TEMAS DE GEOMETRÍA

La geometría diferencial es una disciplina matemática que utiliza las técnicas de cálculo diferencial , cálculo integral , álgebra lineal y álgebra multilineal para estudiar problemas en geometría . La teoría de las curvas y superficies planas y espaciales en el espacio euclidianotridimensional formó la base para el desarrollo de la geometría diferencial durante los siglos XVIII y XIX.

Desde finales del siglo XIX, la geometría diferencial se ha convertido en un campo más generalmente relacionado con las estructuras geométricas en variedades diferenciables . La geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología diferencial y los aspectos geométricos de la teoría de las ecuaciones diferenciales . La geometría diferencial de las superficies captura muchas de las ideas y técnicas clave endémicas de este campo.

Un triángulo inmerso en un plano en forma de silla de montar (un paraboloide hiperbólico ), así como dos líneas ultra paralelas divergentes .

La geometría diferencial surgió y se desarrolló como resultado de y en conexión con el análisis matemático de curvas y superficies. ^{[1] El} análisis matemático de curvas y superficies se había desarrollado para responder algunas de las preguntas molestas y sin respuesta que aparecían en el cálculo , como las razones de las relaciones entre formas y curvas complejas, series y funciones analíticas. Estas preguntas sin respuesta indicaban relaciones mayores y ocultas.

La idea general de las ecuaciones naturales para obtener curvas a partir de la curvatura local parece haber sido considerada por primera vez por Leonhard Euler en 1736, y en el siglo XIX se estudiaron muchos ejemplos con un comportamiento bastante simple. ^[2]

Cuando se encontró que las curvas, las superficies encerradas por curvas y los puntos de las curvas se relacionaban cuantitativamente y, en general, en relación con las formas matemáticas, el estudio formal de la naturaleza de las curvas y las superficies se convirtió en un campo de estudio por derecho propio, con el métodode Monge . artículo en 1795, y especialmente, con la publicación de Gauss de su artículo, titulado 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas', en Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentioresen 1827. ^[3]

Inicialmente aplicadas al espacio euclidiano, las exploraciones posteriores condujeron al espacio no euclidiano, y a los espacios métricos y topológicos.

Sucursales [ editar ]

La geometría de Riemann [ editar ]

Artículo principal: geometría riemanniana.

La geometría riemanniana estudia las variedades riemannianas , variedades lisas con una métrica riemanniana . Este es un concepto de distancia expresado por medio de una forma bilineal simétrica definida lisa positivadefinida en el espacio tangente en cada punto. La geometría riemanniana generaliza la geometría euclidiana a espacios que no son necesariamente planos, aunque aún se parecen al espacio euclidiano en cada punto infinitesimalmente, es decir, en el primer orden de aproximación . Varios conceptos basados ​​en la longitud, como la longitud del arco de las curvas , el área de las regiones planas yEl volumen de sólidos todos poseen análogos naturales en la geometría riemanniana. La noción de una derivada direccional de una función del cálculo multivariable se extiende en la geometría riemanniana a la noción de una derivada covariante de un tensor . Muchos conceptos y técnicas de análisis y ecuaciones diferenciales se han generalizado en el contexto de las variedades riemannianas.

Un difeomorfismo que preserva la distancia entre las variedades de Riemann se llama isometría . Esta noción también se puede definir localmente , es decir, para pequeños barrios de puntos. Cualquiera de las dos curvas regulares son localmente isométricas. Sin embargo, Theorema Egregium de Carl Friedrich Gauss demostró que para las superficies, la existencia de una isometría local impone fuertes condiciones de compatibilidad en sus métricas: las curvaturas gaussianas en los puntos correspondientes deben ser las mismas. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemann.es un invariante puntual importante asociado con una variedad de Riemann que mide qué tan cerca está de ser plano. Una clase importante de variedades riemannianas son los espacios simétricos riemannianos , cuya curvatura no es necesariamente constante. Estos son los análogos más cercanos al plano y espacio "ordinarios" considerados en la geometría euclidiana y no euclidiana .

Geometría pseudo-riemanniana [ editar ]

La geometría pseudo-riemanniana generaliza la geometría riemanniana en el caso en el que el tensor métrico no necesita ser positivo-definido . Un caso especial de esto es una variedad lorentziana , que es la base matemática de la teoría de la gravedad de la relatividad general de Einstein .

