es menos restrictiva que la geometría euclidiana o la geometría afín . Es una geometría intrínsecamente no métrica , lo que significa que los hechos son independientes de cualquier estructura métrica. Bajo las transformaciones proyectivas, se preservan la estructura de incidencia y la relación de conjugados armónicos proyectivos . Una gama proyectiva es la base unidimensional. La geometría proyectiva formaliza uno de los principios centrales del arte en perspectiva: que las líneas paralelas se encuentran en el infinito, y por eso se dibujan de esa manera. En esencia, una geometría proyectiva se puede considerar como una extensión de la geometría euclidiana en la que la "dirección" de cada línea se subsume dentro de la línea como un "punto" adicional, y en la que un "horizonte" de direcciones correspondientes a las líneas coplanares es considerado como una "línea". Por lo tanto, dos líneas paralelas se unen en una línea de horizonte en virtud de que incorporan la misma dirección.

Las direcciones idealizadas se denominan puntos en el infinito, mientras que los horizontes idealizados se denominan líneas en el infinito. A su vez, todas estas líneas se encuentran en el plano en el infinito. Sin embargo, el infinito es un concepto métrico, por lo que una geometría puramente proyectiva no destaca ningún punto, línea o plano a este respecto; los del infinito se tratan como cualquier otro.

Debido a que una geometría euclidiana está contenida dentro de una geometría proyectiva, con una geometría proyectiva que tiene una base más simple, los resultados generales en geometría euclidiana pueden derivarse de una manera más transparente, donde teoremas separados pero similares de la geometría euclidiana se pueden manejar colectivamente dentro del marco proyectivo geometría. Por ejemplo, las líneas paralelas y no paralelas no necesitan ser tratadas como casos separados; más bien, un plano proyectivo arbitrario se destaca como el plano ideal y se ubica "en el infinito" utilizando coordenadas homogéneas .

Las propiedades adicionales de importancia fundamental incluyen el teorema de Desargues y el teorema de Pappus . En los espacios proyectivos de dimensión 3 o superior hay una construcción que permite probar el Teorema de Desargues . Pero para la dimensión 2, debe postularse por separado.

Usando el Teorema de Desargues , combinado con los otros axiomas, es posible definir las operaciones básicas de la aritmética, geométricamente. Las operaciones resultantes satisfacen los axiomas de un campo, excepto que la conmutatividad de la multiplicación requiere el teorema del hexágono de Pappus . Como resultado, los puntos de cada línea están en una correspondencia uno a uno con un campo dado, F , complementado por un elemento adicional, ∞, tal que r ⋅ ∞ = ∞ , −∞ = ∞ , r + ∞ = ∞ , r / 0 = ∞ , r / ∞ = 0 , ∞ - r = r - ∞ = ∞ , excepto que0/0 , ∞ / ∞ , ∞ + ∞ , ∞ - ∞ , 0 ⋅ ∞ y ∞ ⋅ 0 permanecen indefinidos.

La geometría proyectiva también incluye una teoría completa de las secciones cónicas , un tema también ampliamente desarrollado en la geometría euclidiana. Hay ventajas en pensar que una hipérbola y una elipse sedistinguen solo por la forma en que la hipérbola se encuentra al otro lado de la línea en el infinito ; y que una parábola se distingue solo por ser tangente a la misma línea. Toda la familia de círculos puede considerarse como cónicas que pasan a través de dos puntos dados en la línea en el infinito , a costa de requerir coordenadas complejas . Dado que las coordenadas no son "sintéticas", uno las reemplaza fijando una línea y dos puntos en ella, y considerando el sistema linealDe todas las cónicas que pasan por esos puntos como objeto básico de estudio. Este método demostró ser muy atractivo para los expertos en geometría, y el tema se estudió a fondo. Un ejemplo de este método es el tratado de múltiples volúmenes de HF Baker .

Hay muchas geometrías proyectivas, que se pueden dividir en discretas y continuas: una geometría discretacomprende un conjunto de puntos, que pueden ser o no finitos en número, mientras que una geometría continuatiene infinitos puntos sin espacios entre ellos.

