TEMAS DE GEOMETRÍA

El Método de los Teoremas Mecánicos (en griego : Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος ), también conocido como El Método , se considera una de las principales obras supervivientes de la antigua polimata griega Arquimedes . El Método toma la forma de una carta de Arquímedes a Eratóstenes , ^[1] el bibliotecario principal de la Biblioteca de Alejandría , y contiene el primer uso explícito comprobado de indivisibles(a veces denominado infinitesimales ). ^[2] [3]Originalmente se pensó que la obra estaba perdida, pero en 1906 se redescubrió en el famoso Palimpsesto de Arquímedes . El palimpsesto incluye el relato de Arquímedes del "método mecánico", llamado así porque se basa en la ley de la palanca , que fue demostrada por primera vez por Arquímedes, y del centro de masa (o centroide ), que había encontrado para muchos Formas especiales.

Arquímedes no admitió el método de indivisibles como parte de las matemáticas rigurosas y, por lo tanto, no publicó su método en los tratados formales que contienen los resultados. En estos tratados, él prueba los mismos teoremas por agotamiento , encontrando rigurosos límites superiores e inferiores que ambos convergen a la respuesta requerida. Sin embargo, el método mecánico fue el que usó para descubrir las relaciones para las que luego dio pruebas rigurosas.

Área de una parábola [ editar ]

Para explicar el método de Arquímedes hoy en día, es conveniente utilizar un poco de geometría cartesiana, aunque esto, por supuesto, no estaba disponible en ese momento. Su idea es usar la ley de la palanca para determinar las áreas de figuras del centro de masa conocido de otras figuras. El ejemplo más simple en el lenguaje moderno es el área de la parábola. Arquímedes usa un método más elegante, pero en lenguaje cartesiano, su método es calcular la integral

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {2} \, dx = {\ frac {1} {3}},}

Lo que se puede comprobar fácilmente hoy en día utilizando el cálculo integral elemental .

La idea es equilibrar mecánicamente la parábola (la región curva que se integra arriba) con un cierto triángulo que está hecho del mismo material. La parábola es la región en el plano x - y entre el eje x y y  =  x ^2, ya que xvaría de 0 a 1. El triángulo es la región en el plano x - y entre el eje x y la línea y  =  x , también como x varía de 0 a 1.

Corte la parábola y el triángulo en cortes verticales, uno para cada valor de  x . Imagine que el eje x es una palanca, con un punto de apoyo en  x  = 0. La ley de la palanca establece que dos objetos en lados opuestos del punto de apoyo se equilibrarán si cada uno tiene el mismo par , donde el par de un objeto es igual a su peso por veces Su distancia al fulcro. Para cada valor de  x , el corte del triángulo en la posición x tiene una masa igual a su altura  x , y está a una distancia  x del fulcro; así se equilibraría la porción correspondiente de la parábola, de altura x ² , si esta última se moviera a x = −1, a una distancia de 1 en el otro lado del fulcro.

Dado que cada par de rebanadas se equilibra, mover la parábola entera a x  = −1 equilibraría todo el triángulo. Esto significa que si la parábola original sin cortar se cuelga con un gancho desde el punto x  = −1 (de modo que toda la masa de la parábola se une a ese punto), equilibrará el triángulo que se encuentra entre x  = 0 y  x  = 1 .

El centro de masa de un triángulo se puede encontrar fácilmente mediante el siguiente método, también debido a Arquímedes. Si se dibuja una línea mediana desde cualquiera de los vértices de un triángulo hasta el borde opuesto E , el triángulo se balanceará en la mediana, considerado como un punto de apoyo. La razón es que si el triángulo se divide en segmentos de línea infinitesimales paralelos a E , cada segmento tiene la misma longitud en lados opuestos de la mediana, por lo que el equilibrio sigue por simetría. Este argumento se puede hacer fácilmente riguroso por agotamiento mediante el uso de pequeños rectángulos en lugar de líneas infinitesimales, y esto es lo que hace Arquímedes en En el equilibrio de los planos .

Entonces, el centro de masa de un triángulo debe estar en el punto de intersección de las medianas. Para el triángulo en cuestión, una mediana es la línea y  =  x / 2, mientras que una segunda mediana es la línea y  = 1 -  x . Al resolver estas ecuaciones, vemos que la intersección de estas dos medianas está por encima del punto x  = 2/3, de modo que el efecto total del triángulo en la palanca es como si la masa total del triángulo estuviera presionando (o colgando) Desde este punto. El torque total ejercido por el triángulo es su área, 1/2, multiplicada por la distancia 2/3 de su centro de masa desde el punto de apoyo en x = 0. Este par de 1/3 equilibra la parábola, que está a una distancia de -1 desde el punto de apoyo. Por lo tanto, el área de la parábola debe ser 1/3 para darle el torque opuesto.

