TEMAS DE GEOMETRÍA

Para otros usos, vea Similitud (desambiguación) y Transformación de similitud (desambiguación) .

Las figuras que se muestran en el mismo color son similares.

Dos objetos geométricos se llaman similares si ambos tienen la misma forma , o si uno tiene la misma forma que la imagen especular del otro. Más precisamente, uno puede obtenerse del otro al escalar uniformemente (agrandar o reducir), posiblemente con traslación , rotación y reflexiónadicionales . Esto significa que cualquiera de los objetos puede ser reescalado, reposicionado y reflejado, de modo que coincida precisamente con el otro objeto. Si dos objetos son similares, cada uno es congruente.al resultado de una escala uniforme particular de la otra. Una perspectiva moderna y novedosa de similitud es considerar objetos geométricos similares si uno parece congruente con el otro cuando se acerca o se aleja en algún nivel.

Por ejemplo, todos los círculos son similares entre sí, todos los cuadrados son similares entre sí, y todos los triángulos equiláteros son similares entre sí. Por otro lado, los puntos suspensivos no son todos similares entre sí, los rectángulos no son todos similares entre sí, y los triángulos isósceles no son todos similares entre sí.

Si dos ángulos de un triángulo tienen medidas iguales a las medidas de dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son similares. Los lados correspondientes de polígonos similares están en proporción, y los ángulos correspondientes de polígonos similares tienen la misma medida.

Este artículo asume que una escala puede tener un factor de escala de 1, de modo que todas las formas congruentes también son similares, pero algunos libros de texto escolares excluyen específicamente los triángulos congruentes de su definición de triángulos similares al insistir en que los tamaños deben ser diferentes si los triángulos son calificar como similar.

Triángulos similares [ editar ]

En geometría, dos triángulos, △ ABC y △ A′B′C ′ , son similares si y solo si los ángulos correspondientes tienen la misma medida: esto implica que son similares si y solo si las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales . ^[1] Se puede mostrar que dos triángulos que tienen ángulos congruentes ( triángulos equiangulares ) son similares, es decir, se puede probar que los lados correspondientes son proporcionales. Esto se conoce como el teorema de similitud AAA. ^[2]Tenga en cuenta que el "AAA" es un mnemotécnico: cada una de las tres A se refiere a un "ángulo". Debido a este teorema, varios autores simplifican la definición de triángulos similares para exigir que los tres ángulos correspondientes sean congruentes. ^[3]

Hay varias declaraciones, cada una de las cuales es necesaria y suficiente para que dos triángulos sean similares:

• Los triángulos tienen dos ángulos congruentes, ^[4] que en la geometría euclidiana implica que todos sus ángulos son congruentes. ^[5] Eso es:

Si ∠ BAC es igual en medida a ∠ B′A′C ′ , y ∠ ABC es igual en medida a ∠ A′B′C ′ , entonces esto implica que ∠ ACB es igual en medida a ∠ A′C′B ′ y los triángulos son similares.

• Todos los lados correspondientes tienen longitudes en la misma proporción: ^[6]

AB/A′B ′ =BC/B′C ′ =AC/A′C ′ . Esto equivale a decir que un triángulo (o su imagen reflejada) es unaampliacióndel otro.

• Dos lados tienen longitudes en la misma proporción, y los ángulos incluidos entre estos lados tienen la misma medida. ^[7] Por ejemplo:

AB/A′B ′ =BC/B′C ′ y∠ABCes igual en medida a∠A′B′C ′.

Esto se conoce como el criterio de similitud de SAS. ^[8] El "SAS" es un mnemotécnico: cada una de las dos S se refiere a un "lado"; la A se refiere a un "ángulo" entre los dos lados.

Cuando dos triángulos △ ABC y △ A′B′C ′ son similares, uno escribe ^{[9] : p. 22}

△ ABC ∼ △ A′B′C ′ .

