La rotación en las matemáticas es un concepto que se origina en la geometría . Cualquier rotación es un movimiento de un cierto espacioque preserva al menos un punto . Puede describir, por ejemplo, el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo. Una rotación es diferente de otros tipos de movimientos: traducciones , que no tienen puntos fijos, y reflexiones (hiperplano) , cada uno de ellos tiene un entero ( n - 1) -dimensional plana de puntos fijos en un n - dimensionalespacio. Una rotación en el sentido de las agujas del reloj es una magnitud negativa, por lo que un giro en el sentido contrario a las agujas del reloj tiene una magnitud positiva.
Matemáticamente, una rotación es un mapa . Todas las rotaciones alrededor de un punto fijo forman un grupo bajo composición llamado el grupo de rotación (de un espacio particular). Pero en la mecánica y, más generalmente, en la física , este concepto se entiende con frecuencia como una transformación coordinada (importante, una transformación de una base ortonormal ), porque para cualquier movimiento de un cuerpo hay una transformación inversa que se aplica al marco de Los resultados de referencia en el cuerpo están en las mismas coordenadas. Por ejemplo, en dos dimensiones girando un cuerpo hacia la derecha.alrededor de un punto que mantiene los ejes fijos equivale a girar los ejes en sentido contrario a las agujas del reloj en el mismo punto mientras el cuerpo se mantiene fijo. Estos dos tipos de rotación se llaman transformaciones activas y pasivas .
Definiciones relacionadas y terminología [ editar ]
El grupo de rotación es un grupo de rotación de mentiras sobre un punto fijo . Este punto fijo (común) se llama centro de rotación y generalmente se identifica con el origen . El grupo de rotación es un estabilizador puntual en un grupo más amplio de movimientos (preservación de la orientación) .
Para una rotación particular:
- El eje de rotación es una línea de sus puntos fijos. Solo existen en n > 2 .
- El plano de rotación es un plano que es invariante bajo la rotación. A diferencia del eje, sus puntos no son fijos en sí mismos. El eje (donde está presente) y el plano de una rotación son ortogonales .
Una representación de rotaciones es un formalismo particular, ya sea algebraico o geométrico, utilizado para parametrizar un mapa de rotación. Este significado es de alguna manera inverso al significado en la teoría de grupos .
Las rotaciones de espacios (afines) de puntos y de espacios vectoriales respectivos no siempre se distinguen claramente. Las primeras a veces se denominan rotaciones afines (aunque el término es engañoso), mientras que las segundas son rotaciones vectoriales . Vea el artículo a continuación para más detalles.
Definiciones y representaciones [ editar ]
En geometría euclidiana [ editar ]
Un movimiento de un espacio euclidiano es el mismo que su isometría : deja la distancia entre dos puntos sin cambios después de la transformación. Pero una rotación (propiamente dicha) también tiene que preservar la estructura de orientación . El término " rotación impropia " se refiere a isometrías que invierten (voltean) la orientación. En el lenguaje de la teoría de grupos, la distinción se expresa como isometrías directasfrente a indirectas en el grupo euclidiano , donde el primero comprende el componente de identidad . Cualquier movimiento euclidiano directo puede representarse como una composición de una rotación alrededor del punto fijo y una traslación.
No hay rotaciones no triviales en una dimensión. En dos dimensiones , solo se necesita un único ángulo para especificar una rotación alrededor del origen : el ángulo de rotación que especifica un elemento del grupo de círculos (también conocido como U (1) ). La rotación actúa para rotar un objeto en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo θ sobre el origen ; ver más abajo para más detalles. La composición de las rotaciones suma sus ángulos de módulo 1 a su vez , lo que implica que todas las rotaciones bidimensionales sobreel mismo punto de viaje . Las rotaciones sobre diferentes puntos, en general, no conmutan. Cualquier movimiento directo bidimensional es una traslación o una rotación; vea la isometría del plano euclidiano para más detalles.
Las rotaciones en el espacio tridimensional difieren de las de dos dimensiones en varias formas importantes. Las rotaciones en tres dimensiones generalmente no son conmutativas , por lo que el orden en el que se aplican las rotaciones es importante incluso en el mismo punto. Además, a diferencia del caso bidimensional, un movimiento directo tridimensional, en posición general , no es una rotación sino una operación de tornillo . Las rotaciones sobre el origen tienen tres grados de libertad (consulte los formalismos de rotación en tres dimensiones para obtener detalles), al igual que el número de dimensiones.
Una rotación tridimensional se puede especificar de varias maneras. Los métodos más usuales son:
- Los ángulos de Euler (fotografiados a la izquierda). Cualquier rotación sobre el origen se puede representar como la composición de tres rotaciones definidas como el movimiento obtenido al cambiar uno de los ángulos de Euler mientras se dejan constantes las otras dos. Constituyen un sistema de ejes de rotación mixtos , donde el primer ángulo mueve la línea de nodos alrededor del eje externo z , el segundo gira alrededor de la línea de nodos y el tercero es una rotación intrínseca alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve. Esta presentación es conveniente solo para rotaciones sobre un punto fijo.
- La representación del ángulo del eje (ilustrada a la derecha) especifica un ángulo con el eje alrededor del cual se lleva a cabo la rotación. Se puede visualizar fácilmente. Hay dos variantes para representarlo:
- como un par que consiste en el ángulo y un vector unitario para el eje, o
- como un vector euclidiano obtenido al multiplicar el ángulo con este vector unitario, llamado vector de rotación (aunque, estrictamente hablando, es un pseudovector ).
- Matrices, versores (cuaterniones) y otras cosas algebraicas : consulte la sección Formalismo de álgebra lineal y multilineal para obtener más información.
Una rotación general en cuatro dimensiones tiene solo un punto fijo, el centro de rotación y ningún eje de rotación; vea las rotaciones en el espacio euclidiano en 4 dimensiones para más detalles. En cambio, la rotación tiene dos planos de rotación ortogonales, cada uno de los cuales está fijo en el sentido de que los puntos en cada plano permanecen dentro de los planos. La rotación tiene dos ángulos de rotación, uno para cada plano de rotación , a través de los cuales giran los puntos en los planos. Si estos son ω 1 y ω 2, entonces todos los puntos que no están en los planos giran en un ángulo entre ω 1 y ω 2. Las rotaciones en cuatro dimensiones alrededor de un punto fijo tienen seis grados de libertad. Un movimiento directo de cuatro dimensiones en posición general es una rotación alrededor de cierto punto (como en todas las dimensiones incluso euclidianas), pero también existen operaciones de tornillo.
Formalización de álgebra lineal y multilineal [ editar ]
Cuando se consideran movimientos del espacio euclidiano que preservan el origen , la distinción entre puntos y vectores , importante en matemáticas puras, se puede borrar porque hay una correspondencia canónica uno a uno entre los puntos y los vectores de posición . Lo mismo ocurre con otras geometrías distintas de las euclidianas , pero cuyo espacio es un espacio afín con una estructura suplementaria ; Vea un ejemplo a continuación . Alternativamente, la descripción vectorial de rotaciones puede entenderse como una parametrización de rotaciones geométricas hasta su composición con traducciones. En otras palabras, un vector de rotación presenta muchosRotaciones equivalentes sobre todos los puntos en el espacio.
Un movimiento que preserva el origen es el mismo que un operador lineal en vectores que conserva la misma estructura geométrica pero expresada en términos de vectores. Para los vectores euclidianos , esta expresión es su magnitud ( norma euclidiana ). En componentes , dicho operador se expresa con una matriz ortogonal n × nque se multiplica por vectores de columna .
Como ya se dijo , una rotación (propiamente dicha) es diferente de un movimiento de punto fijo arbitrario en su preservación de la orientación del espacio vectorial. Por lo tanto, el determinante de una matriz ortogonal de rotación debe ser 1. La única otra posibilidad para el determinante de una matriz ortogonal es −1 , y este resultado significa que la transformación es una reflexión de hiperplano , una reflexión puntual (para n impar ) u otra tipo de rotación inadecuada . Las matrices de todas las rotaciones apropiadas forman el grupo ortogonal especial .
Dos dimensiones [ editar ]
En dos dimensiones, para llevar a cabo una rotación utilizando una matriz, el punto ( x , y ) que se va a girar en el sentido contrario a las agujas del reloj se escribe como un vector de columna, luego se multiplica por una matriz de rotacióncalculada desde el ángulo θ:
- .
Las coordenadas del punto después de la rotación son x ′ , y ′ , y las fórmulas para x ′ y y ′ son
Los vectores y tienen la misma magnitud y están separados por un ángulo θ como se esperaba.