Este tipo de método se puede usar para encontrar el área de una sección arbitraria de una parábola, y se pueden usar argumentos similares para encontrar la integral de cualquier poder de x , aunque los poderes más altos se vuelven complicados sin el álgebra. Arquímedes solo llegó hasta la integral de x ³ , que usó para encontrar el centro de masa de un hemisferio, y en otros trabajos, el centro de masa de una parábola.

Primera proposición en el palimpsesto [ editar ]

Considera la parábola en la figura de la derecha. Escoja dos puntos de la parábola y llamarlos A y B .

Supongamos que el segmento de línea AC es paralelo al eje de simetría de la parábola. Supongamos además que el segmento de línea BC se encuentra en una línea que es tangentea la parábola en B . La primera proposición dice:

El área del triángulo ABC es exactamente tres veces el área delimitada por la parábola y la línea secante AB .

prueba :

Sea D el punto medio de AC . Construir un segmento de línea JB a través de D , donde la distancia de J a D es igual a la distancia desde B a D . Pensaremos en el segmento JB como una "palanca" con D como su punto de apoyo. Como Arquímedes había mostrado anteriormente, el centro de masa del triángulo está en el punto I en la "palanca" donde DI  : DB  = 1: 3. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que si todo el peso del interior del triángulo descansa en I, y todo el peso de la sección de la parábola en J , la palanca está en equilibrio.

Considere una sección transversal infinitamente pequeña del triángulo dada por el segmento HE , donde el punto H se encuentra en BC , el punto E se encuentra en AB , y HE es paralelo al eje de simetría de la parábola. Llame a la intersección de HE y la parábola F y la intersección de HE y la palanca G . Si todo el peso del triángulo descansa en I , ejerce el mismo torque en la palanca JB que en HE . Por lo tanto, deseamos mostrar que si el peso de la sección transversal HE descansa enG y el peso de la sección transversal EF de la sección de la parábola descansa en J , entonces la palanca está en equilibrio. En otras palabras, es suficiente para demostrar que EF  : GD  =  EH  : JD . Pero eso es una consecuencia rutinaria de la ecuación de la parábola. QED

Volumen de una esfera [ editar ]

De nuevo, para iluminar el método mecánico, es conveniente utilizar un poco de geometría de coordenadas. Si una esfera de radio 1 se coloca con su centro en x  = 1, el radio de la sección transversal vertical$${\ displaystyle \ rho _ {S}}en cualquier x entre 0 y 2 viene dada por la siguiente fórmula:

$${\ displaystyle \ rho _ {S} (x) = {\ sqrt {x (2-x)}}.}

La masa de esta sección transversal, con el fin de equilibrar una palanca, es proporcional al área:

$${\ displaystyle \ pi \ rho _ {S} (x) ^ {2} = 2 \ pi x- \ pi x ^ {2}.}

Arquímedes entonces consideró la rotación de la región triangular entre y  = 0 y y  =  x y x =  2 en el plano x - yalrededor del eje x , para formar un cono. La sección transversal de este cono es un círculo de radio.$${\ displaystyle \ rho _ {C}}

$${\ displaystyle \ rho _ {C} (x) = x}

y el área de esta sección transversal es

$${\ displaystyle \ pi \ rho _ {C} ^ {2} = \ pi x ^ {2}.}

Así que si rebanadas de cono y la esfera tanto se pesarán juntos, el área de sección transversal combinada es:

$${\ displaystyle M (x) = 2 \ pi x.}

Si las dos rodajas se colocan juntas a la distancia 1 del punto de apoyo, su peso total se equilibraría exactamente mediante un círculo de área $${\ displaystyle 2 \ pi}a una distancia x del fulcro del otro lado. Esto significa que el cono y la esfera juntos, si todo su material se moviera a x = 1 , equilibrarían un cilindro de radio de base 1 y longitud 2 en el otro lado.

Como x varía de 0 a 2, el cilindro tendrá un centro de gravedad a una distancia de 1 desde el punto de apoyo, por lo que se puede considerar que todo el peso del cilindro está en la posición 1. La condición de equilibrio garantiza que el volumen del cono más el volumen de la esfera es igual al volumen del cilindro.

El volumen del cilindro es el área de la sección transversal, $${\ displaystyle 2 \ pi} veces la altura, que es 2, o $${\ displaystyle 4 \ pi}. Arquímedes también podría encontrar el volumen del cono utilizando el método mecánico, ya que, en términos modernos, la integral involucrada es exactamente la misma que la del área de la parábola. El volumen del cono es 1/3 de su área base multiplicada por la altura. La base del cono es un círculo de radio 2, con área$${\ displaystyle 4 \ pi}, mientras que la altura es 2, entonces el área es $${\ displaystyle 8 \ pi / 3}. Restar el volumen del cono del volumen del cilindro da el volumen de la esfera:

$${\ displaystyle V_ {S} = 4 \ pi - {8 \ sobre 3} \ pi = {4 \ sobre 3} \ pi.}

La dependencia del volumen de la esfera en el radio es evidente a partir de la escala, aunque eso tampoco fue trivial para hacer riguroso en ese entonces. El método luego da la fórmula familiar para el volumen de una esfera. Al escalar las dimensiones de forma lineal, Arquímedes extendió fácilmente el resultado del volumen a los esferoides .

