TEMAS DE GEOMETRÍA

la geometría cuántica es el conjunto de conceptos matemáticos que generalizan los conceptos de geometría cuya comprensión es necesaria para describir los fenómenos físicos a escalas de distancia comparables a la longitud de Planck . A estas distancias, la mecánica cuántica tiene un profundo efecto sobre los fenómenos físicos.

Gravedad Quantum [ editar ]

Artículo principal: gravedad cuántica

Cada teoría de la gravedad cuántica utiliza el término "geometría cuántica" de una manera ligeramente diferente. La teoría de cuerdas , un candidato líder para una teoría cuántica de la gravedad, utiliza el término geometría cuántica para describir fenómenos exóticos como la dualidad T y otras dualidades geométricas , simetría de espejo , transiciones de cambios de topología ^{[ clarificación necesaria ]} , escala de distancia mínima posible y Otros efectos que desafían la intuición. Más técnicamente, la geometría cuántica se refiere a la forma de una variedad espaciotemporal como la experimentada por las D-branas, que incluye correcciones cuánticas a laTensor métrico , como los instantes de hoja mundial . Por ejemplo, el volumen cuántico de un ciclo se calcula a partir de la masa de una brana envuelta en este ciclo. Como otro ejemplo, una distancia entre dos partículas mecánicas cuánticas se puede expresar en términos de la métrica Łukaszyk – Karmowski . ^[1]

En un enfoque alternativo a la gravedad cuántica denominado gravedad cuántica de bucle (LQG), la frase "geometría cuántica" generalmente se refiere al formalismo dentro de LQG donde los observables que capturan la información sobre la geometría son ahora operadores bien definidos en un espacio de Hilbert . En particular, ciertos observables físicos , como el área, tienen un espectro discreto . También se ha demostrado que la geometría cuántica de bucles no es conmutativa . ^[2]

Es posible (pero se considera poco probable) que esta comprensión estrictamente cuantificada de la geometría sea consistente con la imagen cuántica de la geometría que surge de la teoría de cuerdas.

Otro enfoque bastante exitoso, que trata de reconstruir la geometría del espacio-tiempo a partir de los "primeros principios" es la gravedad cuántica de Lorentzus discreta .

Estados cuánticos como formas diferenciales [ editar ]

Artículo principal: función de onda

Ver también: formas diferenciales.

Las formas diferenciales se utilizan para expresar estados cuánticos , utilizando el producto de cuña : ^[3]

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ int \ psi (\ mathbf {x}, t) \, | \ mathbf {x}, t \ rangle \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} }

donde el vector de posicion es

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}

el elemento de volumen diferencial es

$${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} = \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \! \ wedge \ mathrm {d } x ^ {3}}

y x ¹ , x ² , x ³ son un conjunto arbitrario de coordenadas, los índices superiores indican contravarianza , los índices inferiores indican covarianza , por lo que explícitamente el estado cuántico en forma diferencial es:

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ int \ psi (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}, t) \, | x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}, t \ rangle \, \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ Wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \! \ Wedge \ mathrm {d} x ^ {3}}

La integral de superposición viene dada por:

$${\ displaystyle \ langle \ chi | \ psi \ rangle = \ int \ chi ^ {*} \ psi ~ \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x}}

en forma diferencial esto es

$${\ displaystyle \ langle \ chi | \ psi \ rangle = \ int \ chi ^ {*} \ psi ~ \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ {2} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ {3}}

La probabilidad de encontrar la partícula en alguna región del espacio R viene dada por la integral sobre esa región:

$${\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = \ int _ {R} \ psi ^ {*} \ psi ~ \ mathrm {d} x ^ {1} \! \ wedge \ mathrm {d} x ^ { 2} \! \ Wedge \ mathrm {d} x ^ {3}}

siempre que la función de onda se normalice . Cuando R es todo el espacio de posición 3d, la integral debe ser 1si la partícula existe.

Las formas diferenciales son un enfoque para describir la geometría de curvas y superficies de una manera independiente de coordenadas. En mecánica cuántica , las situaciones idealizadas ocurren en coordenadas cartesianas rectangulares , como el pozo potencial , partícula en una caja , oscilador armónico cuántico y aproximaciones más realistas en coordenadas polares esféricas , como electrones en átomos y moléculas . En general, es útil un formalismo que pueda usarse en cualquier sistema de coordenadas.

La geometría riemanniana es la rama de la geometría diferencialque estudia las variedades riemannianas , variedades lisas con una métrica riemanniana , es decir, con un producto interno en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro. Esto da, en particular, nociones locales de ángulo , longitud de curvas , área de superficie y volumen . De estos, se pueden derivar otras cantidades globales integrando las contribuciones locales.

La geometría riemanniana se originó con la visión de Bernhard Riemann expresada en su conferencia inaugural " Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría"). Es una generalización muy amplia y abstracta de la geometría diferencial de superficies en R ³ . El desarrollo de la geometría riemanniana dio como resultado la síntesis de diversos resultados relacionados con la geometría de las superficies y el comportamiento de las geodésicas en ellas, con técnicas que se pueden aplicar al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Esto permitió la formulación de Einstein 's teoría general de la relatividad, hizo un profundo impacto en la teoría de grupos y en la teoría de la representación , así como en el análisis , y estimuló el desarrollo de topología algebraica y diferencial .

Introducción [ editar ]

Bernhard Riemann

Bernhard Riemann expuso por primera vez en general la geometría riemanniana en el siglo XIX. Se ocupa de una amplia gama de geometrías cuyas propiedades métricas varían de un punto a otro, incluidos los tipos estándar de geometría no euclidiana .

Cada colector liso admite una métrica riemanniana , que a menudo ayuda a resolver problemas de topología diferencial . También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-riemannianas , que (en cuatro dimensiones) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general . Otras generalizaciones de la geometría riemanniana incluyen la geometría de Finsler .

Existe una estrecha analogía de la geometría diferencial con la estructura matemática de los defectos en los cristales regulares. Las dislocaciones y las disclinaciones producen torsiones y curvatura. ^[1] [2]

Los siguientes artículos proveen material de introducción útil:

• Tensor métrico
• Colector riemanniano
• Conexión levi-civita
• Curvatura
• Tensor de curvatura
• Lista de temas de geometría diferencial
• Glosario de geometría riemanniana y métrica.

Teoremas clásicos [ editar ]

Lo que sigue es una lista incompleta de los teoremas más clásicos de la geometría riemanniana. La elección se realiza en función de su importancia y elegancia de formulación. La mayoría de los resultados se pueden encontrar en la monografía clásica de Jeff Cheeger y D. Ebin (ver más abajo).

Las formulaciones dadas están lejos de ser muy exactas o las más generales. Esta lista está orientada a aquellos que ya conocen las definiciones básicas y desean saber de qué se tratan estas definiciones.

Teoremas generales [ editar ]

1. Gauss-Bonnet teorema La integral de la curvatura Gauss en una variedad de Riemann 2-dimensional compacto es igual a 2πχ ( M ) donde χ ( M ) indica la característica de Euler de M . Este teorema tiene una generalización a cualquier colector de Riemann compacto de dimensiones uniformes, véase elteorema generalizado de Gauss-Bonnet .
2. Los teoremas de integración de Nash también se denominan teoremas fundamentales de la geometría riemanniana . Afirman que todas las variedades riemannianas se pueden incrustar isométricamenteen unespacio euclidiano R ⁿ .

Geometría en grande [ editar ]

En todos los teoremas siguientes asumimos algún comportamiento local del espacio (generalmente formulado usando el supuesto de curvatura) para derivar alguna información sobre la estructura global del espacio, incluida alguna información sobre el tipo topológico de la variedad o sobre el comportamiento de los puntos a distancias "suficientemente grandes".

Curvatura seccional pellizcada [ editar ]

1. Teorema de la esfera . Si M es uncolector de Riemanncompacto y n- dimensional compacto con una curvatura seccional estrictamente comprimido entre 1/4 y 1, entonces M es difeomorfo a una esfera.
2. Teorema de finitud de Cheeger. Dadas las constantes C , D y V , solo hay finamente múltiples (hasta difeomorfismo) múltiples riemannianas compactas y ndimensionales con curvatura seccional | K | ≤ C , diámetro ≤ D y el volumen ≥ V .
3. Las variedades casi planas de Gromov . Hay una ε _n > 0 tal que si unavariedad de Riemannian n-dimensional tiene una métrica con curvatura seccional | K | ≤ ε _n y diámetro ≤ 1, entonces su cubierta finita es difeomorfa a una variedad nula .