Geometría de Finsler [ editar ]

Artículo principal: colector Finsler

La geometría de Finsler tiene los colectores de Finsler como el principal objeto de estudio. Esta es una variedad diferencial con una métrica de Finsler , es decir, una norma de Banach definida en cada espacio tangente. Las variedades riemannianas son casos especiales de las variedades más generales de Finsler. Una estructura de Finsler en un colector M es una función F  : T M → [0, ∞) tal que:

1. F ( x , mi ) = | m | F ( x , y ) para todo x , y en T M ,
2. F es infinitamente diferenciable en T M ∖ {0} ,
3. La arpillera vertical de F ² es positiva definida.

Geometría simpléctica [ editar ]

Artículo principal: Geometría simpléctica.

La geometría simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas . Un colector casi simpléctico es una variedad diferenciable equipado con un suavemente variable no degenerado antisimétrica forma bilineal en cada espacio tangente, es decir, un no degenerado 2- forma ω , llamada la forma simpléctica . Una variedad simpléctica es una variedad casi simpléctica para la cual la forma simpléctica ω está cerrada: d ω = 0 .

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas que preserva la forma simpléctica se denomina simplectomorfismo . Las formas bilineales asimétricas no degeneradas solo pueden existir en espacios vectoriales de dimensiones uniformes, por lo que las variedades simplécticas necesariamente tienen una dimensión uniforme. En la dimensión 2, una variedad simpléctica es solo una superficie dotada de una forma de área y un simplectomorfismo es un difeomorfismo que preserva áreas. El espacio de fases de un sistema mecánico es una variedad simpléctica y ya hicieron una aparición implícita en el trabajo de Joseph Louis Lagrange sobre mecánica analítica y más tarde en el de Carl Gustav Jacobi y William Rowan Hamilton.Las formulaciones de la mecánica clásica .

En contraste con la geometría riemanniana, donde la curvatura proporciona un invariante local de las variedades riemannianas, el teorema de Darboux establece que todas las variedades simplécticas son localmente isomorfas. Los únicos invariantes de una variedad simpléctica son de naturaleza global y los aspectos topológicos desempeñan un papel destacado en la geometría simpléctica. El primer resultado en la topología simpléctica es probablemente el teorema de Poincaré-Birkhoff , conjeturado por Henri Poincaré y luego probado por GD Birkhoffen 1912. Afirma que si un área que preserva el mapa de un anillo tuerce cada componente del límite en direcciones opuestas, entonces el mapa tiene Al menos dos puntos fijos. ^[4]

Geometría de contacto [ editar ]

Artículo principal: Geometría de contacto.

La geometría de contacto se ocupa de ciertas variedades de dimensión impar. Está cerca de la geometría simpléctica y, como esta última, se originó en cuestiones de mecánica clásica. Una estructura de contacto en un colector M dimensional (2 n + 1) viene dada por un campo de hiperplano suave H en el haz tangente que está lo más lejos posible de estar asociado con los conjuntos de niveles de una función diferenciable en M (el término técnico es "distribución de hiperplano tangente completamente insostenible"). Cerca de cada punto p , una distribución de hiperplano se determina mediante una forma 1 que no desaparece. $${\ displaystyle \ alpha}, que es único hasta la multiplicación por una función de desaparición en ninguna parte:

$${\ displaystyle H_ {p} = \ ker \ alpha _ {p} \ subconjunto T_ {p} M.}

Una forma 1 local en M es una forma de contacto si la restricción de su derivado exterior a H es una forma doble no degenerada y, por lo tanto, induce una estructura simpléctica en H _p en cada punto. Si la distribución H puede ser definida por una forma global$${\ displaystyle \ alpha} entonces esta forma es contacto si y solo si la forma de dimensión superior

$${\ displaystyle \ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}}

es una forma de volumen en M , es decir, no desaparece en ninguna parte. Un análogo de contacto del teorema de Darboux es válido: todas las estructuras de contacto en una variedad de dimensión impar son localmente isomorfas y se pueden llevar a una cierta forma normal local mediante una elección adecuada del sistema de coordenadas.