Hay varios resultados elementales concernientes a triángulos similares en geometría euclidiana: ^[10]

• Cualquiera de los dos triángulos equiláteros son similares.
• Dos triángulos, ambos similares a un tercer triángulo, son similares entre sí ( transitividad de similitud de triángulos).
• Las altitudes correspondientes de triángulos similares tienen la misma proporción que los lados correspondientes.
• Dos triángulos rectos son similares si la hipotenusa y otro lado tienen longitudes en la misma proporción. ^[11]

Dado un triángulo △ ABC y un segmento de línea DE , con la regla y la brújula se puede encontrar un punto Ftal que △ ABC ∼ △ DEF . La afirmación de que el punto F que cumple esta condición existe es el postulado de Wallis ^[12] y es lógicamente equivalente al postulado paralelo de Euclid . ^[13] En geometría hiperbólica (donde el postulado de Wallis es falso) triángulos similares son congruentes.

En el tratamiento axiomático de la geometría euclidiana proporcionado por GD Birkhoff (ver los axiomas de Birkhoff ), el criterio de similitud de SAS dado anteriormente se usó para reemplazar tanto el Postulado Paralelo de Euclides como el axioma de SAS que permitió la reducción dramática de los axiomas de Hilbert . ^[8]

Triángulos similares proporcionan la base para muchas pruebas sintéticas (sin el uso de coordenadas) en la geometría euclidiana. Entre los resultados elementales que se pueden probar de esta manera son: el ángulo bisector teorema , el teorema de media geométrica , el teorema de Ceva , el teorema de Menelao y el teorema de Pitágoras . Triángulos similares también proporcionan los fundamentos para la trigonometría del triángulo rectángulo . ^[14]

Otros polígonos similares [ editar ]

El concepto de similitud se extiende a polígonos con más de tres lados. Dados dos polígonos similares, los lados correspondientes tomados en la misma secuencia (incluso si en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el contrario para la otra) son proporcionales y los ángulos correspondientes tomados en la misma secuencia son iguales en medida. Sin embargo, la proporcionalidad de los lados correspondientes no es suficiente por sí misma para demostrar la similitud de polígonos más allá de los triángulos (de lo contrario, por ejemplo, todos los rombos serían similares). Del mismo modo, la igualdad de todos los ángulos en secuencia no es suficiente para garantizar la similitud (de lo contrario, todos los rectángulos serían similares). Una condición suficiente para la similitud de los polígonos es que los lados y las diagonales correspondientes sean proporcionales.

Para n dada , todos los n -gons regulares son similares.

Curvas similares [ editar ]

Varios tipos de curvas tienen la propiedad de que todos los ejemplos de ese tipo son similares entre sí. Éstos incluyen:

• Círculos
• Parabolas ^[15]
• Hipérbolas de una excentricidad específica ^[16]
• Elipses de una excentricidad específica ^[16]
• Catenarias ^[17]
• Gráficos de la función logarítmica para diferentes bases.
• Gráficas de la función exponencial para diferentes bases.
• Las espirales logarítmicas son auto-similares.

En el espacio euclidiano [ editar ]

Una similitud (también llamada transformación de similitud o similitud ) de un espacio euclidiano es una bijección f del espacio sobre sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo número real positivo r , de modo que para dos puntos x y y tenemos

$${\ displaystyle d (f (x), f (y)) = rd (x, y), \,}

donde " d ( x , y ) " es la distancia euclidiana de x a y . ^[18] El escalar r tiene muchos nombres en la literatura incluyendo; la relación de similitud , el factor de estiramiento y el coeficiente de similitud . Cuando r = 1, una similitud se llama isometría (movimiento rígido). Dos conjuntos se llaman similares si uno es la imagen del otro bajo una similitud.

Como un mapa f  : ℝ ⁿ → ℝ ⁿ , una similitud de razón r toma la forma

$${\ displaystyle f (x) = rAx + t,}

donde A ∈ O _n (ℝ) es una matriz ortogonal n × n y t ∈ ℝ ⁿ es un vector de traducción.

Las similitudes preservan planos, líneas, perpendicularidad, paralelismo, puntos medios, desigualdades entre distancias y segmentos de líneas. ^{[19] Las} similitudes conservan los ángulos pero no necesariamente conservan la orientación, las similitudes directas preservan la orientación y las similitudes opuestas la cambian. ^[20]

Las similitudes de espacio euclidiano forman un grupo bajo la operación de composición llamado el grupo similitudes S . ^[21] Las similitudes directas forman un subgrupo normal de S y el grupo euclídeo E ( n ) de isometrías también forma un subgrupo normal. ^[22] El grupo de similitudes S es en sí mismo un subgrupo del grupo afín , por lo que cada similitud es una transformación afín .

