TEMAS DE GEOMETRÍA

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Dos figuras geométricas similares relacionados por una transformación homotética con respecto a un centro homotética S . Los ángulos en los puntos correspondientes son los mismos y tienen el mismo sentido; por ejemplo, los ángulos ABC y A'B'C 'son a la derecha e iguales en magnitud.

En matemáticas , una homotecia (o homología , o dilatación homogénea ) es una transformación de un espacio afín determinado por un punto S llamado su centro y un número distinto de cero λ llamado su relación , que envía

$${\ displaystyle M \ mapsto S + \ lambda {\ overrightarrow {SM}},}

en otras palabras, corrige S y envía cualquier M a otro punto N , de manera que el segmento SN esté en la misma línea que SM , pero escalado por un factor λ . ^[1] En las homotecías de geometría euclidiana son las similitudes que fijan un punto y conservan (si λ > 0 ) o invierten (si λ <0 font=""> ) la dirección de todos los vectores. Junto con las traducciones , todas las homotecias de un espacio afín (o euclidiano) forman un grupo , el grupo de dilataciones o homotety-traducciones. Estas son precisamente las transformaciones afines con la propiedad de que la imagen de cada línea L es una línea paralela a L .

En la geometría proyectiva , una transformación homotética es una transformación de similitud (es decir, corrige una involución elíptica dada) que deja la línea en un infinito puntual invariable . ^[2]

En la geometría euclidiana, una proporción de la proporción λ multiplica las distancias entre los puntos por | λ | y todas las áreas por λ ² . El primer número se denomina relación de aumento o factor de dilatación o factor de escala o relación de similitud . Dicha transformación puede denominarse ampliación si el factor de escala excede de 1. El punto fijo S mencionado anteriormente se denomina centro homotético o centro de similitud o centro de similitud .

El término, acuñado por el matemático francés Michel Chasles , se deriva de dos elementos griegos: el prefijo homo- ( όμο ), que significa "similar", y tesis ( Θέσις ), que significa "posición". Describe la relación entre dos figuras de la misma forma y orientación. Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas.

Homotecia y la escala uniforme [ editar ]

Si el centro homotético S coincide con el origen O del espacio vectorial ( S = O ), entonces cada homotetría con factor de escala λ es equivalente a una escala uniforme por el mismo factor, que envía

$${\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} \ mapsto \ lambda {\ overrightarrow {OM}}.}

Como consecuencia, en el caso específico en el que S = O , la homogeneidad se convierte en una transformación lineal , que preserva no solo la colinealidad de los puntos (las líneas rectas se mapean en líneas rectas), sino también la adición de vectores y la multiplicación escalar.

La imagen de un punto ( x , y ) después de una homotety con el centro ( a , b ) y el factor de escala λ viene dada por ( a + λ ( x - a ), b + λ ( y - b )).

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Un corte horizontal del plano con coeficiente m = 1.25, ilustrado por su efecto (en verde) en una cuadrícula rectangular y algunas figuras (en azul). El punto negro es el origen.

En geometría plana , un mapeo de corte es un mapa lineal que desplaza cada punto en una dirección fija, en una cantidad proporcional a su distancia con signo desde la línea que es paralela a esa dirección y pasa por el origen. ^[1] Este tipo de mapeo también se llama transformación de corte , transvección o simplemente corte .

Un ejemplo es el mapeo que toma cualquier punto con coordenadas. $${\ displaystyle (x, y)} al punto $${\ displaystyle (x + 2y, y)}. En este caso, el desplazamiento es horizontal, la línea fija es la$${\ displaystyle x}-axis, y la distancia firmada es la $${\ displaystyle y}coordinar. Tenga en cuenta que los puntos en lados opuestos de la línea de referencia se desplazan en direcciones opuestas.

Las asignaciones de corte no deben confundirse con las rotaciones . La aplicación de un mapa de corte a un conjunto de puntos del plano cambiará todos los ángulos entre ellos (excepto los ángulos rectos ), y la longitud de cualquier segmento de línea que no sea paralelo a la dirección del desplazamiento. Por lo tanto, generalmente distorsionará la forma de una figura geométrica, por ejemplo convirtiendo cuadrados en paralelogramos no cuadrados , y círculos en elipses . Sin embargo, un corte preserva el área de las figuras geométricas y la alineación y las distancias relativas de los puntos colineales . Un mapeo de cizallamiento es la principal diferencia entre la posición vertical yestilos de letras inclinadas (o cursivas) .