Los puntos en el plano R 2 también pueden presentarse como números complejos : el punto ( x , y ) en el plano está representado por el número complejo
Esto se puede girar a través de un ángulo θ multiplicándola por e iθ , a continuación, expandiendo el producto utilizando la fórmula de Euler como sigue:
y al equiparar partes reales e imaginarias da el mismo resultado que una matriz bidimensional:
Dado que los números complejos forman un anillo conmutativo , las rotaciones de vectores en dos dimensiones son conmutativas, a diferencia de las dimensiones superiores. Solo tienen un grado de libertad , ya que tales rotaciones están completamente determinadas por el ángulo de rotación. [1]
Tres dimensiones [ editar ]
Como en dos dimensiones, se puede usar una matriz para rotar un punto ( x , y , z ) a un punto ( x ' , y' , z ' ) . La matriz utilizada es una matriz de 3 × 3 ,
Esto se multiplica por un vector que representa el punto para dar el resultado.
El conjunto de todas las matrices apropiadas junto con la operación de la multiplicación de matrices es el grupo de rotación SO (3) . La matriz A es un miembro del grupo ortogonal especial tridimensional , SO (3) , es decir, es una matriz ortogonal con determinante 1. Que es una matriz ortogonal significa que sus filas son un conjunto de vectores de unidades ortogonales (por lo tanto, son una base ortonormal ) al igual que sus columnas, lo que hace que sea fácil detectar y verificar si una matriz es una matriz de rotación válida.
Los ángulos de Euler y las representaciones de ángulo de eje mencionados anteriormente se pueden convertir fácilmente en una matriz de rotación.
Otra posibilidad para representar una rotación de vectores euclidianos tridimensionales son los cuaterniones que se describen a continuación.
Cuaterniones [ editar ]
Los cuaterniones unitarios , o versores , son en cierto modo la representación menos intuitiva de las rotaciones tridimensionales. No son la instancia tridimensional de un enfoque general. Son más compactos que las matrices y más fáciles de trabajar que todos los otros métodos, por lo que a menudo se prefieren en aplicaciones del mundo real. [ cita requerida ]
Un versor (también llamado quaternión de rotación ) consta de cuatro números reales, restringidos, por lo que la norma del cuaternión es 1. Esta restricción limita los grados de libertad del cuaternión a tres, según se requiera. A diferencia de las matrices y los números complejos, se necesitan dos multiplicaciones:
donde q es el versor, q −1 es su inverso , y x es el vector tratado como un cuaternión con cero parte escalar . El cuaternión puede relacionarse con la forma del vector de rotación de la rotación del ángulo del eje por el mapa exponencial sobre los cuaterniones,
donde v es el vector de rotación tratado como un cuaternión.
Una sola multiplicación por un versor, ya sea izquierda o derecha , es en sí misma una rotación, pero en cuatro dimensiones. Cualquier rotación de cuatro dimensiones sobre el origen se puede representar con dos multiplicaciones de cuaternión: una izquierda y otra derecha, por dos cuaterniones de unidades diferentes .
Notas adicionales [ editar ]
Más generalmente, las rotaciones de coordenadas en cualquier dimensión están representadas por matrices ortogonales. El conjunto de todas las matrices ortogonales en n dimensiones que describen las rotaciones adecuadas (determinante = +1), junto con la operación de la multiplicación de matrices, forma el grupo ortogonal especial SO ( n ) .
Las matrices se usan a menudo para hacer transformaciones, especialmente cuando se está transformando un gran número de puntos, ya que son una representación directa del operador lineal . Las rotaciones representadas de otras maneras a menudo se convierten en matrices antes de ser utilizadas. Se pueden extender para representar rotaciones y transformaciones al mismo tiempo utilizando coordenadas homogéneas . Las transformaciones proyectivas están representadas por matrices 4 × 4 . No son matrices de rotación, pero una transformación que representa una rotación euclidiana tiene una matriz de rotación de 3 × 3 en la esquina superior izquierda.
La principal desventaja de las matrices es que son más caras de calcular y realizar cálculos. También en los cálculos en los que la inestabilidad numérica es una preocupación, las matrices pueden ser más propensas a ello, por lo que los cálculos para restablecer la ortonormalidad , que son costosos para las matrices, deben realizarse con mayor frecuencia.