Uno puede ver el plano euclidiano como el plano complejo , ^[23] es decir, como un espacio bidimensional sobre los reales . Las transformaciones de similitud 2D a continuación, se pueden expresar en términos de la aritmética compleja y están dadas por f ( z ) = az + b (similitudes directos) y f ( z ) = a z + b (similitudes opuestos), donde un y b son complejos números, un ≠ 0 . Cuando | un | = 1 , estas similitudes son isometrias.

Razones de lados, de áreas, y de volúmenes [ editar ]

Artículo principal: Ley de cubo cuadrado.

La relación entre las áreas de figuras similares es igual al cuadrado de la relación de longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el lado de un cuadrado o el radio de un círculo se multiplica por tres, su área se multiplica por nueve - es decir, por tres al cuadrado). Las altitudes de triángulos similares están en la misma proporción que los lados correspondientes. Si un triángulo tiene un lado de longitud b y una altitud dibujada a ese lado de longitud h, entonces un triángulo similar con el lado correspondiente de longitud kb tendrá una altitud dibujada a ese lado de longitud kh . El área de la primera triángulo es, A = 1/2 bh, Mientras que el área del triángulo similares será A ' = 1/2 ( kb ) ( kh ) = k ² A . Figuras similares que pueden descomponerse en triángulos similares tendrán áreas relacionadas de la misma manera. La relación se mantiene para las cifras que no son rectificables también.

La relación entre los volúmenes de figuras similares es igual al cubo de la relación de longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el borde de un cubo o el radio de una esfera se multiplica por tres, su volumen se multiplica por 27 - es decir, por tres cubos).

La ley del cuadrado de Galileo se refiere a sólidos similares. Si la relación de similitud (relación de lados correspondientes) entre los sólidos es k , entonces la relación de las áreas de superficie de los sólidos será k ² , mientras que la relación de volúmenes será k ³ .

En espacios métricos generales [ editar ]

Triángulo de Sierpiński . Un espacio que tiene una dimensión de auto-similitud log 3/log 2 = log ₂ 3 , que es aproximadamente 1.58. (De la dimensión de Hausdorff .)

En un espacio métrico general ( X , d ) , una similitudexacta es una función f del espacio métrico X en sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo escalarpositivo r , llamado factor de contracción de f , de modo que para cualquier dos puntos x y y tenemos

$${\ displaystyle d (f (x), f (y)) = rd (x, y). \, \,}

Las versiones más débiles de la similitud, por ejemplo, tendrían f ser una función bi- Lipschitz y el escalar r un límite

$${\ displaystyle \ lim {\ frac {d (f (x), f (y))} {d (x, y)}} = r.}

Esta versión más débil se aplica cuando la métrica es una resistencia efectiva en un conjunto topológicamente similar a uno mismo.

Un subconjunto auto-similar de un espacio métrico ( X , d )es un conjunto K para el cual existe un conjunto finito de similitudes { f _s } _s ∈ S con factores de contracción 0 ≤ r _s <1 font=""> tal que K es el único compacto subconjunto de Xpara el cual

Un conjunto auto-similar construido con dos similitudes z '= 0.1 [(4 + i) z + 4] y z' = 0.1 [(4 + 7i) z * + 5-2i]

$${\ displaystyle \ bigcup _ {s \ en S} f_ {s} (K) = K. \,}

Estos conjuntos auto-similares tienen una medida auto-similar μ ^D con dimensión D dada por la fórmula

$${\ displaystyle \ sum _ {s \ en S} (r_ {s}) ^ {D} = 1 \,}

que a menudo es (pero no siempre) igual a la dimensión de Hausdorff y la dimensión de embalaje del conjunto . Si las superposiciones entre las f _s ( K ) son "pequeñas", tenemos la siguiente fórmula simple para la medida:

$${\ displaystyle \ mu ^ {D} (f_ {s_ {1}} \ circ f_ {s_ {2}} \ circ \ cdots \ circ f_ {s_ {n}} (K)) = (r_ {s_ {1 }} \ cdot r_ {s_ {2}} \ cdots r_ {s_ {n}}) ^ {D}. \,}

Topología [ editar ]

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En la topología , un espacio métrico se puede construir definiendo una similitud en lugar de una distancia . La similitud es una función de tal manera que su valor es mayor cuando dos puntos están más cerca (al contrario de la distancia, que es una medida de disimilitud: cuanto más cerca de los puntos, menor es la distancia).