En la dinámica de fluidos, un mapeo de corte representa el flujo de fluido entre placas paralelas en movimiento relativo.

La misma definición se usa en geometría tridimensional , excepto que la distancia se mide desde un plano fijo. Una transformación de corte tridimensional conserva el volumen de figuras sólidas, pero cambia áreas de figuras planas (excepto aquellas que son paralelas al desplazamiento). Esta transformación se usa para describir el flujo laminar de un fluido entre las placas, uno que se mueve en un plano arriba y paralelo al primero.

En general $${\ displaystyle n}espacio cartesiano tridimensional $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}, la distancia se mide desde un hiperplano fijo paralelo a la dirección de desplazamiento. Esta transformación geométrica es una transformación lineal de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} que preserva la $${\ displaystyle n}-dimensional medida (hipervolumen) de cualquier conjunto.

Definición [ editar ]

Cizalla horizontal y vertical del plano [ editar ]

A través de un mapeo de corte codificado en SVG , 
un rectángulo se convierte en un paralelogramo .

En el avión $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}, un corte horizontal (o corte paralelo al eje x ) es una función que toma un punto genérico con coordenadas$${\ displaystyle (x, y)} al punto $${\ displaystyle (x + my, y)}; dónde$${\ displaystyle m}Es un parámetro fijo, llamado factor de corte .

El efecto de este mapeo es desplazar cada punto horizontalmente por una cantidad proporcional a su $${\ displaystyle y}coordinar. Cualquier punto arriba del$${\ displaystyle x}-El eje se desplaza hacia la derecha (aumenta $${\ displaystyle x}) Si {\ displaystyle m> 0}ya la izquierda si {\ displaystyle m <0 font="">. Puntos debajo del$${\ displaystyle x}- El eje se mueve en la dirección opuesta, mientras que los puntos en el eje permanecen fijos.

Líneas rectas paralelas a la $${\ displaystyle x}-los ejes permanecen donde están, mientras que todas las demás líneas se giran, por varios ángulos, sobre el punto donde cruzan la $${\ displaystyle x}-eje. Las líneas verticales, en particular, se convierten en líneas oblicuas con pendiente. $${\ displaystyle 1 / m}. Por lo tanto el factor de corte$${\ displaystyle m}es la cotangente del ángulo$${\ displaystyle \ varphi}Por el cual se inclinan las líneas verticales, denominadas ángulo de corte .

Si las coordenadas de un punto se escriben como un vector de columna (una matriz de 2 × 1 ), el mapa de corte se puede escribir como una multiplicación por una matriz de 2 × 2 :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ^ {\ prime} \\ y ^ {\ prime} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + my \\ y \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.

Una cizalla vertical (o cizalla paralela a la$${\ displaystyle y}-axis) de lineas es similar, excepto que los roles de $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y}se intercambian Corresponde a multiplicar el vector de coordenadas por la matriz transpuesta :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ^ {\ prime} \\ y ^ {\ prime} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x \\ mx + y \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ m & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.

La cizalla vertical desplaza puntos a la derecha de la $${\ displaystyle y}-se exporta hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de $${\ displaystyle m}. Deja las líneas verticales invariantes, pero inclina todas las otras líneas sobre el punto donde se encuentran con el$${\ displaystyle y}-eje. Las líneas horizontales, en particular, se inclinan por el ángulo de corte.$${\ displaystyle \ varphi} convertirse en lineas con pendiente $${\ displaystyle m}.

Correlaciones generales de cizallamiento [ editar ]

Para un espacio vectorial V y subespacio W , una fijación de cizallamiento W traduce todos los vectores en una dirección paralela a W .

Para ser más precisos, si V es la suma directa de W y W ′ , y escribimos vectores como

v = w + w ′

correspondientemente, la típica fijación de corte W es L donde

L ( v ) = ( Mw + Mw ′ ) = ( w + Mw ′ )

donde M es un mapeo lineal de W ' en W . Por lo tanto, en los términos de la matriz de bloques, L puede representarse como

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} I&M \\ 0 & I \ end {pmatrix}}}

Aplicaciones [ editar ]

William Kingdon Clifford observó las siguientes aplicaciones del mapeo de corte :

"Una sucesión de tijeras nos permitirá reducir cualquier figura delimitada por líneas rectas a un triángulo de área igual".