La única geometría proyectiva de dimensión 0 es un solo punto. Una geometría proyectiva de dimensión 1 consiste en una sola línea que contiene al menos 3 puntos. La construcción geométrica de las operaciones aritméticas no se puede realizar en ninguno de estos casos. Para la dimensión 2, existe una estructura rica en virtud de la ausencia del Teorema de Desargues .

El plano de Fano es el plano proyectivo con la menor cantidad de puntos y líneas.

Según Greenberg (1999) y otros, la geometría proyectiva bidimensional más simple es el plano de Fano , que tiene 3 puntos en cada línea, con 7 puntos y 7 líneas en total, con las siguientes colinealidades:

• [A B C]
• [ADE]
• [AFG]
• [BDG]
• [BEF]
• [CDF]
• [CEG]

con coordenadas homogéneas A = (0,0,1) , B = (0,1,1) , C = (0,1,0) , D = (1,0,1) , E = (1,0, 0) , F = (1,1,1) , G = (1,1,0) o, en coordenadas afines, A = (0,0) , B = (0,1) , C = (∞) , D = (1,0) , E = (0) , F = (1,1) y G = (1) . Las coordenadas afines en un plano desarguesiano para los puntos designados para ser los puntos en el infinito (en este ejemplo: C, E y G) se pueden definir de varias otras maneras.

En notación estándar, una geometría proyectiva finita se escribe PG ( a , b ) donde:

a es la dimensión proyectiva (o geométrica), y

b es uno menos que el número de puntos en una línea (llamado el orden de la geometría).

Así, el ejemplo que tiene solo 7 puntos se escribe PG (2, 2) .

El término "geometría proyectiva" se usa a veces para indicar la geometría abstracta subyacente generalizada y, a veces, para indicar una geometría particular de amplio interés, como la geometría métrica del espacio plano que analizamos mediante el uso de coordenadas homogéneas , y en la que Euclidiana La geometría puede estar incrustada (de ahí su nombre, plano euclidiano extendido ).

La propiedad fundamental que distingue a todas las geometrías proyectivas es la elíptica incidencia propiedad que cualquiera de las dos líneas distintas L y M en el plano proyectivo se cruzan en exactamente un punto P . El caso especial en geometría analítica de líneas paralelas se subsume en la forma más suave de una línea en el infinito en la que P se encuentra. La línea en el infinito es, por lo tanto, una línea como cualquier otra en la teoría: de ninguna manera es especial o distinguida. (En el espíritu posterior del programa Erlangen se podría señalar la forma en que el grupode transformaciones puede mover cualquier línea a la línea en el infinito ).

Las propiedades paralelas de las geometrías elípticas, euclidianas e hiperbólicas contrastan de la siguiente manera:

Dada una línea l y un punto P no en la línea,

Elíptico

no existe una línea a través de P que no cumpla l

Euclidiana

existe exactamente una línea a través de P que no cumple con l

Hiperbólico

existe más de una línea a través de P que no cumple con l

La propiedad paralela de la geometría elíptica es la idea clave que conduce al principio de dualidad proyectiva, posiblemente la propiedad más importante que todas las geometrías proyectivas tienen en común.

La dualidad [ editar ]

Más información: dualidad (geometría proyectiva).

En 1825, Joseph Gergonne señalar el principio de dualidad caracterizar la geometría plano proyectivo: dada cualquier teorema o definición de que la geometría, la sustitución de punto para la línea , se encuentran en por pase a través de , colineal para concurrente , intersección para unirse a , o viceversa, resultados en otro Teorema o definición válida, la "dual" de la primera. De manera similar, en 3 dimensiones, la relación de dualidad se mantiene entre puntos y planos, permitiendo que cualquier teorema se transforme mediante el intercambio de puntos y planos, está contenido por ycontiene. Más generalmente, para espacios proyectivos de dimensión N, hay una dualidad entre los subespacios de dimensión R y dimensión N − R − 1. Para N = 2, esto se especializa en la forma de dualidad más conocida: la que se encuentra entre puntos y líneas. El principio de dualidad también fue descubierto independientemente por Jean-Victor Poncelet .

Para establecer la dualidad solo se requieren los teoremas que son las versiones duales de los axiomas para la dimensión en cuestión. Por lo tanto, para los espacios tridimensionales, es necesario mostrar que (1 *) cada punto se encuentra en 3 planos distintos, (2 *) cada dos planos se intersecan en una línea única y una versión dual de (3 *) para el efecto: si la intersección del plano P y Q es coplanar con la intersección del plano R y S, entonces también lo son las intersecciones respectivas de los planos P y R, Q y S (suponiendo que los planos P y S son distintos de Q y R).

En la práctica, el principio de dualidad nos permite establecer una correspondencia dual entre dos construcciones geométricas. El más famoso de estos es la polaridad o reciprocidad de dos figuras en una curva cónica (en 2 dimensiones) o en una superficie cuadrática (en 3 dimensiones). Un ejemplo común se encuentra en la reciprocidad de un poliedro simétrico en una esfera concéntrica para obtener el poliedro dual.

Otro ejemplo es el teorema de Brianchon , el dual del ya mencionado Teorema de Pascal , y una de cuyas pruebas consiste simplemente en aplicar el principio de dualidad al de Pascal. Aquí hay declaraciones comparativas de estos dos teoremas (en ambos casos dentro del marco del plano proyectivo):

• Pascal: Si los seis vértices de un hexágono se encuentran en una cónica , entonces las intersecciones de sus lados opuestos (consideradas como líneas completas, ya que en el plano proyectivo no existe un "segmento de línea") son tres puntos colineales. La línea que los une se llama línea de Pascal del hexágono.
• Brianchon: Si los seis lados de un hexágono son tangentes a una cónica, entonces sus diagonales (es decir, las líneas que unen vértices opuestos) son tres líneas concurrentes. Su punto de intersección se llama el punto de Brianchon del hexágono.

(Si la cónica se degenera en dos líneas rectas, el de Pascal se convierte en el teorema de Pappus , que no tiene un dato interesante, ya que el punto de Brianchon se convierte trivialmente en el punto de intersección de las dos líneas).

Axiomas de la geometría proyectiva [ editar ]

Cualquier geometría dada puede deducirse de un conjunto apropiado de axiomas . Las geometrías proyectivas se caracterizan por el axioma "elíptico paralelo", que dos planos cualquiera se encuentran siempre en una sola línea , o en el plano, dos líneas siempre se encuentran en un solo punto. En otras palabras, no hay elementos como líneas o planos paralelos en la geometría proyectiva.

Se han propuesto muchos conjuntos alternativos de axiomas para la geometría proyectiva (ver, por ejemplo, Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Los axiomas de Whitehead [ editar ]

Estos axiomas se basan en Whitehead , "Los axiomas de la geometría proyectiva". Hay dos tipos, puntos y líneas, y una relación de "incidencia" entre puntos y líneas. Los tres axiomas son:

• G1: Cada línea contiene al menos 3 puntos
• G2: Cada dos puntos distintos, A y B, se encuentran en una línea única, AB.
• G3: Si las líneas AB y CD se intersecan, también lo hacen las líneas AC y BD (donde se supone que A y D son distintos de B y C).

La razón por la que se supone que cada línea contiene al menos 3 puntos es para eliminar algunos casos degenerados. Los espacios que satisfacen estos tres axiomas tienen, como máximo, una línea, o son espacios proyectivos de alguna dimensión sobre un anillo de división , o son planos no desarguesianos .

Axiomas adicionales [ editar ]

Se pueden agregar otros axiomas que restrinjan la dimensión o el anillo de coordenadas. Por ejemplo, Geometría proyectiva de Coxeter , ^{[12] hace} referencia a Veblen ^[13] en los tres axiomas anteriores, junto con otros 5 axiomas que hacen que la dimensión 3 y el anillo de coordenadas sean un campo conmutativo de característica no 2.

