TEMAS DE GEOMETRÍA

La geometría de Ruppeiner es una geometría termodinámica (un tipo de geometría de información ) que utiliza el lenguaje de la geometría riemanniana para estudiar la termodinámica . George Ruppeiner lo propuso en 1979. Afirmó que los sistemas termodinámicos pueden representarse mediante la geometría de Riemann, y que las propiedades estadísticas pueden derivarse del modelo.

Este modelo geométrico se basa en la inclusión de la teoría de las fluctuaciones en los axiomas de la termodinámica del equilibrio , es decir, existen estados de equilibrio que pueden representarse por puntos en una superficie bidimensional (múltiple) y la distancia entre estos estados de equilibrio está relacionada con La fluctuación entre ellos. Este concepto está asociado a las probabilidades, es decir, cuanto menos probable es una fluctuación entre estados, más alejados están. Esto se puede reconocer si se considera el tensor métrico g _ijen la fórmula de distancia (elemento de línea) entre los dos estados de equilibrio

$${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij} ^ {R} dx ^ {i} dx ^ {j}, \,}

donde la matriz de coeficientes g _ij es el tensor métrico simétrico que se denomina métrica de Ruppeiner , definido como un Hessiano negativo de la función de entropía

$${\ displaystyle g_ {ij} ^ {R} = - \ parcial _ {i} \ parcial _ {j} S (U, N ^ {a})}

donde U es la energía interna (masa) del sistema y N ^{a se} refiere a los extensos parámetros del sistema. Matemáticamente, la geometría de Ruppeiner es un tipo particular de geometría de información y es similar a la métrica de Fisher-Rao utilizada en las estadísticas matemáticas.

La métrica de Ruppeiner se puede entender como el límite termodinámico (límite de sistemas grandes) de la métrica de información de Fisher más general . ^[1] Para sistemas pequeños (sistemas donde las fluctuaciones son grandes), la métrica de Ruppeiner puede no existir, ya que no se garantiza que las segundas derivadas de la entropía sean no negativas.

La métrica de Ruppeiner se relaciona de forma conforme con la métrica de Weinhold a través de

$${\ displaystyle ds_ {R} ^ {2} = {\ frac {1} {T}} ds_ {W} ^ {2} \,}

donde T es la temperatura del sistema bajo consideración. La prueba de la relación de conformidad se puede hacer fácilmente cuando uno escribe la primera ley de la termodinámica (dU = TdS + ...) en forma diferencial con unas pocas manipulaciones. La geometría de Weinhold también se considera como una geometría termodinámica. Se define como una arpillera de la energía interna con respecto a la entropía y otros parámetros extensos.

$${\ displaystyle g_ {ij} ^ {W} = \ parcial _ {i} \ parcial _ {j} U (S, N ^ {a})}

Durante mucho tiempo se ha observado que la métrica de Ruppeiner es plana para sistemas con mecanismos estadísticos subyacentes no interactivos, como el gas ideal. Las singularidades de la curvatura señalan comportamientos críticos. Además, se ha aplicado a varios sistemas estadísticos, incluido el gas Van de Waals. Recientemente, el gas anyon ha sido estudiado utilizando este enfoque.

Aplicación a sistemas de agujero negro [ editar ]

En los últimos cinco años, más o menos, esta geometría se ha aplicado a la termodinámica del agujero negro , con algunos resultados físicamente relevantes. El caso más significativo físicamente es para el agujero negro de Kerr en dimensiones más altas, donde la singularidad de curvatura indica inestabilidad termodinámica, como se descubrió anteriormente por los métodos convencionales.

La entropía de un agujero negro viene dada por la conocida fórmula Bekenstein-Hawking.

$${\ displaystyle S = {\ frac {k_ {B} c ^ {3} A} {4G \ hbar}}}

dónde $${\ displaystyle k_ {B}}es la constante de Boltzmann ,$${\ displaystyle c}la velocidad de la luz ,$${\ displaystyle G} Constante de Newton y$${\ displaystyle A}Es el área del horizonte de sucesos del agujero negro. El cálculo de la geometría de Ruppeiner de la entropía del agujero negro es, en principio, sencillo, pero es importante que la entropía se escriba en términos de parámetros extensos,

$${\ displaystyle S = S (M, N ^ {a})}

dónde $${\ displaystyle M}Es la masa ADM del agujero negro y$${\ displaystyle N ^ {a}} son los cargos conservados y $${\ displaystyle a}corre de 1 a n. La firma de la métrica refleja el signo del calor específico del agujero . Para un agujero negro Reissner-Nordström , la métrica Ruppeiner tiene una firma lorentziana que corresponde a la capacidad de calor negativa que posee, mientras que para el agujero negro BTZ , tenemos una firma euclidiana . Este cálculo no se puede hacer para el agujero negro de Schwarzschild, porque su entropía es

$${\ displaystyle S = S (M)}

Lo que hace que la métrica degenerada.

No debe confundirse con el significado matemático de la geometría no euclidiana .

En una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a 180 °. Una esfera no es un espacio euclidiano, pero localmente las leyes de la geometría euclidiana son buenas aproximaciones. En un pequeño triángulo en la superficie de la tierra, la suma de los ángulos es solo un poco más de 180 grados. La superficie de una esfera se puede representar mediante una colección de mapas bidimensionales. Por lo tanto, es una variedadbidimensional .

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Proyectando una esfera a un plano .
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La geometría esférica es la geometría de la superficie bidimensional de una esfera . Es un ejemplo de una geometría que no es euclidiana. Dos aplicaciones prácticas de los principios de la geometría esférica son la navegacióny la astronomía .

En la geometría plana (euclidiana) , los conceptos básicos son puntos y líneas (rectas) . En una esfera, los puntos se definen en el sentido habitual. Los equivalentes de líneas no se definen en el sentido habitual de "línea recta" en la geometría euclidiana, sino en el sentido de "las rutas más cortas entre puntos", que se denominan geodésicas . En una esfera, las geodésicas son los grandes círculos ; otros conceptos geométricos se definen como en geometría plana, pero con líneas rectas reemplazadas por grandes círculos. Así, en geometría esférica, los ángulos se definen entre grandes círculos, lo que resulta en una trigonometría esférica que difiere de la trigonometría ordinariaen muchos aspectos; por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo excede los 180 grados.

La geometría esférica no es una geometría elíptica , sino que es más bien un subconjunto de la geometría elíptica. Por ejemplo, comparte con esa geometría la propiedad de que una línea no tiene paralelos a través de un punto dado. Contrasta esto con la geometría euclidiana , en la cual una línea tiene un paralelo a través de un punto dado, y una geometría hiperbólica , en la cual una línea tiene dos paralelos y un número infinito de ultra paralelos a través de un punto dado.

Una geometría importante relacionada con la de la esfera es la del plano proyectivo real ; se obtiene identificando puntos antípodas(pares de puntos opuestos) en la esfera. Localmente, el plano proyectivo tiene todas las propiedades de la geometría esférica, pero tiene propiedades globales diferentes. En particular, no es orientable , o de un solo lado.

Los conceptos de geometría esférica también se pueden aplicar a la esfera oblonga, aunque se deben implementar modificaciones menores en ciertas fórmulas.

Existen geometrías esféricas de dimensión superior; Ver geometría elíptica .

Historia [ editar ]

Antigüedad griega [ editar ]

El primer trabajo matemático de la antigüedad que viene a nuestro tiempo es En la esfera giratoria (Peri kinoumenes sphairas) de Autolycus of Pitane , quien vivió a fines del siglo IV a. ^[1]

La trigonometría esférica fue estudiada por los primeros matemáticos griegos , como Theodosius of Bithynia , un astrónomo y matemático griego que escribió Sphaerics , un libro sobre la geometría de la esfera ^[2], y Menelaus of Alexandria , quien escribió un libro sobre trigonometría esférica llamada Sphaerica y desarrolló el teorema de Menelao . ^[3] [4]

Mundo islámico [ editar ]

Ver también: Matemáticas en el Islam medieval.

El libro de arcos desconocidos de una esfera escrito por el matemático islámico Al-Jayyani se considera el primer tratado sobre trigonometría esférica. El libro contiene fórmulas para los triángulos diestros, la ley general de los senos y la solución de un triángulo esférico por medio del triángulo polar. ^[5]

El libro On Triangles by Regiomontanus , escrito alrededor de 1463, es el primer trabajo trigonométrico puro en Europa. Sin embargo, Gerolamo Cardano observó un siglo más tarde que gran parte de su material sobre trigonometría esférica se tomó de la obra del erudito andalusí Jabir ibn Aflah en el siglo XII . ^[6]

El trabajo de Euler [ editar ]

Euler publicó una serie de memorias importantes sobre geometría esférica:

• L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de the méthode des plus grandds et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, p. 233–257; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVII, p. 277–308.
• L. Euler, Eléments of the trigonométrie sphéroïdique tirés of the méthode des plus grandds et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, p. 258–293; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVII, p. 309–339.
• L. Euler, De curva rectificable en la superficie, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, pp. 195–216; Opera Omnia, Serie 1, Volumen 28, pp. 142-160.
• L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, pág. 31–54; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, p. 204-223.
• L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, pág. 91-96; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, p. 237–242.
• L. Euler, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoras de la Academia de Ciencias de Saint-Pétersbourg 5, 1815, p. 96-114; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, p. 344–358.
• L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, p. 72–86; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, p. 224-236.
• L. Euler, Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, p. 47–62; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXIX, p. 253–266.

Propiedades [ editar ]

Con los puntos definidos como los puntos en una esfera y las líneas como los grandes círculos de esa esfera, una geometría esférica tiene las siguientes propiedades: ^[7]

• Cualquier dos líneas se intersecan en dos puntos diametralmente opuestos, llamados puntos antípodas .
• Cualquiera de los dos puntos que no son puntos antípodas determinan una línea única.
• Hay una unidad natural de medición de ángulo (basada en una revolución), una unidad natural de longitud (basada en la circunferencia de un gran círculo) y una unidad natural de área (basada en el área de la esfera).
• Cada línea está asociada con un par de puntos antípodas, llamados los polos de la línea, que son las intersecciones comunes del conjunto de líneas perpendiculares a la línea dada.
• Cada punto está asociado con una línea única, llamada la línea polar del punto, que es la línea en el plano a través del centro de la esfera y perpendicular al diámetro de la esfera a través del punto dado.

Como hay dos arcos ( segmentos de línea ) determinados por un par de puntos, que no son antípodas, en la línea que determinan, tres puntos no colineales no determinan un triángulo único. Sin embargo, si solo consideramos los triángulos cuyos lados son arcos menores de grandes círculos, tenemos las siguientes propiedades:

• La suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 ° y menor que 270 °.
• El área de un triángulo es proporcional al exceso de su suma de ángulos de más de 180 °.
• Dos triángulos con la misma suma de ángulos son iguales en área.
• Hay un límite superior para el área de los triángulos.
• La composición (producto) de dos reflexiones de líneas (ortogonales) puede considerarse como una rotación alrededor de cualquiera de los puntos de intersección de sus ejes.
• Dos triángulos son congruentes si y solo si corresponden a un producto finito de reflexiones de líneas.
• Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son congruentes (es decir, todos los triángulos similares son congruentes).

Relación con los postulados de Euclides [ editar ]

La geometría esférica obedece a dos de los postulados de Euclides : el segundo postulado ("para producir [extender] una línea recta finita continuamente en una línea recta") y el cuarto postulado ("que todos los ángulos rectos son iguales entre sí"). Sin embargo, viola los otros tres: al contrario del primer postulado, no existe una única ruta más corta entre dos puntos (los puntos antípodas , como los polos norte y sur en un globo esférico, son contraejemplos); contrariamente al tercer postulado, una esfera no contiene círculos de radio arbitrariamente grande; y al contrario del quinto postulado (paralelo) , no hay un punto a través del cual se pueda dibujar una línea que nunca se cruce con una línea dada. ^[8]

Una declaración que es equivalente al postulado paralelo es que existe un triángulo cuyos ángulos suman 180 °. Dado que la geometría esférica viola el postulado paralelo, no existe tal triángulo en la superficie de una esfera. La suma de los ángulos de un triángulo en una esfera es 180 ° (1 + 4 f ) , donde f es la fracción de la superficie de la esfera que está encerrada por el triángulo. Para cualquier valor positivo de f , esto excede los 180 °.