"... podemos cortar cualquier triángulo en un triángulo rectángulo, y esto no alterará su área. Por lo tanto, el área de cualquier triángulo es la mitad del área del rectángulo en la misma base y con una altura igual a la perpendicular en la base desde el ángulo opuesto ". ^[2]

La propiedad de conservación de área de un mapeo de corte se puede usar para resultados que involucran área. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se ha ilustrado con el mapeo de cizallamiento ^[3] , así como el teorema de la media geométrica relacionada .

Un algoritmo debido a Alan W. Paeth usa una secuencia de tres mapeos de corte (horizontal, vertical y luego horizontal nuevamente) para rotar una imagen digital en un ángulo arbitrario. El algoritmo es muy simple de implementar y muy eficiente, ya que cada paso procesa solo una columna o una fila de píxeles a la vez. ^[4]

En tipografía , el texto normal transformado por un mapeo de cortante da como resultado un tipo oblicuo .

En la relatividad galileana pre-Einsteiniana , las transformaciones entre marcos de referencia son asignaciones de corte denominadas transformaciones galileanas . Esto también se ve a veces al describir marcos de referencia en movimiento en relación con un marco "preferido", a veces denominado tiempo y espacio absolutos .

Los gráficos computacionales 2D son la generación de imágenes digitales basadas en computadora, principalmente a partir de modelos bidimensionales (como modelos geométricos 2D , texto e imágenes digitales) y mediante técnicas específicas para ellos. La palabra puede representar la rama de la informática que Comprende tales técnicas o para los propios modelos.

Gráficos rasterizados(izquierda) y máscaras (derecha)

Los gráficos de computadora en 2D se utilizan principalmente en aplicaciones que se desarrollaron originalmente en las tecnologías tradicionales de impresión y dibujo , tales como tipografía , cartografía , dibujo técnico , publicidad , etc. En esas aplicaciones, la imagen bidimensional no es solo una representación de una imagen real. objeto mundial, pero un artefacto independiente con valor semántico agregado; por lo tanto, se prefieren los modelos bidimensionales, porque brindan un control más directo de la imagen que los gráficos de computadora en 3D (cuyo enfoque es más parecido a la fotografía que a la tipografía).

En muchos dominios, como la publicación por computadora , la ingeniería y los negocios , una descripción de un documento basado en técnicas de gráficos de computadora en 2D puede ser mucho más pequeña que la imagen digital correspondiente, a menudo por un factor de 1/1000 o más. Esta representación también es más flexible, ya que puede representarse en diferentes resoluciones para adaptarse a diferentes dispositivos de salida . Por estas razones, los documentos e ilustraciones a menudo se almacenan o transmiten como archivos gráficos 2D .

Los gráficos 2D por computadora comenzaron en la década de 1950, basados ​​en dispositivos de gráficos vectoriales . Estos fueron suplantados en gran medida por dispositivos basados en raster en las siguientes décadas. El lenguaje PostScript y el protocolo del sistema X Window fueron desarrollos históricos en el campo.

Técnicas gráficas 2D [ editar ]

Los modelos de gráficos 2D pueden combinar modelos geométricos (también llamados gráficos vectoriales ), imágenes digitales (también llamados gráficos rasterizados ), texto para componer (definido por el contenido, estilo y tamaño de fuente , color, posición y orientación), funciones matemáticas y ecuaciones . y más. Estos componentes se pueden modificar y manipular mediante transformaciones geométricas bidimensionales , como la traslación , la rotación y el escalado . En gráficos orientados a objetos , la imagen se describe indirectamente por un objeto dotado de un auto Método de representación: un procedimiento que asigna colores a los píxeles dela imagen mediante un algoritmo arbitrario. Los modelos complejos se pueden construir combinando objetos más simples, en los paradigmas de la programación orientada a objetos .

Una traducción mueve cada punto de una figura o un espacio en la misma cantidad en una dirección determinada.

Una reflexión en contra de un eje seguida por una reflexión en contra de un segundo eje paralelo al primero da como resultado un movimiento total que es una traslación.