Geometría compleja y Kähler [ editar ]

La geometría diferencial compleja es el estudio de múltiples complejos . Un colector casi complejo es un colector real.$${\ displaystyle M}, dotado de un tensor de tipo (1, 1), es decir, un endomorfismo de paquete vectorial (llamado una estructura casi compleja )

$${\ displaystyle J: TM \ rightarrow TM}, tal que $${\ displaystyle J ^ {2} = - 1. \,}

De esta definición se desprende que una variedad casi compleja es de dimensión pareja.

Una variedad casi compleja se llama compleja si$${\ displaystyle N_ {J} = 0}, dónde $${\ displaystyle N_ {J}} es un tensor de tipo (2, 1) relacionado con $${\ displaystyle J}, llamado el tensor de Nijenhuis (o a veces la torsión ). Una variedad casi compleja es compleja si y solo si admite un atlas de coordenadas holomorfas . Una estructura casi hermitiana está dada por una estructura casi compleja J , junto con una métrica de Riemann g , satisfaciendo la condición de compatibilidad

$${\ displaystyle g (JX, JY) = g (X, Y) \,}.

Una estructura casi hermitiana define naturalmente una diferencial de dos formas.

$${\ displaystyle \ omega _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y) \,}.

Las siguientes dos condiciones son equivalentes:

1. $${\ displaystyle N_ {J} = 0 {\ mbox {y}} d \ omega = 0 \,}
2. $${\ displaystyle \ nabla J = 0 \,}

dónde $${\ displaystyle \ nabla}es la conexión de Levi-Civita de$${\ displaystyle g}. En este caso,$${\ displaystyle (J, g)}se llama estructura de Kähler , y una variedad de Kähler es una variedad dotada de una estructura de Kähler. En particular, una variedad Kähler es a la vez una variedad compleja y simpléctica . Una gran clase de variedades Kähler (la clase de variedades Hodge ) está dada por todas las variedades proyectivas complejas lisas .

Geometría CR [ editar ]

La geometría CR es el estudio de la geometría intrínseca de los límites de los dominios en variedades complejas.

Topología diferencial [ editar ]

La topología diferencial es el estudio de invariantes geométricos globales sin forma métrica o simpléctica.

La topología diferencial se inicia a partir de operaciones naturales como la derivada de Lie de paquetes de vectores naturales y el diferencial de formas de Rham . Además de los algebroides de Lie , también los algebroides de Courant comienzan a desempeñar un papel más importante.

Grupos de mentiras [ editar ]

Un grupo de Lie es un grupo en la categoría de variedades lisas. Además de las propiedades algebraicas, este goza también de propiedades geométricas diferenciales. La construcción más obvia es la de un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la unidad dotada con el corchete de Lie entre campos vectoriales invariantes a la izquierda . Además de la teoría de la estructura, existe también el amplio campo de la teoría de la representación.

Paquetes y conexiones [ editar ]

El aparato de paquetes vectoriales , paquetes principales y conexiones en paquetes desempeña un papel extraordinariamente importante en la geometría diferencial moderna. Un colector liso siempre lleva un haz de vectores naturales, el haz tangente . En términos generales, esta estructura por sí sola es suficiente solo para desarrollar el análisis en la variedad, mientras que hacer geometría requiere, además, alguna forma de relacionar los espacios tangentes en diferentes puntos, es decir, una noción de transporte paralelo . Un ejemplo importante es proporcionado por las conexiones afines . Para una superficie en R ³Los planos tangentes en diferentes puntos pueden identificarse utilizando un paralelismo natural a lo largo del camino inducido por el espacio ambiental euclidiano, que tiene una definición estándar bien conocida de métrica y paralelismo. En la geometría riemanniana , la conexión Levi-Civita tiene un propósito similar. (La conexión Levi-Civita define el paralelismo en el camino en términos de una métrica riemanniana arbitraria dada en una variedad). Más generalmente, los geometers diferenciales consideran espacios con un paquete vectorial y una conexión afín arbitraria que no se define en términos de una métrica. En física, la variedad puede ser el continuo espacio-tiempo y los paquetes y conexiones están relacionados con varios campos físicos.

Intrínseca frente extrínseca [ editar ]

Desde el principio y hasta mediados del siglo XVIII, se estudió la geometría diferencial desde el punto de vista extrínseco : se consideró que las curvas y las superficies se encuentran en un espacio euclidiano de mayor dimensión (por ejemplo, una superficie en un espacio ambiental de tres dimensiones) . Los resultados más simples son aquellos en la geometría diferencial de las curvas y la geometría diferencial de las superficies . A partir de la obra de Riemann , la intrínseca.Se desarrolló un punto de vista en el que no se puede hablar de mover "fuera" del objeto geométrico porque se considera que se da de manera independiente. El resultado fundamental aquí es el teorema de Gauss , en el sentido de que la curvatura gaussiana es un invariante intrínseco.

El punto de vista intrínseco es más flexible. Por ejemplo, es útil en la relatividad donde el espacio-tiempo no puede tomarse como extrínseco (¿qué estaría "fuera" de él?). Sin embargo, la complejidad técnica tiene que pagar un precio: las definiciones intrínsecas de curvatura y conexiones se vuelven mucho menos intuitivas visualmente.

Estos dos puntos de vista se pueden reconciliar, es decir, la geometría extrínseca se puede considerar como una estructura adicional a la intrínseca. (Consulte el teorema de inclusión de Nash ). En el formalismo del cálculo geométrico, tanto la geometría extrínseca como la intrínseca de una variedad se pueden caracterizar por una forma única de valor bivector denominada operador de forma . ^[5]

Aplicaciones [ editar ]

Parte de una serie en
Tiempo espacial
Relatividad especial Relatividad  general.
Conceptos de espacio-tiempo[mostrar]
La relatividad general[mostrar]
Gravedad clasica[show]
Matemáticas relevantes[mostrar]
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A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se aplica la geometría diferencial a otros campos de la ciencia y las matemáticas.

• En física , la geometría diferencial tiene muchas aplicaciones, incluyendo:
  • Geometría diferencial es el idioma en el que Einstein 's teoría general de la relatividad se expresa. Según la teoría, el universo es una variedad suave equipada con una métrica pseudo-riemanniana, que describe la curvatura del espacio-tiempo . Comprender esta curvatura es esencial para el posicionamiento de los satélites en órbita alrededor de la Tierra. La geometría diferencial también es indispensable en el estudio de lentes gravitacionales y agujeros negros .
  • Las formas diferenciales se utilizan en el estudio del electromagnetismo .
  • Geometría diferencial tiene aplicaciones tanto a la mecánica de Lagrange y mecánica hamiltoniana . Las variedades simplécticas en particular se pueden usar para estudiar sistemas hamiltonianos .
  • La geometría riemanniana y la geometría de contacto se han utilizado para construir el formalismo de la geometrodermodinámica, que ha encontrado aplicaciones en la termodinámica de equilibrio clásica .
• En química y biofísica al modelar la estructura de la membrana celular bajo presión variable.
• En economía , la geometría diferencial tiene aplicaciones en el campo de la econometría . ^[6]
• El modelado geométrico (incluidos los gráficos por computadora ) y el diseño geométrico asistido por computadora se basan en ideas de geometría diferencial.
• En ingeniería , la geometría diferencial se puede aplicar para resolver problemas en el procesamiento de señales digitales . ^[7]
• En teoría del control , la geometría diferencial se puede usar para analizar controladores no lineales, particularmente el control geométrico ^[8]
• En probabilidad , estadísticas y teoría de la información , se pueden interpretar varias estructuras como múltiples de Riemann, lo que genera el campo de la geometría de la información , particularmente a través de la métrica de información de Fisher .
• En geología estructural , la geometría diferencial se utiliza para analizar y describir estructuras geológicas.
• En la visión por ordenador , la geometría diferencial se utiliza para analizar formas. ^[9]
• En el procesamiento de imágenes , la geometría diferencial se utiliza para procesar y analizar datos en superficies no planas. ^[10]
• La prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré utilizando las técnicas de los flujos de Riccidemostró el poder del enfoque diferencial-geométrico de las preguntas en la topología y destacó el importante papel que desempeñan sus métodos analíticos.
• En las comunicaciones inalámbricas , los colectores de Grassmann se utilizan para técnicas de formación de haz en múltiples sistemas de antena .