TEMAS DE GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ANALÍTICA , CONTINUACIÓN

Secciones cónicas [ editar ]

Artículo principal: Sección cónica.

En el sistema de coordenadas cartesiano , la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica, aunque puede estar degenerada y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación será de la forma.

$${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 {\ text {con}} A, B, C {\ text {no todos cero.}} \,}

Al escalar las seis constantes se obtiene el mismo locus de ceros, se pueden considerar las cónicas como puntos en el espacio proyectivo de cinco dimensiones. $${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar usando el discriminante ^[22]

$${\ displaystyle B ^ {2} -4AC. \,}

Si la cónica no es degenerada, entonces:

• Si {\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0 font="">, la ecuación representa una elipse ;
  • Si $${\ displaystyle A = C} y $${\ displaystyle B = 0}, la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de una elipse;
• Si $${\ displaystyle B ^ {2} -4AC = 0}, la ecuación representa una parábola ;
• Si {\ displaystyle B ^ {2} -4AC> 0}, la ecuación representa una hipérbola ;
  • si tambien tenemos $${\ displaystyle A + C = 0}, la ecuación representa una hipérbola rectangular .

Superficies cuadricricas [ editar ]

Artículo principal: superficie cuadrática.

A cuádrica o superficie cuádrica , es un 2 -dimensional superficie en el espacio 3-dimensional definido como el locus de ceros de un polinomio cuadrático . En las coordenadas x ₁ , x ₂ , x ₃ , la cuadrícula general se define mediante la ecuación algebraica ^[23]

$${\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} x_ {i} Q_ {ij} x_ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} P_ {i} x_ {i} + R = 0.}

Las superficies cuadráticas incluyen elipsoides (incluida la esfera ), paraboloides , hiperboloides , cilindros ,conos y planos .

Distancia y ángulo [ editar ]

Artículos principales: Distancia y ángulo.

La fórmula de la distancia en el plano sigue el teorema de Pitágoras.

En geometría analítica, las nociones geométricas como la distanciay la medida del ángulo se definen mediante fórmulas . Estas definiciones están diseñadas para ser consistentes con la geometría euclidiana subyacente . Por ejemplo, al usar coordenadas cartesianas en el plano, la distancia entre dos puntos ( x ₁ ,  y ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ) está definida por la fórmula

$${\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}, \!}

que puede verse como una versión del teorema de Pitágoras . Del mismo modo, el ángulo que forma una línea con la horizontal se puede definir mediante la fórmula

$${\ displaystyle \ theta = \ arctan (m),}

donde m es la pendiente de la recta.

En tres dimensiones, la distancia viene dada por la generalización del teorema de Pitágoras:

$${\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1 }) ^ {2}}}, \!},

mientras que el ángulo entre dos vectores está dado por el producto punto . El producto puntual de dos vectores euclidianos A y B se define por ^[24]

$${\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ | \ mathbf {A} \ | \, \ | \ mathbf {B} \ | \ cos \ theta,}

donde θ es el ángulo entre A y B .

Transformaciones [ editar ]

a) y = f (x) = | x | b) y = f (x + 3) c) y = f (x) -3 d) y = 1/2 f (x)

Las transformaciones se aplican a una función principal para convertirla en una nueva función con características similares.

La grafica de $${\ displaystyle R (x, y)} Se cambia por transformaciones estándar de la siguiente manera:

• Cambiando $${\ displaystyle x} a $${\ displaystyle xh} mueve la gráfica a la derecha $${\ displaystyle h} unidades.
• Cambiando $${\ displaystyle y} a $${\ displaystyle yk} mueve la gráfica hacia arriba $${\ displaystyle k} unidades.
• Cambiando $${\ displaystyle x} a $${\ displaystyle x / b} Estira el gráfico horizontalmente por un factor de $${\ displaystyle b}. (pensar en$${\ displaystyle x} como siendo dilatado)
• Cambiando $${\ displaystyle y} a $${\ displaystyle y / a} Estira la gráfica verticalmente.
• Cambiando $${\ displaystyle x} a $${\ displaystyle x \ cos A + y \ sin A} y cambiando $${\ displaystyle y} a $${\ displaystyle -x \ sin A + y \ cos A}Gira la gráfica en un ángulo. $${\ displaystyle A}.

Hay otras transformaciones estándar que no se estudian típicamente en la geometría analítica elemental porque las transformaciones cambian la forma de los objetos en formas que generalmente no se consideran. El sesgo es un ejemplo de una transformación que no suele considerarse. Para más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre transformaciones afines. .