En la geometría euclidiana , una traslación mueve cada punto una distancia constante en una dirección específica. Una traducción se puede describir como un movimiento rígido : otros movimientos rígidos incluyen rotaciones y reflejos. Una traducción también puede interpretarse como la adición de un vector constante a cada punto, o como un desplazamiento del origen del sistema de coordenadas . Un operador de traducción es un operador. $${\ displaystyle T _ {\ mathbf {\ delta}}} tal que $${\ displaystyle T _ {\ mathbf {\ delta}} f (\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ delta}).}

Si v es un vector fijo, entonces la traducción T _v funcionará como T _v ( p ) = p + v .

Si T es una traducción, a continuación, la imagen de un subconjunto Abajo la función T es el traducen de una por T . El traductor de A por T _{v a}menudo se escribe A + v .

En un espacio euclidiano , cualquier traducción es una isometría . El conjunto de todas las traducciones forma el grupo de traducción T , que es isomorfo al espacio en sí, y un subgrupo normal del grupo euclidiano E ( n ). El grupo cociente de E ( n ) por T es isomorfo al grupo ortogonal O ( n ):

E ( n ) / T ≅ O ( n ).

Traducción [ editar ]

Dado que una traducción es una transformación afín pero no una transformación lineal , las coordenadas homogéneas se usan normalmente para representar el operador de traducción mediante una matriz y, por lo tanto, para que sea lineal. Así escribimos el vector tridimensional w = ( w _x , w _y , w _z ) usando 4 coordenadas homogéneas como w = ( w _x , w _y , w _z , 1). ^[1]

Para traducir un objeto por un vector v , cada vector homogéneo p(escrito en coordenadas homogéneas) tendría que ser multiplicado por esta matriz de traducción :

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \ end {bmatrix}}}

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {p} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} { begin {bmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} p_ {x} + v_ {x} \\ p_ {y } + v_ {y} \\ p_ {z} + v_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {p} + \ mathbf {v}}

La inversa de una matriz de traducción se puede obtener invirtiendo la dirección del vector:

$${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}} ^ {- 1} = T _ {- \ mathbf {v}}. \!}

De manera similar, el producto de las matrices de traducción se da al agregar los vectores:

$${\ displaystyle T _ {\ mathbf {u}} T _ {\ mathbf {v}} = T _ {\ mathbf {u} + \ mathbf {v}}. \!}

Debido a que la adición de vectores es conmutativa , la multiplicación de matrices de traducción también es conmutativa (a diferencia de la multiplicación de matrices arbitrarias).

Rotación [ editar ]

En el álgebra lineal , una matriz de rotación es una matriz que se utiliza para realizar una rotación en el espacio euclidiano .

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

gira los puntos en el plano xy - cartesiano en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo θ sobre el origen del sistema de coordenadas cartesiano . Para realizar la rotación utilizando una matriz de rotación R , la posición de cada punto debe estar representada por un vector de columna v , que contiene las coordenadas del punto. Se obtiene un vector girado utilizando la multiplicación de matrices R v . Como la multiplicación de matrices no tiene efecto en el vector cero (es decir, en las coordenadas del origen), las matrices de rotación solo se pueden usar para describir rotaciones sobre el origen del sistema de coordenadas.

Las matrices de rotación proporcionan una descripción algebraica simple de dichas rotaciones, y se utilizan ampliamente para cálculos en geometría , física y gráficos de computadora . En el espacio de 2 dimensiones, una rotación se puede describir simplemente por un ángulo θ de rotación , pero puede ser también representado por las 4 entradas de una matriz de rotación con 2 filas y 2 columnas. En el espacio tridimensional, cada rotación puede interpretarse como una rotación según un ángulo dado alrededor de un único eje fijo de rotación (ver teorema de rotación de Euler ), y por lo tanto puede describirse simplemente mediante un ángulo y un vector.Con 3 entradas. Sin embargo, también puede representarse por las 9 entradas de una matriz de rotación con 3 filas y 3 columnas. La noción de rotación no se usa comúnmente en dimensiones superiores a 3; existe la noción de un desplazamiento rotacional , que puede representarse por una matriz, pero no tiene un solo eje o ángulo asociado.

Las matrices de rotación son matrices cuadradas , con entradas reales . Más específicamente pueden caracterizarse como matrices ortogonales con determinante  1:

$${\ displaystyle R ^ {T} = R ^ {- 1}, \ det R = 1 \,}.

El conjunto de todas estas matrices de tamaño n forma un grupo , conocido como el grupo ortogonal especial SO ( n ) .

En dos dimensiones [ editar ]

Una rotación a la izquierda de un vector a través del ángulo θ . El vector se alinea inicialmente con el eje x.

En dos dimensiones cada matriz de rotación tiene la siguiente forma:

{\ displaystyle R (\ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ end {bmatrix}}}.

Esto rota los vectores de columna mediante la siguiente multiplicación de matrices :

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\\ end {bmatrix}}}.

Así que las coordenadas (x ', y') del punto (x, y) después de la rotación son:

$${\ displaystyle x '= x \ cos \ theta -y \ sin \ theta \,},

$${\ displaystyle y '= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta \,}.

La dirección de rotación del vector es en sentido contrario a las agujas del reloj si θ es positivo (por ejemplo, 90 °), y en el sentido de las agujas del reloj si es negativo (por ejemplo, -90 °).

{\ displaystyle R (- \ theta) = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ end {bmatrix}} \,}.

Orientación no estándar del sistema de coordenadas [ editar ]

Una rotación a través del ángulo θcon ejes no estándar.

Si se usa un sistema de coordenadas cartesiano diestro estándar , con el eje x a la derecha y el eje y hacia arriba, la rotación R ( θ ) es en sentido contrario a las agujas del reloj. Si se usa un sistema de coordenadas cartesiano para zurdos, con x dirigida a la derecha pero y hacia abajo, R ( θ ) es hacia la derecha. Tales orientaciones no estándar rara vez se utilizan en matemáticas, pero son comunes en gráficos por ordenador en 2D, que a menudo tienen el origen en la esquina superior izquierda y el yeje y abajo de la pantalla o página. ^[2]

Vea a continuación otras convenciones alternativas que pueden cambiar el sentido de la rotación producida por una matriz de rotación.

Rotaciones comunes [ editar ]

Particularmente útiles son las matrices para rotaciones de 90 ° y 180 °:

{\ displaystyle R (90 ^ {\ circ}) = {\ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ [3pt] 1 & 0 \\\ end {bmatrix}}} (90 ° de rotación a la izquierda)

{\ displaystyle R (180 ^ {\ circ}) = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ [3pt] 0 & -1 \\\ end {bmatrix}}} (180 ° de rotación en cualquier dirección, media vuelta)

{\ displaystyle R (270 ^ {\ circ}) = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ [3pt] -1 & 0 \\\ end {bmatrix}}} (270 ° en sentido antihorario, lo mismo que 90 ° en sentido horario)

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En la geometría euclidiana , escala uniforme ( isotrópica de escala , ^[3] dilatación homogénea , homotecia ) es una transformación lineal que agranda (aumenta) o se reduce (disminuye) los objetos por un factor de escalaque es la misma en todas las direcciones. El resultado de una escala uniforme es similar (en el sentido geométrico) al original. Normalmente se permite un factor de escala de 1, por lo que las formas congruentes también se clasifican como similares. (Algunos libros de texto escolares excluyen específicamente esta posibilidad, al igual que algunos excluyen cuadrados de ser rectángulos o círculos de puntos suspensivos).

Más general es la escala con un factor de escala separado para cada dirección del eje. Escalamiento no uniforme ( anisotrópico de escala , la dilatación no homogénea se obtiene) cuando al menos uno de los factores de escala es diferente de los otros; un caso especial es el escalamiento o estiramiento direccional (en una dirección). La escala no uniforme cambia la forma del objeto; por ejemplo, un cuadrado puede transformarse en un rectángulo o en un paralelogramo si los lados del cuadrado no son paralelos a los ejes de escala (los ángulos entre las líneas paralelas a los ejes se conservan, pero no todos los ángulos).

Escalamiento [ editar ]

Una escala puede ser representada por una matriz de escala. Para escalar un objeto por un vector v = ( v _x , v _y , v _z ), cada punto p = ( p _x , p _y , p _z ) debería multiplicarse con esta matriz de escalado:

{\ displaystyle S_ {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} \\\ end {bmatrix}}.}

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

{\ displaystyle S_ {v} p = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x } \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} p_ {x} \\ v_ {y} p_ {y} \\ v_ {z} p_ {z} \ end {bmatrix}}.}

Tal escala cambia el diámetro de un objeto por un factor entre los factores de escala, el área por un factor entre el producto más pequeño y el más grande de dos factores de escala, y el volumen por el producto de los tres.

