La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de la geometría que estudian las propiedades combinatorias y los métodos constructivos de objetos geométricos discretos . La mayoría de preguntas en geometría discreta implican finitos o discretos conjuntos de objetos geométricos básicos, tales como puntos , líneas , planos , círculos , esferas , polígonos , y así sucesivamente. El tema se centra en las propiedades combinatorias de estos objetos, como la forma en que se intersecan. entre sí, o cómo pueden organizarse para cubrir un objeto más grande.
Geometría discreta tiene grandes similitudes con la geometría convexa y la geometría computacional , y está estrechamente relacionada con temas tales como la geometría finita , optimización combinatoria , geometría digitales , la geometría diferencial discreta , la teoría de grafos geométrico , geometría tórica , y topología combinatoria .
Historia [ editar ]
Aunque personas como Kepler y Cauchy habían estudiado los poliedros y las teselaciones durante muchos años , la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros temas estudiados fueron: la densidad de los paquetes de círculos de Thue , las configuraciones proyectivas de Reye y Steinitz , la geometría de los números de Minkowski y los colores de los mapas de Tait, Heawood y Hadwiger .
László Fejes Tóth , HSM Coxeter y Paul Erdős , sentaron las bases de la geometría discreta . [1] [2] [3]
Temas en geometría discreta [ editar ]
Poliedros y politopos [ editar ]
Un politopo es un objeto geométrico con lados planos, que existe en cualquier número general de dimensiones. Un polígono es un politopo en dos dimensiones, un poliedro en tres dimensiones y así sucesivamente en dimensiones más altas (como un 4-politopo en cuatro dimensiones). Algunas teorías generalizan aún más la idea de incluir objetos tales como politopos sin límites ( apeirótopos y teselaciones ) y politopos abstractos .
Los siguientes son algunos de los aspectos de los politopos estudiados en geometría discreta:
- Combinatoria poliédrica
- Enrejado de politopos
- Polinomios de Ehrhart
- Teorema de pick
- Conjetura de hirsch
Empaques, cubiertas y revestimientos [ editar ]
Las empaquetaduras, cubiertas y revestimientos son todas formas de organizar objetos uniformes (normalmente círculos, esferas o azulejos) de manera regular sobre una superficie o colector .
Un empaquetamiento de esfera es una disposición de esferas no superpuestas dentro de un espacio contenedor. Las esferas consideradas son generalmente todas de tamaño idéntico, y el espacio es generalmente espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas se pueden generalizar para considerar esferas desiguales, espacio euclidiano n- dimensional (donde el problema se convierte en empaquetamiento circular en dos dimensiones, o empaquetado de hiperesfera en dimensiones más altas) o en espacios no euclidianos , como el espacio hiperbólico .
Una teselación de una superficie plana es el mosaico de un plano que utiliza una o más formas geométricas, llamadas teselas, sin superposiciones ni espacios. En matemáticas , las teselaciones pueden generalizarse a dimensiones más altas.
Los temas específicos en esta área incluyen:
- Empaques circulares
- Embalajes de esfera
- Conjetura de Kepler
- Cuasicristales
- Tejas aperiódicas
- Grafica periodica
- Reglas de subdivisión finita
La rigidez estructural y la flexibilidad [ editar ]
La rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de los conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por enlaces flexibles o bisagras.
Los temas en esta área incluyen:
Estructuras de incidencia [ editar ]
Las estructuras de incidencia generalizan los planos (como los planos afines , proyectivos y de Möbius ) como se puede ver en sus definiciones axiomáticas. Las estructuras de incidencia también generalizan los análogos de dimensiones superiores y las estructuras finitas a veces se llaman geometrías finitas .
Formalmente, una estructura de incidencia es un triple.
donde P es un conjunto de "puntos", L es un conjunto de "líneas" yEs la relación de incidencia . Los elementos deSe llaman banderas. Si
decimos que el punto p "se encuentra en" linea.