Curvatura seccional acotada inferiormente [ editar ]

1. El teorema del alma de Cheeger-Gromoll . Si M es un colector de Riemann no tridimensional n, no curvado, completo y no compacto , entonces M contiene un sub-distribuidor S totalmente geodésico compacto, de tal manera que M es difeomorfo al paquete normal de S ( S se llama el alma de M. ) In en particular, si M tiene una curvatura estrictamente positiva en todas partes, entonces es difeomorfo a R ⁿ . G. Perelman en 1994 dio una prueba sorprendentemente elegante / breve de la Conjetura del Alma:M es difeomorfo a R ⁿ si tiene una curvatura positiva en un solo punto.
2. El teorema de Betti de Gromov. Hay una constante C = C ( n ) tal que si M es un compacto conectado nvariedad de Riemann -dimensional con curvatura seccional positiva, entonces la suma de sus números de Betti es como máximo C .
3. El teorema de la finitud de Grove-Petersen. Constantes Dadas C , D y V , sólo hay un número finito de tipos de homotopía de compactos n variedades de Riemann -dimensional con curvatura seccional K ≥ C , diámetro ≤ D y el volumen ≥ V .

Curvatura seccional delimitada arriba [ editar ]

1. El teorema de Cartan-Hadamard establece que una variedad Riemanniana M completa y simplemente conectada con curvatura en sección no positiva es difeomorfa al espacio euclidiano R ⁿ con n = dim M através del mapa exponencial en cualquier punto. Implica que cualquiera de los dos puntos de una variedad Riemanniana completa simplemente conectada con una curvatura de sección no positiva están unidos por una geodésica única.
2. El flujo geodésico de cualquier colector Riemannian compacto con curvatura seccional negativa es ergódico .
3. Si M es una variedad Riemanniana completa con una curvatura seccional limitada por una constante estrictamente negativa k, entonces es un espacio CAT ( k ) . En consecuencia, su grupo fundamental Γ =  π ₁ ( M ) es hiperbólico de Gromov . Esto tiene muchas implicaciones para la estructura del grupo fundamental:

• se presenta finamente ;
• la palabra problema para Γ tiene una solución positiva;
• el grupo Γ tiene una dimensión cohomológica virtual finita ;
• contiene solo finamente muchas clases de conjugación de elementos de orden finito ;
• los abelianos subgrupos de Γ son prácticamente cíclico , de manera que no contiene un subgrupo isomorfo a Z × Z .

La curvatura de Ricci limitada hacia abajo [ editar ]

1. Teorema de Myers . Si una variedad Riemanniana compacta tiene una curvatura Ricci positiva, entonces su grupo fundamental es finito.
2. Fórmula de Bochner . Si uncolector n de Riemannian compactotiene curvatura de Ricci no negativa, entonces su primer número de Betti es a lo sumo n , con igualdad si y solo si el múltiple de Riemann es un toro plano.
3. Teorema de división . Si una completa n variedad de Riemann -dimensional tiene no negativo curvatura de Ricci y una línea recta (es decir, una geodésica que minimiza la distancia en cada intervalo), entonces es isométrica a un producto directo de la línea real y una completa ( n -1) de Riemann -dimensional Múltiple que tiene curvatura no negativa de Ricci.
4. La desigualdad obispo-gromov . El volumen de una bola métrica de radio r en unavariedad de Riemannian n- dimensionalcompletacon curvatura de Ricci positiva tiene como máximo el volumen del volumen de una bola del mismo radio r en el espacio euclidiano.
5. Teorema de la compacidad de Gromov . El conjunto de todos los colectores de Riemann con curvatura y diámetro de Ricci positivos a lo sumo D es pre-compacto en la métrica de Gromov-Hausdorff .

Negativo curvatura de Ricci [ editar ]

1. El grupo de isometría de una variedad compacta de Riemann con curvatura de Ricci negativa es discreto .
2. Cualquier variedad suave de dimensión n ≥ 3 admite una métrica de Riemann con curvatura de Ricci negativa. ^[3] ( Esto no es cierto para las superficies .)

Positivo curvatura escalar [ editar ]

1. El toro n- dimensional no admite una métrica con curvatura escalar positiva.
2. Si el radio de inyectividad de una variedad Riemanniana compacta de n dimensiones es ≥ π, la curvatura escalar promedio es como máximo n ( n -1).