Por ejemplo, la función padre. $${\ displaystyle y = 1 / x}tiene una asíntota horizontal y una vertical, y ocupa el primer y tercer cuadrante, y todas sus formas transformadas tienen una asíntota horizontal y vertical, y ocupa el primer y tercer o el segundo y cuarto cuadrante. En general, si$${\ displaystyle y = f (x)}, entonces puede transformarse en $${\ displaystyle y = af (b (xk)) + h}. En la nueva función transformada,$${\ displaystyle a} es el factor que estira verticalmente la función si es mayor que 1 o la comprime verticalmente si es menor que 1, y para el negativo $${\ displaystyle a} valores, la función se refleja en el $${\ displaystyle x}-eje. los$${\ displaystyle b} el valor comprime el gráfico de la función horizontalmente si es mayor que 1 y estira la función horizontalmente si es menor que 1, y como $${\ displaystyle a}, refleja la función en el $${\ displaystyle y}-axis cuando es negativo. los$${\ displaystyle k} y $${\ displaystyle h} los valores introducen las traducciones, $${\ displaystyle h}, vertical, y $${\ displaystyle k}horizontal. Positivo$${\ displaystyle h} y $${\ displaystyle k} los valores significan que la función se traduce al final positivo de su eje y la traducción de significado negativo hacia el extremo negativo.

Las transformaciones se pueden aplicar a cualquier ecuación geométrica, ya sea que la ecuación represente o no una función. Las transformaciones pueden ser consideradas como transacciones individuales o en combinaciones.

Suponer que $${\ displaystyle R (x, y)} es una relacion en el $${\ displaystyle xy}avión. Por ejemplo,

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}

Es la relación que describe el círculo unitario.

Encontrar intersecciones de objetos geométricos [ editar ]

Artículo principal: Intersección (geometría)

Para dos objetos geométricos P y Q representados por las relaciones. $${\ displaystyle P (x, y)} y $${\ displaystyle Q (x, y)} La intersección es la colección de todos los puntos. $${\ displaystyle (x, y)}que están en ambas relaciones. ^[25]

Por ejemplo, $${\ displaystyle P} Podría ser el círculo con radio 1 y centro. $${\ displaystyle (0,0)}: $${\ displaystyle P = \ {(x, y) | x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}} y $${\ displaystyle Q} Podría ser el círculo con radio 1 y centro. $${\ displaystyle (1,0): Q = \ {(x, y) | (x-1) ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}. La intersección de estos dos círculos es la colección de puntos que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Hace el punto$${\ displaystyle (0,0)}hacer que ambas ecuaciones sean verdaderas? Utilizando$${\ displaystyle (0,0)} para $${\ displaystyle (x, y)}, la ecuación para $${\ displaystyle Q} se convierte en $${\ displaystyle (0-1) ^ {2} + 0 ^ {2} = 1} o $${\ displaystyle (-1) ^ {2} = 1} lo cual es cierto, entonces $${\ displaystyle (0,0)} esta en la relacion $${\ displaystyle Q}. Por otro lado, sigue usando$${\ displaystyle (0,0)} para $${\ displaystyle (x, y)} la ecuación para $${\ displaystyle P} se convierte en $${\ displaystyle 0 ^ {2} + 0 ^ {2} = 1} o $${\ displaystyle 0 = 1} que es falso $${\ displaystyle (0,0)} no está dentro $${\ displaystyle P} así que no está en la intersección.

La interseccion de $${\ displaystyle P} y $${\ displaystyle Q} Se puede encontrar resolviendo las ecuaciones simultáneas:

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

$${\ displaystyle (x-1) ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Los métodos tradicionales para encontrar intersecciones incluyen la sustitución y la eliminación.

Sustitución: Resuelve la primera ecuación para$${\ displaystyle y} en términos de $${\ displaystyle x} y luego sustituye la expresión por $${\ displaystyle y} en la segunda ecuación:

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

$${\ displaystyle y ^ {2} = 1-x ^ {2}}.