El argumento de Arquímedes es casi idéntico al argumento anterior, pero su cilindro tenía un radio más grande, de modo que el cono y el cilindro colgaban a una mayor distancia del fulcro. Consideró que este argumento era su mayor logro, y solicitó que la figura acompañante de la esfera, el cono y el cilindro equilibrados quedaran grabados en su lápida.

Área de superficie de una esfera [ editar ]

Para encontrar el área de la superficie de la esfera, Arquímedes argumentó que así como el área del círculo se podía considerar como infinitos triángulos rectilíneos infinitesimales que giraban alrededor de la circunferencia (ver Medición del círculo ), se podía pensar en el volumen de la esfera como dividido en muchos conos con altura igual al radio y la base en la superficie. Todos los conos tienen la misma altura, por lo que su volumen es 1/3 del área base multiplicada por la altura.

Arquímedes afirma que el volumen total de la esfera es igual al volumen de un cono cuya base tiene la misma área de superficie que la esfera y cuya altura es el radio. No se proporcionan detalles para el argumento, pero la razón obvia es que el cono se puede dividir en conos infinitesimales dividiendo el área base hacia arriba, y cada cono hace una contribución de acuerdo con su área base, igual que en la esfera. .

Deje que la superficie de la esfera sea  S . El volumen del cono con área de base S y altura r es$${\ displaystyle \ scriptstyle Sr / 3}, que debe ser igual al volumen de la esfera: $${\ displaystyle \ scriptstyle 4 \ pi r ^ {3} / 3}. Por lo tanto, el área superficial de la esfera debe ser$${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}, o "cuatro veces su círculo más grande". Arquímedes lo demuestra rigurosamente en Sobre la esfera y el cilindro .

Formas curvilíneas con volúmenes racionales [ editar ]

Una de las cosas notables sobre el Método es que Arquímedes encuentra dos formas definidas por secciones de cilindros, cuyo volumen no involucra a  π , a pesar de que las formas tienen límites curvilíneos. Este es un punto central de la investigación: ciertas formas curvilíneas se podrían rectificar con regla y compás, de modo que existan relaciones racionales no triviales entre los volúmenes definidos por las intersecciones de sólidos geométricos.

Arquímedes enfatiza esto al principio del tratado e invita al lector a que intente reproducir los resultados por algún otro método. A diferencia de los otros ejemplos, el volumen de estas formas no se calcula rigurosamente en ninguna de sus otras obras. A partir de fragmentos en el palimpsesto, parece que Arquímedes inscribió y circunscribió formas para probar límites rigurosos para el volumen, aunque los detalles no se han conservado.

Las dos formas que considera son la intersección de dos cilindros en ángulos rectos, que es la región de ( x ,  y ,  z ) que obedecen:

( 2Cyl ){\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <1 font="" y="" z="">

y el prisma circular, que es la región que obedece:

( CirP ){\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <1 0="" font="" y.="" z="">

Ambos problemas tienen un corte que produce una integral fácil para el método mecánico. Para el prisma circular, corte el eje x en rebanadas. La región en el plano y - z en cualquier x es el interior de un triángulo rectángulo de longitud lateral$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} cuya area es $${\ displaystyle \ scriptstyle 1/2 (1-x ^ {2})}, para que el volumen total sea:

( CirP ) $${\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {1 \ sobre 2} (1-x ^ {2}) \, dx}

El cual puede ser rectificado fácilmente utilizando el método mecánico. Agregando a cada sección triangular una sección de una pirámide triangular con área$${\ displaystyle \ scriptstyle x ^ {2} / 2} Equilibra un prisma cuya sección transversal es constante.

Para la intersección de dos cilindros, el corte se pierde en el manuscrito, pero se puede reconstruir de forma obvia en paralelo al resto del documento: si el plano xz es la dirección del corte, las ecuaciones del cilindro indican que {\ displaystyle \ scriptstyle x ^ {2} \, <\, 1-y ^ {2}} mientras {\ displaystyle \ scriptstyle z ^ {2} \, <\, 1-y ^ {2}}, que define una región que es un cuadrado en el plano x - z de la longitud del lado$${\ displaystyle \ scriptstyle 2 {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}, para que el volumen total sea:

( 2Cyl ) $${\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} 4 (1-y ^ {2}) \, dy.}

Y esta es la misma integral que en el ejemplo anterior.

Otras proposiciones en el palimpsesto [ editar ]

Una serie de proposiciones de geometría se prueban en el palimpsesto con argumentos similares. Un teorema es que la ubicación de un centro de masa de un hemisferio se encuentra a 5/8 del camino desde el polo hasta el centro de la esfera. Este problema es notable, porque está evaluando una integral cúbica.