Los temas en esta área incluyen:
Matroides orientados [ editar ]
Un matroid orientado es una estructura matemática que abstrae las propiedades de los gráficos dirigidos y de las disposiciones de los vectores en un espacio vectorial sobre un campo ordenado (particularmente para espacios vectoriales parcialmente ordenados ). [4] En comparación, un ordinario (es decir, no orientada) matroid abstrae la dependencia propiedades que son comunes tanto a los gráficos , que no están necesariamente dirigidos , y a los arreglos de los vectores más de los campos, que no están necesariamente ordenadas . [5] [6]
La teoría de grafos geométricos [ editar ]
Un gráfico geométrico es un gráfico en el que los vértices o bordes están asociados con objetos geométricos . Los ejemplos incluyen gráficas euclidianas, el esqueleto 1 de un poliedro o poliótopo , gráficas de intersección y gráficas de visibilidad .
Los temas en esta área incluyen:
Complejos Simpliciales [ editar ]
Un complejo simplicial es un espacio topológico de un cierto tipo, construido por "encolado juntos" puntos , segmentos de línea , triángulos , y sus n homólogos -dimensional (véase la ilustración). Los complejos simples no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría de la homotopía simplicial moderna. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto .
Combinatoria topológica [ editar ]
La disciplina de la topología combinatoria utilizó conceptos combinatorios en la topología y, a principios del siglo 20, se convirtió en el campo de la topología algebraica .
En 1978, la situación se invirtió (se utilizaron métodos de topología algebraica para resolver un problema en combinatoria ) cuando László Lovász probó la conjetura de Kneser , comenzando así el nuevo estudio de combinatoria topológica . La prueba de Lovász utilizó el teorema de Borsuk-Ulam y este teorema conserva un papel prominente en este nuevo campo. Este teorema tiene muchas versiones y análogos equivalentes y se ha utilizado en el estudio de problemas de división equitativa .
Los temas en esta área incluyen:
Rejas y grupos discretos [ editar ]
Un grupo discreto es un grupo G equipado con la topología discreta . Con esta topología, G se convierte en un grupo topológico . Un subgrupo discreto de un grupo topológico G es un subgrupo H cuya topología relativa es la discreta. Por ejemplo, los enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los reales , R (con la topología métricaestándar ), pero los números racionales , Q , no lo hacen.
Una celosía en un grupo topológico localmente compacto es un subgrupo discreto con la propiedad de que el espacio del cociente tiene una medida invariante finita . En el caso especial de los subgrupos de R n , esto equivale a la noción geométrica usual de una red , y tanto la estructura algebraica de las redes como la geometría de la totalidad de todas las redes son relativamente bien entendidas. Resultados profundos de Borel , Harish-Chandra , Mostow , Tamagawa , MS Raghunathan , Margulis , Zimmerobtenido desde la década de 1950 hasta la década de 1970 proporcionó ejemplos y generalizó gran parte de la teoría al establecimiento de grupos de Lie nilpotentes y grupos algebraicos semisimples en un campo local . En la década de 1990, Bass y Lubotzkyiniciaron el estudio de las celosías de árboles , que sigue siendo un área de investigación activa.
Los temas en esta área incluyen:
Geometría digital [ editar ]
La geometría digital trata con conjuntos discretos (generalmente conjuntos de puntos discretos ) que se consideran modelos o imágenes digitalizadas de objetos del espacio euclidiano 2D o 3D .
En pocas palabras, la digitalización es reemplazar un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, la visualización de trama de una computadora o en los periódicos son, de hecho, imágenes digitales .
Geometría diferencial discreta [ editar ]
La geometría diferencial discreta es el estudio de contrapartes discretas de nociones en geometría diferencial . En lugar de curvas y superficies suaves, hay polígonos , mallas y complejos de simplicidad . Se utiliza en el estudio de gráficas por ordenador y combinatoria topológica .
Los temas en esta área incluyen:
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