Entonces sustituimos este valor por $${\ displaystyle y ^ {2}} en la otra ecuación y proceder a resolver para $${\ displaystyle x}:

$${\ displaystyle (x-1) ^ {2} + (1-x ^ {2}) = 1}

$${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 + 1-x ^ {2} = 1}

$${\ displaystyle -2x = -1}

$${\ displaystyle x = 1/2.}

A continuación, colocamos este valor de $${\ displaystyle x} en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para $${\ displaystyle y}:

$${\ displaystyle (1/2) ^ {2} + y ^ {2} = 1}

$${\ displaystyle y ^ {2} = 3/4}

$${\ displaystyle y = {\ frac {\ pm {\ sqrt {3}}} {2}}.}

Así que nuestra intersección tiene dos puntos:

$${\ displaystyle \ left (1/2, {\ frac {+ {\ sqrt {3}}} {2}} \ right) \; \; \ mathrm {and} \; \; \ left (1/2, {\ frac {- {\ sqrt {3}}} {2}} \ right).}

Eliminación : sume (o reste) un múltiplo de una ecuación a la otra ecuación para eliminar una de las variables. Para nuestro ejemplo actual, si restamos la primera ecuación de la segunda obtenemos$${\ displaystyle (x-1) ^ {2} -x ^ {2} = 0}. los$${\ displaystyle y ^ {2}} en la primera ecuación se resta de la $${\ displaystyle y ^ {2}} en la segunda ecuación no dejando $${\ displaystyle y}término. La variable$${\ displaystyle y}ha sido eliminado. Entonces resolvemos la ecuación restante para$${\ displaystyle x}, de la misma forma que en el método de sustitución:

$${\ displaystyle x ^ {2} -2x + 1 + 1-x ^ {2} = 1}

$${\ displaystyle -2x = -1}

$${\ displaystyle x = 1/2.}

Entonces colocamos este valor de $${\ displaystyle x} en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para $${\ displaystyle y}:

$${\ displaystyle (1/2) ^ {2} + y ^ {2} = 1}

$${\ displaystyle y ^ {2} = 3/4}

$${\ displaystyle y = {\ frac {\ pm {\ sqrt {3}}} {2}}.}

Así que nuestra intersección tiene dos puntos:

$${\ displaystyle \ left (1/2, {\ frac {+ {\ sqrt {3}}} {2}} \ right) \; \; \ mathrm {and} \; \; \ left (1/2, {\ frac {- {\ sqrt {3}}} {2}} \ right).}

Para las secciones cónicas, pueden haber hasta 4 puntos en la intersección.

Encontrando intersecciones [ editar ]

Artículos principales: x-intercept y y-intercept

Un tipo de intersección que se estudia ampliamente es la intersección de un objeto geométrico con la $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} ejes de coordenadas.

La intersección de un objeto geométrico y la $${\ displaystyle y}-El eje se llama $${\ displaystyle y}-intercepto del objeto. La intersección de un objeto geométrico y la$${\ displaystyle x}-El eje se llama $${\ displaystyle x}-intercepto del objeto.

Para la linea $${\ displaystyle y = mx + b}, El parámetro $${\ displaystyle b} Especifica el punto donde la línea cruza el $${\ displaystyle y}eje. Dependiendo del contexto, ya sea$${\ displaystyle b} o el punto $${\ displaystyle (0, b)} se llama el $${\ displaystyle y}-interceptar.

Tangentes y normales [ editar ]

Líneas y planos tangentes [ editar ]

Artículo principal: Tangente

En geometría , la línea tangente (o simplemente tangente ) a una curva plana en un punto dado es la línea rectaque "solo toca" la curva en ese punto. Informalmente, es una línea a través de un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una línea recta es una tangente de una curva y = f ( x ) en un punto x = c en la curva si la línea pasa a través del punto ( c , f ( c )) en la curva y tiene cuesta abajo f ' (c )donde f ' es el derivado de f . Una definición similar se aplica a las curvas de espacio y curvas en el espacio euclidiano n - dimensional .

A medida que pasa por el punto donde se encuentran la línea tangente y la curva, se llama el punto de tangencia , la línea tangente "va en la misma dirección" que la curva, y por lo tanto es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto. punto.

De manera similar, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "simplemente toca" la superficie en ese punto. El concepto de una tangente es una de las nociones más fundamentales en la geometría diferencial y se ha generalizado ampliamente; Ver espacio tangente .

Linea normal y vector [ editar ]

Artículo principal: Normal (geometría)

En geometría , una normal es un objeto como una línea o un vector que es perpendicular a un objeto dado. Por ejemplo, en el caso bidimensional, la línea normal a una curva en un punto dado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto.

En el caso de tres dimensiones de una superficie normal , o simplemente normales , a una superficie en un punto P es un vector que es perpendicular al plano tangente a la superficie en P . La palabra "normal" también se usa como adjetivo: una línea normal a un plano , el componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad .