En matemáticas, un fractal es un subconjunto de un espacio euclidiano para el cual la dimensión de Hausdorff supera estrictamente la dimensión topológica . Los fractales tienden a aparecer casi iguales en diferentes niveles, como se ilustra aquí en los pequeños aumentos sucesivos del conjunto de Mandelbrot ; [1] [2] [3] [4] Debido a esto, los fractales se encuentran ubicuamente en la naturaleza. Los fractales exhiben patrones similares en escalas cada vez más pequeñas llamadas auto-similitud , [5]también conocidas como simetría en expansión o simetría en desarrollo; Si esta replicación es exactamente la misma en todas las escalas, como en la esponja Menger , [6] se llama afín auto-similar. La geometría fractal seencuentra dentro de la rama matemática de la topología .
Una forma en que los fractales son diferentes de las figuras geométricasfinitas es la forma en que se escalan . Duplicar las longitudes de los bordes de un polígono multiplica su área por cuatro, lo que es dos (la relación de la longitud del lado nuevo al anterior) elevado a la potencia de dos (la dimensión del espacio en el que reside el polígono). Del mismo modo, si el radio de una esfera se duplica, su volumen se escala en ocho, lo que es dos (la relación del radio nuevo al anterior) a la potencia de tres (la dimensión en la que reside la esfera). Sin embargo, si todas las longitudes unidimensionales de un fractal se duplican, el contenido espacial del fractal se escalará mediante una potencia que no es necesariamente un número entero . [1] Este poder se llamaDimensión fractal del fractal, y generalmente excede la dimensión topológica del fractal . [7]
Analíticamente, los fractales no suelen ser diferenciables en ninguna parte . [1] [4] [8] Una curva fractal infinita puede concebirse como sinuosa a través del espacio de manera diferente a una línea ordinaria, aunque aún es unidimensional , su dimensión fractal indica que también se parece a una superficie. [1] [7]
A partir del siglo XVII con nociones de recursión , los fractales han pasado por un tratamiento matemático cada vez más riguroso del concepto al estudio de funciones continuas pero no diferenciables en el siglo XIX por el trabajo seminal de Bernard Bolzano , Bernhard Riemann y Karl Weierstrass, [ 9] y luego a la acuñación de la palabra fractal en el siglo 20 con un creciente interés en los fractales y el modelado basado en computadora en el siglo 20. [10] [11] El término "fractal" fue utilizado por primera vez por el matemático Benoit Mandelbroten 1975. Mandelbrot lo basó en el latín frāctus , que significa "roto" o "fracturado", y lo utilizó para extender el concepto de dimensiones fraccionarias teóricas a los patrones geométricos en la naturaleza . [1] [12]
Existe cierto desacuerdo entre los matemáticos acerca de cómo se debe definir formalmente el concepto de fractal. El mismo Mandelbrot lo resumió como "hermoso, malditamente duro, cada vez más útil. Eso es fractales". [13]Más formalmente, en 1982, Mandelbrot declaró que "Un fractal es, por definición, un conjunto para el cual la dimensión de Hausdorff-Besicovitchsupera estrictamente la dimensión topológica ". [14] Más tarde, al ver que esto era demasiado restrictivo, simplificó y amplió la definición a: "Un fractal es una forma hecha de partes similares a la totalidad de alguna manera". [15]Más tarde, Mandelbrot se decidió por este uso del lenguaje: "... para usar fractal sin una definición pedante, para usarDimensión fractal como término genérico aplicable a todas las variantes ". [16]
El consenso es que los fractales teóricos son construcciones matemáticas infinitamente auto-similares, iteradas y detalladas que tienen dimensiones fractales, de las cuales muchos ejemplos se han formulado y estudiado en gran profundidad. [1] [2] [3] Los fractales no se limitan a patrones geométricos, sino que también pueden describir procesos en el tiempo. [6] [4] [17] [18] [19] [20] Los patrones fractales con diversos grados de auto-similitud se han renderizado o estudiado en imágenes, estructuras y sonidos [21] y se encuentran en la naturaleza , [22] [ 23] [24] [25] [26] tecnología, [27] [28] [29] [30] art , [31] [32] architecture [33] and law . [34] Los fractales son de particular relevancia en el campo de la teoría del caos , ya que los gráficos de la mayoría de los procesos caóticos son fractales.
Introducción [ editar ]
La palabra "fractal" a menudo tiene diferentes connotaciones para el público lego en comparación con los matemáticos, donde es más probable que el público esté más familiarizado con el arte fractal que con el concepto matemático. El concepto matemático es difícil de definir formalmente, incluso para los matemáticos, pero las características clave se pueden entender con pocos antecedentes matemáticos.
La característica de "auto-similitud", por ejemplo, se entiende fácilmente por analogía con el zoom con una lente u otro dispositivo que se acerca a imágenes digitales para descubrir una estructura más nueva, anteriormente invisible y más fina. Sin embargo, si esto se hace en fractales, no aparece ningún detalle nuevo; nada cambia y el mismo patrón se repite una y otra vez, o para algunos fractales, casi el mismo patrón vuelve a aparecer una y otra vez. [5] La auto similitud en sí misma no es necesariamente contraintuitiva (por ejemplo, las personas han reflexionado sobre la auto similitud de manera informal, como en el retroceso infinito en espejos paralelos o el homúnculo , el hombrecito dentro de la cabeza del hombrecito dentro de la cabeza. ..). La diferencia para los fractales es que el patrón reproducido debe ser detallado. [1] :166; 18 [2] [12]
Esta idea de ser detallado se refiere a otra característica que puede ser entendido sin formación matemática: Tener una dimensión fractal mayor que su dimensión topológica, por ejemplo, se refiere a cómo comparó un escalas fractal a cómo geométricas formasSe suelen percibir. Una línea regular, por ejemplo, se entiende convencionalmente como unidimensional; si una curva de este tipo se repila en partes cada 1/3 de la longitud del original, siempre hay tres piezas iguales. Un cuadrado sólido se entiende como bidimensional; Si una figura de este tipo se repila piezas en mosaico cada una reducida por un factor de 1/3 en ambas dimensiones, hay un total de 3² = 9 piezas. Vemos que para los objetos ordinarios que se parecen a sí mismos, ser n-dimensional significa que cuando se repila en partes cada una de ellas a escala reducida por un factor de escala de 1 / r , hay un total de r n piezas. Ahora, considere la curva de Koch. Puede ser repilado en cuatro sub-copias, cada una reducida por un factor de escala de 1/3. Entonces, estrictamente por analogía, podemos considerar la "dimensión" de la curva de Koch como el único número real D que satisface 3 D = 4, que de ninguna manera es un número entero. Este número es lo que los matemáticos llaman la dimensión fractal de la curva de Koch. El hecho de que la curva de Koch tenga una dimensión fractal no entera es lo que la convierte en un fractal.
Esto también lleva a comprender una tercera característica, que los fractales como ecuaciones matemáticas no son " diferenciables en ninguna parte ". En un sentido concreto, esto significa que los fractales no pueden medirse de manera tradicional. [1] [4] [8] Para elaborar, al tratar de encontrar la longitud de una curva no fractal ondulada, se podrían encontrar segmentos rectos de alguna herramienta de medición lo suficientemente pequeños como para extenderse de un extremo a otro sobre las olas, donde las piezas podrían ser lo suficientemente pequeño como para que se considere que se ajusta a la curva en la forma normal de medicióncon una cinta métrica. Pero al medir una curva fractal infinitamente "ondulada" como el copo de nieve de Koch, uno nunca encontrará un segmento recto lo suficientemente pequeño como para ajustarse a la curva, porque el patrón irregular siempre reaparecerá, en escalas arbitrariamente pequeñas, esencialmente tirando un poco más de la cinta métrica en la longitud total medida cada vez que uno intentó ajustarlo más y más a la curva. El resultado es que se necesita una cinta infinita para cubrir perfectamente toda la curva, es decir, el copo de nieve tiene un perímetro infinito. [1]
Historia [ editar ]
La historia de los fractales traza un camino desde estudios principalmente teóricos hasta aplicaciones modernas en gráficos por computadora, con varias personas notables que contribuyen con formas fractales canónicas en el camino. [10] [11] Según Pickover, las matemáticas detrás de los fractales comenzaron a tomar forma en el siglo XVII cuando el matemático y filósofo Gottfried Leibnizreflexionó sobre la auto-similitud recursiva (aunque cometió el error de pensar que solo la línea recta era autoestima). similar en este sentido). [36] En sus escritos, Leibniz usó el término "exponentes fraccionarios", pero lamentó que "Geometría" aún no los conociera. [1] : 405De hecho, según varios relatos históricos, después de ese punto, pocos matemáticos abordaron los problemas, y el trabajo de quienes lo hicieron permaneció oculto en gran medida debido a la resistencia a conceptos emergentes tan poco conocidos, que a veces se denominaban "monstruos" matemáticos. [8] [10] [11] Así, no fue sino hasta dos siglos después que el 18 de julio de 1872, Karl Weierstrass presentó la primera definición de una función con un gráfico que hoy se consideraría un fractal, teniendo la no intuitiva. propiedad de ser un lugar continuo en todas partes, pero en ningún lugar diferenciable en la Real Academia Prusiana de Ciencias. [10]: 7 [11] Además, la diferencia de cociente se vuelve arbitrariamente grande a medida que aumenta el índice de suma. [37] No mucho después de eso, en 1883, Georg Cantor , quien asistió a las conferencias de Weierstrass, [11] publicó ejemplos de subconjuntos de la línea real conocidos como conjuntos de Cantor , que tenían propiedades inusuales y ahora se reconocen como fractales. [10] : 11–24 También en la última parte de ese siglo, Felix Klein y Henri Poincaré introdujeron una categoría de fractal que ha llegado a llamarse fractales "autoinversos". [1] : 166
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Uno de los próximos hitos se produjo en 1904, cuando Helge von Koch , que extendió las ideas de Poincaré e insatisfecho con la definición analítica y abstracta de Weierstrass, dio una definición más geométrica que incluye imágenes dibujadas a mano de una función similar, que ahora se llama copo de nieve de Koch . [10] : 25 [11] Otro hito se produjo una década después, en 1915, cuando Wacław Sierpiński construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra . En 1918, dos matemáticos franceses, Pierre Fatou y Gaston Julia, aunque trabajaron de forma independiente, llegaron esencialmente a resultados simultáneos que describían lo que ahora se considera un comportamiento fractal asociado con el mapeo de números complejos y funciones iterativas y que conduce a más ideas sobre los atractores y repelentes (es decir, los puntos que atraen o rechazan otros puntos), que se han convertido en Muy importante en el estudio de los fractales. [4] [10] [11] Muy poco después de que se presentó el trabajo, en marzo de 1918, Felix Hausdorff expandió la definición de "dimensión", significativamente para la evolución de la definición de fractales, para permitir que los conjuntos no tuvieran enteros. dimensiones. [11] La idea de curvas auto-similares fue llevada más lejos por Paul Lévy., Quien, en sus 1938 de papel del plano o en el espacio Curvas y Superficies compuestos de partes similares al Todo describe una nueva curva fractal, la curva de Lévy C . [notas 1]
Diferentes investigadores han postulado que sin la ayuda de los modernos gráficos por computadora, los primeros investigadores se limitaron a lo que podían representar en dibujos manuales, por lo que carecían de los medios para visualizar la belleza y apreciar algunas de las implicaciones de muchos de los patrones que habían descubierto (el El conjunto de Julia, por ejemplo, solo se podía visualizar a través de unas pocas iteraciones como dibujos muy simples). [1] : 179 [8] [11] Sin embargo, eso cambió en la década de 1960, cuando Benoit Mandelbrot comenzó a escribir sobre la auto-similitud en artículos como ¿Qué tan larga es la costa de Gran Bretaña? Auto-similitud estadística y dimensión fraccional , [38] [39] que se basó en el trabajo anterior deLewis Fry Richardson . En 1975 [12] Mandelbrot consolidó cientos de años de pensamiento y desarrollo matemático al acuñar la palabra "fractal" e ilustró su definición matemática con sorprendentes visualizaciones construidas por computadora. Estas imágenes, como las de su conjunto canónico de Mandelbrot, capturaron la imaginación popular; muchos de ellos se basaron en la recursión, lo que llevó al significado popular del término "fractal". [40] [8] [10] [36]
En 1980, Loren Carpenter hizo una presentación en el SIGGRAPH donde introdujo su software para generar y renderizar paisajes generados de manera fractal. [41]
Definición y características [ editar ]
Una descripción frecuentemente citada que Mandelbrot publicó para describir fractales geométricos es "una forma geométrica áspera o fragmentada que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido de la totalidad"; [1] esto es generalmente útil pero limitado. Los autores no están de acuerdo con la definición exacta de fractal , pero generalmente elaboran sobre las ideas básicas de auto-similitud y la relación inusual que los fractales tienen con el espacio en el que están incrustados. [1] [6] [2] [4] [42]
Un punto acordado es que los patrones fractales se caracterizan por dimensiones fractales , pero mientras que estos números cuantifican la complejidad (es decir, el cambio de detalle con la escala cambiante), no describen ni especifican de manera única los detalles de cómo construir patrones fractales particulares. [43] En 1975, cuando Mandelbrot acuñó la palabra "fractal", lo hizo para denotar un objeto cuya dimensión Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica . [12] Sin embargo, se ha observado que este requisito no se cumple con las curvas de relleno de espacio , como la curva de Hilbert . [notas 2]
Debido a los problemas que implica encontrar una definición para los fractales, algunos argumentan que los fractales no deben definirse estrictamente. Según Falconer, los fractales, además de no ser diferenciables en ninguna parte y ser capaces de tener una dimensión fractal , solo deben caracterizarse generalmente por una gestalt de las siguientes características; [2]
- Auto-similitud, que puede incluir:
- Auto-similitud exacta: idéntica en todas las escalas, como el copo de nieve de Koch
- Cuasi auto similitud: aproxima el mismo patrón a diferentes escalas; puede contener pequeñas copias de todo el fractal en formas distorsionadas y degeneradas; Por ejemplo, los satélites del conjunto de Mandelbrot son aproximaciones de todo el conjunto, pero no copias exactas.
- Auto-similitud estadística: repite un patrón estocásticamente para que las medidas numéricas o estadísticas se conserven a través de escalas; por ejemplo, fractales generados al azar como el conocido ejemplo del litoral de Gran Bretaña para el cual no se esperaría encontrar un segmento escalado y repetido tan claramente como la unidad repetida que define fractales como el copo de nieve de Koch. [4]
- Auto-similitud cualitativa: como en una serie de tiempo [17]
- Escalado multifractal : caracterizado por más de una dimensión fractal o regla de escalado
- Estructura fina o detallada a escalas arbitrariamente pequeñas. Una consecuencia de esta estructura es que los fractales pueden tener propiedades emergentes [44] (en relación con el siguiente criterio en esta lista).
- Irregularidad local y global que no se describe fácilmente en el lenguaje geométrico euclidiano tradicional . Para imágenes de patrones fractales, esto se ha expresado con frases como "apilar suavemente las superficies" y "remolinos sobre remolinos". [7]
- Definiciones simples y "quizás recursivas "; Ver técnicas comunes para generar fractales.
Como grupo, estos criterios forman pautas para excluir ciertos casos, como aquellos que pueden ser auto-similares sin tener otras características fractales típicas. Una línea recta, por ejemplo, es auto-similar pero no fractal porque carece de detalle, se describe fácilmente en el lenguaje euclidiana, tiene la misma dimensión de Hausdorff como dimensión topológica , y está completamente definido sin necesidad de recursión.
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