Los axiomas utilizando una relación ternaria [ editar ]

Uno puede perseguir la axiomatización postulando una relación ternaria, [ABC] para denotar cuando tres puntos (no todos necesariamente distintos) son colineales. Una axiomatización se puede escribir en términos de esta relación también:

• C0: [ABA]
• C1: Si A y B son dos puntos tales que [ABC] y [ABD] entonces [BDC]
• C2: Si A y B son dos puntos, entonces hay un tercer punto C tal que [ABC]
• C3: si A y C son dos puntos, B y D también, con [BCE], [ADE] pero no [ABE], entonces hay un punto F tal que [ACF] y [BDF].

Para dos puntos diferentes, A y B, la línea AB se define como consistente en todos los puntos C para los cuales [ABC]. Los axiomas C0 y C1 luego proporcionan una formalización de G2; C2 para G1 y C3 para G3.

El concepto de línea se generaliza a planos y subespacios de dimensiones superiores. Un subespacio, AB ... XY, por lo tanto, puede definirse recursivamente en términos del subespacio AB ... X como el que contiene todos los puntos de todas las líneas YZ, ya que Z se extiende sobre AB ... X. La colinealidad entonces generaliza a la relación de "independencia". Un conjunto {A, B, ..., Z} de puntos es independiente, [AB ... Z] si {A, B, ..., Z} es un subconjunto generador mínimo para el subespacio AB ... Z.

Los axiomas proyectivos pueden complementarse con otros axiomas que postulan límites en la dimensión del espacio. La dimensión mínima está determinada por la existencia de un conjunto independiente del tamaño requerido. Para las dimensiones más bajas, las condiciones relevantes pueden establecerse en forma equivalente de la siguiente manera. Un espacio proyectivo es de:

• (L1) al menos dimensión 0 si tiene al menos 1 punto,
• (L2) al menos dimensión 1 si tiene al menos 2 puntos distintos (y por lo tanto una línea),
• (L3) al menos dimensión 2 si tiene al menos 3 puntos no colineales (o dos líneas, o una línea y un punto no en la línea),
• (L4) al menos dimensión 3 si tiene al menos 4 puntos no coplanares.

La dimensión máxima también se puede determinar de una manera similar. Para las dimensiones más bajas, toman las siguientes formas. Un espacio proyectivo es de:

• (M1) en la dimensión máxima 0 si no tiene más de 1 punto,
• (M2) en la dimensión máxima 1 si no tiene más de 1 línea,
• (M3) en la máxima dimensión 2 si no tiene más de 1 plano,

y así. Es un teorema general (una consecuencia del axioma (3)) que todas las líneas coplanares se intersecan, el principio mismo que originalmente pretendía incorporar la geometría proyectiva. Por lo tanto, la propiedad (M3) puede establecerse de manera equivalente que todas las líneas se intersecan unas con otras.

En general, se supone que los espacios proyectivos son de al menos la dimensión 2. En algunos casos, si el enfoque está en los planos proyectivos, se puede postular una variante de M3. Los axiomas de (Eves 1997: 111), por ejemplo, incluyen (1), (2), (L3) y (M3). Axioma (3) se vuelve vacuamente verdadero en (M3) y, por lo tanto, no es necesario en este contexto.

Axiomas para planos proyectivos [ editar ]

Artículo principal: Plano proyectivo.

En geometría de incidencia , la mayoría de los autores ^[14] dan un tratamiento que abarca el plano Fano PG (2, 2) como el plano proyectivo finito más pequeño. Un sistema de axiomas que logra esto es el siguiente:

• (P1) Cualquier dos puntos distintos se encuentran en una línea única.
• (P2) Cualquiera de las dos líneas distintas se encuentran en un punto único.
• (P3) Existen al menos cuatro puntos de los cuales no hay tres colineales.

La Introducción a la geometría de Coxeter ^[15] ofrece una lista de cinco axiomas para un concepto más restrictivo de un plano proyectivo atribuido a Bachmann, agregando el teorema de Pappus a la lista de axiomas anterior (que elimina los planos no desarguesianos ) y excluyendo los planos proyectivos sobre campos de Característica 2 (las que no satisfacen el axioma de Fano). Los planos restringidos dados de esta manera se parecen más al plano proyectivo real .