La escala es uniforme si y solo si los factores de escala son iguales ( v _x = v _y = v _z ). Si todos excepto uno de los factores de escala son iguales a 1, tenemos escalado direccional.

En el caso donde v _x = v _y = v _z = k , la escala también se denomina ampliación o dilatación por un factor k, aumentando el área por un factor de k ² y el volumen por un factor de k ³ .

Una escala en el sentido más general es cualquier transformación afín con una matriz diagonalizable . Incluye el caso de que las tres direcciones de escalado no sean perpendiculares. Incluye también el caso de que uno o más factores de escala son iguales a cero ( proyección ), y el caso de uno o más factores de escala negativos. El último corresponde a una combinación de escalamiento adecuado y un tipo de reflexión: a lo largo de líneas en una dirección particular, tomamos la reflexión en el punto de intersección con un plano que no necesita ser perpendicular; por eso es más general que la reflexión ordinaria en el plano.

Usando coordenadas homogéneas [ editar ]

En geometría proyectiva , a menudo utilizada en gráficos de computadora , los puntos se representan utilizando coordenadas homogéneas . Para escalar un objeto por un vector v = ( v _x , v _y , v _z ), cada vector de coordenadas homogéneas p = ( p _x , p _y , p _z , 1) debería multiplicarse con esta matriz de transformación proyectiva :

{\ displaystyle S_ {v} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

{\ displaystyle S_ {v} p = {\ begin {bmatrix} v_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & v_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} p_ {x} \\ v_ {y} p_ {y} \ \ v_ {z} p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}}.}

Dado que el último componente de una coordenada homogénea se puede ver como el denominador de los otros tres componentes, se puede lograr una escala uniforme por un factor común s (escala uniforme) utilizando esta matriz de escala:

{\ displaystyle S_ {v} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\ frac {1} {s}} \ end {bmatrix}}.

Para cada vector p = ( p _x , p _y , p _z , 1) tendríamos

{\ displaystyle S_ {v} p = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\ frac {1} {s}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x } \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ {\ frac {1} {s}} \ end {bmatrix}}}

que se homogeneizaría a

$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} sp_ {x} \\ sp_ {y} \\ sp_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}}.

Pintura directa [ editar ]

Una forma conveniente de crear una imagen compleja es comenzar con un mapa raster "lienzo" en blanco (una matriz de píxeles , también conocido como mapa de bits ) con un color de fondo uniforme y luego "dibujar", "pintar" o "pegar" Sencillos parches de color en el mismo, en un orden apropiado. En particular, el lienzo puede ser el búfer de cuadros para una pantalla de computadora .

Algunos programas establecerán los colores de los píxeles directamente, pero la mayoría se basará en alguna biblioteca de gráficos 2D o en la tarjeta gráfica de la máquina , que generalmente implementa las siguientes operaciones:

• pega una imagen dada en un desplazamiento específico en el lienzo;
• escriba una cadena de caracteres con una fuente específica, en una posición y ángulo determinados;
• pinte una forma geométrica simple , como un triángulo definido por tres esquinas, o un círculo con el centro y el radio dados;
• dibuje un segmento de línea , arco o curva simple con un lápiz virtual de ancho dado.

Modelos de color extendido [ editar ]

El texto, las formas y las líneas se representan con un color especificado por el cliente. Muchas bibliotecas y tarjetas proporcionan gradientes de color , que son útiles para la generación de fondos, efectos de sombra, etc. que varían suavemente (consulte también Sombreado de Gouraud ). Los colores de píxel también se pueden tomar de una textura, por ejemplo, una imagen digital (por lo tanto, emulando screentones de frotar y la pintura de corrector legendaria que solía estar disponible solo en dibujos animados ).

Pintar un píxel con un color dado generalmente reemplaza a su color anterior. Sin embargo, muchos sistemas admiten la pintura con colores transparentes y translúcidos , que solo modifican los valores de píxeles anteriores. Los dos colores también se pueden combinar de formas más complejas, por ejemplo, calculando sus bitsexclusivo o . Esta técnica se conoce como inversión de color o inversión de color , y se usa a menudo en interfaces gráficas de usuario para resaltar, dibujar con bandas elásticas y otras pinturas volátiles, ya que volver a pintar las mismas formas con el mismo color restaurará los valores de píxeles originales.