Más alternativas al formalismo de la matriz [ editar ]
Como se demostró anteriormente, existen tres formalismos de rotación de álgebra multilineal : uno de U (1), o números complejos , para dos dimensiones y, sin embargo, dos de versores, o cuaterniones , para tres y cuatro dimensiones.
En general (y no necesariamente para vectores euclidianos) la rotación de un espacio vectorial equipado con una forma cuadrática puede expresarse como un bivector . Este formalismo se usa en álgebra geométrica y, más generalmente, en la representación de álgebra de Clifford de los grupos de Lie.
El grupo de doble cobertura de SO ( n ) se conoce como el grupo Spin , Spin ( n ) . Se puede describir convenientemente en términos de álgebra de Clifford. Los cuaterniones unitarios presentan el grupo Spin (3) .
En geometrías no euclidianas [ editar ]
En geometría esférica , un movimiento directo de la esfera n (un ejemplo de la geometría elíptica ) es lo mismo que una rotación delespacio euclidiano tridimensional ( n + 1) sobre el origen ( SO ( n + 1) ). Para n impar, la mayoría de estos movimientos no tienen puntos fijos en la esfera n y, estrictamente hablando, no son rotacionesde la esfera ; tales movimientos a veces se denominan traducciones de Clifford . Las rotaciones sobre un punto fijo engeometríaselípticas e hiperbólicas no son diferentes de las de Euclides.
En la relatividad [ editar ]
Una aplicación de esto es la relatividad especial , ya que puede considerarse que opera en un espacio de cuatro dimensiones, espacio -tiempo , abarcado por tres dimensiones de espacio y una de tiempo. En la relatividad especial, este espacio es lineal y las rotaciones de cuatro dimensiones, llamadas transformaciones de Lorentz , tienen interpretaciones físicas prácticas. El espacio de Minkowski no es un espacio métrico , y el término isometría no es aplicable a la transformación de Lorentz.
Si una rotación es solo en las tres dimensiones del espacio, es decir, en un plano que está completamente en el espacio, entonces esta rotación es lo mismo que una rotación espacial en tres dimensiones. Pero una rotación en un plano abarcado por una dimensión espacial y una dimensión temporal es una rotación hiperbólica , una transformación entre dos marcos de referencia diferentes , que a veces se denomina "impulso de Lorentz". Estas transformaciones demuestran la naturaleza pseudo-euclidiana del espacio Minkowski. A veces se describen como asignaciones de compresión y con frecuencia aparecen en diagramas de Minkowski que visualizan la geometría pseudo-euclidiana (1 + 1) en dibujos planos. El estudio de la relatividad se ocupa del grupo de Lorentz.Generados por las rotaciones espaciales y las rotaciones hiperbólicas. [2]
Mientras rotaciones de SO (3) , en física y astronomía, corresponden a rotaciones de la esfera celeste como una esfera 2 en el espacio 3 euclidiano, las transformaciones de Lorentz a partir de SO (3; 1) + inducen transformaciones conformes de la esfera celeste. Es una clase más amplia de las transformaciones de esfera conocidas como transformaciones de Möbius .
Rotaciones discretas [ editar ]
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Importancia [ editar ]
Las rotaciones definen clases importantes de simetría : la simetría rotacional es una invariancia con respecto a una rotación particular . La simetría circular es una invariancia con respecto a toda la rotación alrededor del eje fijo.
Como se indicó anteriormente, las rotaciones euclidianas se aplican a la dinámica del cuerpo rígido . Además, la mayor parte del formalismo matemático en la física (como el cálculo vectorial ) es invariante en rotación; Ver rotación para más aspectos físicos. Las rotaciones euclidianas y, más generalmente, la simetría de Lorentz descrita anteriormente se consideran leyes de simetría de la naturaleza . En contraste, la simetría de reflexión no es una ley precisa de simetría de la naturaleza.
Generalizaciones [ editar ]
Las matrices de valores complejos análogas a las matrices ortogonales reales son las matrices unitarias . El conjunto de todas las matrices unitarias en una dimensión dada n forma un grupo unitario U ( n ) de grado n ; y su subgrupo que representa rotaciones apropiadas [ aclaración necesaria ] es el grupo unitario especial SU ( n ) de grado n . Estas rotaciones complejas son importantes en el contexto de los espinores . Los elementos de SU (2)se utilizan para parametrizar tres rotaciones euclidianas -dimensional (verarriba ), así como las respectivas transformaciones del giro (ver teoría de representación de SU (2) ).
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