La definición de la similitud puede variar entre los autores, según las propiedades que se deseen. Las propiedades comunes básicas son

1. Positivo definido:

   $${\ displaystyle \ forall (a, b), S (a, b) \ geq 0}

2. Especializado por la similitud de un elemento en sí mismo ( auto-similitud ):

   $${\ displaystyle S (a, b) \ leq S (a, a) \ quad {\ text {y}} \ quad \ forall (a, b), S (a, b) = S (a, a) \ Leftrightarrow a = b}

Se pueden invocar más propiedades, como la reflectividad ($${\ displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) = S (b, a)}) o finitud ({\ displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) <\ infty}). El valor superior a menudo se establece en 1 (creando una posibilidad para una interpretación probabilística de la similitud).

Tenga en cuenta que, en el sentido topológico utilizado aquí, una similitud es un tipo de medida . Este uso no es lo mismo que la transformación de similitud de las secciones § En el espacio euclidiano y § En espacios métricos generales de este artículo.

Auto-semejanza [ editar ]

La auto-similitud significa que un patrón no es trivialmente similar a sí mismo, por ejemplo, el conjunto {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12,…} de números de la forma { 2 ⁱ , 3 · 2 ⁱ } donde i abarca todos los enteros. Cuando este conjunto se traza en una escala logarítmica , tiene una simetría de traslaciónunidimensional : sumar o restar el logaritmo de dos al logaritmo de uno de estos números produce el logaritmo de otro de estos números. En el propio conjunto de números, esto corresponde a una transformación de similitud en la que los números se multiplican o se dividen por dos.

Psicología [ editar ]

La intuición para la noción de similitud geométrica ya aparece en los niños humanos, como se puede ver en sus dibujos.

Para otros usos, vea Similitud (desambiguación) y Transformación de similitud (desambiguación) .

Las figuras que se muestran en el mismo color son similares.

Dos objetos geométricos se llaman similares si ambos tienen la misma forma , o si uno tiene la misma forma que la imagen especular del otro. Más precisamente, uno puede obtenerse del otro al escalar uniformemente (agrandar o reducir), posiblemente con traslación , rotación y reflexiónadicionales . Esto significa que cualquiera de los objetos puede ser reescalado, reposicionado y reflejado, de modo que coincida precisamente con el otro objeto. Si dos objetos son similares, cada uno es congruente.al resultado de una escala uniforme particular de la otra. Una perspectiva moderna y novedosa de similitud es considerar objetos geométricos similares si uno parece congruente con el otro cuando se acerca o se aleja en algún nivel.

Por ejemplo, todos los círculos son similares entre sí, todos los cuadrados son similares entre sí, y todos los triángulos equiláteros son similares entre sí. Por otro lado, los puntos suspensivos no son todos similares entre sí, los rectángulos no son todos similares entre sí, y los triángulos isósceles no son todos similares entre sí.

Si dos ángulos de un triángulo tienen medidas iguales a las medidas de dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son similares. Los lados correspondientes de polígonos similares están en proporción, y los ángulos correspondientes de polígonos similares tienen la misma medida.

Este artículo asume que una escala puede tener un factor de escala de 1, de modo que todas las formas congruentes también son similares, pero algunos libros de texto escolares excluyen específicamente los triángulos congruentes de su definición de triángulos similares al insistir en que los tamaños deben ser diferentes si los triángulos son calificar como similar.

Triángulos similares [ editar ]

En geometría, dos triángulos, △ ABC y △ A′B′C ′ , son similares si y solo si los ángulos correspondientes tienen la misma medida: esto implica que son similares si y solo si las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales . ^[1] Se puede mostrar que dos triángulos que tienen ángulos congruentes ( triángulos equiangulares ) son similares, es decir, se puede probar que los lados correspondientes son proporcionales. Esto se conoce como el teorema de similitud AAA. ^[2]Tenga en cuenta que el "AAA" es un mnemotécnico: cada una de las tres A se refiere a un "ángulo". Debido a este teorema, varios autores simplifican la definición de triángulos similares para exigir que los tres ángulos correspondientes sean congruentes. ^[3]

Hay varias declaraciones, cada una de las cuales es necesaria y suficiente para que dos triángulos sean similares:

• Los triángulos tienen dos ángulos congruentes, ^[4] que en la geometría euclidiana implica que todos sus ángulos son congruentes. ^[5] Eso es:

Si ∠ BAC es igual en medida a ∠ B′A′C ′ , y ∠ ABC es igual en medida a ∠ A′B′C ′ , entonces esto implica que ∠ ACB es igual en medida a ∠ A′C′B ′ y los triángulos son similares.

• Todos los lados correspondientes tienen longitudes en la misma proporción: ^[6]

AB/A′B ′ =BC/B′C ′ =AC/A′C ′ . Esto equivale a decir que un triángulo (o su imagen reflejada) es unaampliacióndel otro.

• Dos lados tienen longitudes en la misma proporción, y los ángulos incluidos entre estos lados tienen la misma medida. ^[7] Por ejemplo:

AB/A′B ′ =BC/B′C ′ y∠ABCes igual en medida a∠A′B′C ′.

Esto se conoce como el criterio de similitud de SAS. ^[8] El "SAS" es un mnemotécnico: cada una de las dos S se refiere a un "lado"; la A se refiere a un "ángulo" entre los dos lados.

Cuando dos triángulos △ ABC y △ A′B′C ′ son similares, uno escribe ^{[9] : p. 22}

△ ABC ∼ △ A′B′C ′ .

Hay varios resultados elementales concernientes a triángulos similares en geometría euclidiana: ^[10]

• Cualquiera de los dos triángulos equiláteros son similares.
• Dos triángulos, ambos similares a un tercer triángulo, son similares entre sí ( transitividad de similitud de triángulos).
• Las altitudes correspondientes de triángulos similares tienen la misma proporción que los lados correspondientes.
• Dos triángulos rectos son similares si la hipotenusa y otro lado tienen longitudes en la misma proporción. ^[11]

Dado un triángulo △ ABC y un segmento de línea DE , con la regla y la brújula se puede encontrar un punto Ftal que △ ABC ∼ △ DEF . La afirmación de que el punto F que cumple esta condición existe es el postulado de Wallis ^[12] y es lógicamente equivalente al postulado paralelo de Euclid . ^[13] En geometría hiperbólica (donde el postulado de Wallis es falso) triángulos similares son congruentes.

En el tratamiento axiomático de la geometría euclidiana proporcionado por GD Birkhoff (ver los axiomas de Birkhoff ), el criterio de similitud de SAS dado anteriormente se usó para reemplazar tanto el Postulado Paralelo de Euclides como el axioma de SAS que permitió la reducción dramática de los axiomas de Hilbert . ^[8]

Triángulos similares proporcionan la base para muchas pruebas sintéticas (sin el uso de coordenadas) en la geometría euclidiana. Entre los resultados elementales que se pueden probar de esta manera son: el ángulo bisector teorema , el teorema de media geométrica , el teorema de Ceva , el teorema de Menelao y el teorema de Pitágoras . Triángulos similares también proporcionan los fundamentos para la trigonometría del triángulo rectángulo . ^[14]

Otros polígonos similares [ editar ]

El concepto de similitud se extiende a polígonos con más de tres lados. Dados dos polígonos similares, los lados correspondientes tomados en la misma secuencia (incluso si en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el contrario para la otra) son proporcionales y los ángulos correspondientes tomados en la misma secuencia son iguales en medida. Sin embargo, la proporcionalidad de los lados correspondientes no es suficiente por sí misma para demostrar la similitud de polígonos más allá de los triángulos (de lo contrario, por ejemplo, todos los rombos serían similares). Del mismo modo, la igualdad de todos los ángulos en secuencia no es suficiente para garantizar la similitud (de lo contrario, todos los rectángulos serían similares). Una condición suficiente para la similitud de los polígonos es que los lados y las diagonales correspondientes sean proporcionales.

Para n dada , todos los n -gons regulares son similares.

Curvas similares [ editar ]

Varios tipos de curvas tienen la propiedad de que todos los ejemplos de ese tipo son similares entre sí. Éstos incluyen:

• Círculos
• Parabolas ^[15]
• Hipérbolas de una excentricidad específica ^[16]
• Elipses de una excentricidad específica ^[16]
• Catenarias ^[17]
• Gráficos de la función logarítmica para diferentes bases.
• Gráficas de la función exponencial para diferentes bases.
• Las espirales logarítmicas son auto-similares.

En el espacio euclidiano [ editar ]

Una similitud (también llamada transformación de similitud o similitud ) de un espacio euclidiano es una bijección f del espacio sobre sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo número real positivo r , de modo que para dos puntos x y y tenemos

$${\ displaystyle d (f (x), f (y)) = rd (x, y), \,}

donde " d ( x , y ) " es la distancia euclidiana de x a y . ^[18] El escalar r tiene muchos nombres en la literatura incluyendo; la relación de similitud , el factor de estiramiento y el coeficiente de similitud . Cuando r = 1, una similitud se llama isometría (movimiento rígido). Dos conjuntos se llaman similares si uno es la imagen del otro bajo una similitud.

Como un mapa f  : ℝ ⁿ → ℝ ⁿ , una similitud de razón r toma la forma

$${\ displaystyle f (x) = rAx + t,}

donde A ∈ O _n (ℝ) es una matriz ortogonal n × n y t ∈ ℝ ⁿ es un vector de traducción.

Las similitudes preservan planos, líneas, perpendicularidad, paralelismo, puntos medios, desigualdades entre distancias y segmentos de líneas. ^{[19] Las} similitudes conservan los ángulos pero no necesariamente conservan la orientación, las similitudes directas preservan la orientación y las similitudes opuestas la cambian. ^[20]

Las similitudes de espacio euclidiano forman un grupo bajo la operación de composición llamado el grupo similitudes S . ^[21] Las similitudes directas forman un subgrupo normal de S y el grupo euclídeo E ( n ) de isometrías también forma un subgrupo normal. ^[22] El grupo de similitudes S es en sí mismo un subgrupo del grupo afín , por lo que cada similitud es una transformación afín .

Uno puede ver el plano euclidiano como el plano complejo , ^[23] es decir, como un espacio bidimensional sobre los reales . Las transformaciones de similitud 2D a continuación, se pueden expresar en términos de la aritmética compleja y están dadas por f ( z ) = az + b (similitudes directos) y f ( z ) = a z + b (similitudes opuestos), donde un y b son complejos números, un ≠ 0 . Cuando | un | = 1 , estas similitudes son isometrias.

Razones de lados, de áreas, y de volúmenes [ editar ]

Artículo principal: Ley de cubo cuadrado.

La relación entre las áreas de figuras similares es igual al cuadrado de la relación de longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el lado de un cuadrado o el radio de un círculo se multiplica por tres, su área se multiplica por nueve - es decir, por tres al cuadrado). Las altitudes de triángulos similares están en la misma proporción que los lados correspondientes. Si un triángulo tiene un lado de longitud b y una altitud dibujada a ese lado de longitud h, entonces un triángulo similar con el lado correspondiente de longitud kb tendrá una altitud dibujada a ese lado de longitud kh . El área de la primera triángulo es, A = 1/2 bh, Mientras que el área del triángulo similares será A ' = 1/2 ( kb ) ( kh ) = k ² A . Figuras similares que pueden descomponerse en triángulos similares tendrán áreas relacionadas de la misma manera. La relación se mantiene para las cifras que no son rectificables también.

La relación entre los volúmenes de figuras similares es igual al cubo de la relación de longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el borde de un cubo o el radio de una esfera se multiplica por tres, su volumen se multiplica por 27 - es decir, por tres cubos).

La ley del cuadrado de Galileo se refiere a sólidos similares. Si la relación de similitud (relación de lados correspondientes) entre los sólidos es k , entonces la relación de las áreas de superficie de los sólidos será k ² , mientras que la relación de volúmenes será k ³ .

En espacios métricos generales [ editar ]

Triángulo de Sierpiński . Un espacio que tiene una dimensión de auto-similitud log 3/log 2 = log ₂ 3 , que es aproximadamente 1.58. (De la dimensión de Hausdorff .)

En un espacio métrico general ( X , d ) , una similitudexacta es una función f del espacio métrico X en sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo escalarpositivo r , llamado factor de contracción de f , de modo que para cualquier dos puntos x y y tenemos

$${\ displaystyle d (f (x), f (y)) = rd (x, y). \, \,}

Las versiones más débiles de la similitud, por ejemplo, tendrían f ser una función bi- Lipschitz y el escalar r un límite

$${\ displaystyle \ lim {\ frac {d (f (x), f (y))} {d (x, y)}} = r.}

Esta versión más débil se aplica cuando la métrica es una resistencia efectiva en un conjunto topológicamente similar a uno mismo.

Un subconjunto auto-similar de un espacio métrico ( X , d )es un conjunto K para el cual existe un conjunto finito de similitudes { f _s } _s ∈ S con factores de contracción 0 ≤ r _s <1 font=""> tal que K es el único compacto subconjunto de Xpara el cual

Un conjunto auto-similar construido con dos similitudes z '= 0.1 [(4 + i) z + 4] y z' = 0.1 [(4 + 7i) z * + 5-2i]

$${\ displaystyle \ bigcup _ {s \ en S} f_ {s} (K) = K. \,}

Estos conjuntos auto-similares tienen una medida auto-similar μ ^D con dimensión D dada por la fórmula

$${\ displaystyle \ sum _ {s \ en S} (r_ {s}) ^ {D} = 1 \,}

que a menudo es (pero no siempre) igual a la dimensión de Hausdorff y la dimensión de embalaje del conjunto . Si las superposiciones entre las f _s ( K ) son "pequeñas", tenemos la siguiente fórmula simple para la medida:

$${\ displaystyle \ mu ^ {D} (f_ {s_ {1}} \ circ f_ {s_ {2}} \ circ \ cdots \ circ f_ {s_ {n}} (K)) = (r_ {s_ {1 }} \ cdot r_ {s_ {2}} \ cdots r_ {s_ {n}}) ^ {D}. \,}

Topología [ editar ]

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En la topología , un espacio métrico se puede construir definiendo una similitud en lugar de una distancia . La similitud es una función de tal manera que su valor es mayor cuando dos puntos están más cerca (al contrario de la distancia, que es una medida de disimilitud: cuanto más cerca de los puntos, menor es la distancia).

La definición de la similitud puede variar entre los autores, según las propiedades que se deseen. Las propiedades comunes básicas son

1. Positivo definido:

   $${\ displaystyle \ forall (a, b), S (a, b) \ geq 0}

2. Especializado por la similitud de un elemento en sí mismo ( auto-similitud ):

   $${\ displaystyle S (a, b) \ leq S (a, a) \ quad {\ text {y}} \ quad \ forall (a, b), S (a, b) = S (a, a) \ Leftrightarrow a = b}

Se pueden invocar más propiedades, como la reflectividad ($${\ displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) = S (b, a)}) o finitud ({\ displaystyle \ forall (a, b) \ S (a, b) <\ infty}). El valor superior a menudo se establece en 1 (creando una posibilidad para una interpretación probabilística de la similitud).

Tenga en cuenta que, en el sentido topológico utilizado aquí, una similitud es un tipo de medida . Este uso no es lo mismo que la transformación de similitud de las secciones § En el espacio euclidiano y § En espacios métricos generales de este artículo.

Auto-semejanza [ editar ]

La auto-similitud significa que un patrón no es trivialmente similar a sí mismo, por ejemplo, el conjunto {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12,…} de números de la forma { 2 ⁱ , 3 · 2 ⁱ } donde i abarca todos los enteros. Cuando este conjunto se traza en una escala logarítmica , tiene una simetría de traslaciónunidimensional : sumar o restar el logaritmo de dos al logaritmo de uno de estos números produce el logaritmo de otro de estos números. En el propio conjunto de números, esto corresponde a una transformación de similitud en la que los números se multiplican o se dividen por dos.