geometría convexa es la rama de la geometría que estudia conjuntos convexos , principalmente en el espacio euclidiano . Los conjuntos convexos ocurren naturalmente en muchas áreas: geometría computacional , análisis convexo , geometría discreta , análisis funcional , geometría de números , geometría integral , programación lineal , teoría de probabilidades , teoría de juegos , etc.
Clasificación [ editar ]
Según la Clasificación de materias de matemáticas MSC2010, [1] la disciplina matemática convexa y la geometría discreta incluye tres ramas principales: [2]
- convexidad general
- Politopos y poliedros.
- geometría discreta
(aunque solo se incluyen porciones de los dos últimos en geometría convexa).
La convexidad general se subdivide de la siguiente manera: [3]
- Convexidad axiomática y generalizada.
- Conjuntos convexos sin restricciones de dimensión.
- Conjuntos convexos en espacios vectoriales topológicos.
- Conjuntos convexos en 2 dimensiones (incluyendo curvas convexas)
- Conjuntos convexos en 3 dimensiones (incluyendo superficies convexas)
- Conjuntos convexos en n dimensiones (incluyendo hipersuperficies convexas)
- Espacios de banach de dimensión finita.
- Conjuntos convexos aleatorios y geometría integral.
- Teoría asintótica de los cuerpos convexos.
- aproximación por conjuntos convexos
- variantes de conjuntos convexos (en forma de estrella, ( m, n ) -cavo, etc.)
- Teoremas de tipo helly y teoría geométrica transversal.
- Otros problemas de convexidad combinatoria.
- longitud, área, volumen
- Volúmenes mixtos y temas relacionados.
- desigualdades y problemas extremos
- Funciones convexas y programas convexos.
- convexidad esférica e hiperbólica
El término geometría convexa también se usa en combinatoria como un nombre alternativo para un antimatroid , que es uno de los modelos abstractos de conjuntos convexos.
Nota histórica [ editar ]
La geometría convexa es una disciplina matemática relativamente joven. Aunque las primeras contribuciones conocidas a la geometría convexa se remontan a la antigüedad y se pueden rastrear en las obras de Euclides y Arquímedes , se convirtió en una rama independiente de las matemáticas a finales del siglo XX, principalmente debido a las obras de Hermann Brunn y Hermann Minkowski. En dimensiones dos y tres. Una gran parte de sus resultados pronto se generalizaron a espacios de dimensiones superiores, y en 1934 T. Bonnesen y W. Fenchel realizaron un estudio exhaustivo de la geometría convexa en el espacio euclidiano R n. El desarrollo adicional de la geometría convexa en el siglo XX y sus relaciones con numerosas disciplinas matemáticas se resume en el Manual de geometría convexa editado por PM Gruber y JM Wills.
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La geometría descriptiva es la rama de la geometría que permite la representación de objetos tridimensionales en dos dimensiones mediante el uso de un conjunto específico de procedimientos. Las técnicas resultantes son importantes para la ingeniería , la arquitectura , el diseñoy el arte . [1] La base teórica para la geometría descriptiva es proporcionada por proyecciones geométricas planas . La primera publicación conocida sobre la técnica fue "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt", publicada en Linien, Nuremberg: 1525, por Albrecht Dürer . Gaspard MongeGeneralmente se lo considera el "padre de la geometría descriptiva" debido a sus desarrollos en la resolución de problemas geométricos. Sus primeros descubrimientos fueron en 1765 mientras trabajaba como dibujante para fortificaciones militares, aunque sus hallazgos se publicaron más adelante. [2]
Los protocolos de Monge permiten que un objeto imaginario se dibuje de tal manera que se pueda modelar en tres dimensiones. Todos los aspectos geométricos del objeto imaginario se explican en tamaño real / a escala y forma, y se pueden tomar imágenes desde cualquier posición en el espacio. Todas las imágenes están representadas en una superficie bidimensional.
La geometría descriptiva utiliza la técnica de creación de imágenes de proyectores imaginarios y paralelos que emanan de un objeto imaginario e intersectan un plano imaginario de proyección en ángulos rectos. Los puntos acumulativos de intersecciones crean la imagen deseada.
Protocolos [ editar ]
- Proyecte dos imágenes de un objeto en direcciones arbitrarias, perpendiculares entre sí. Cada vista de imagen se adapta a tres dimensiones del espacio, dos dimensiones que se muestran como ejes a escala completa, mutuamente perpendiculares y una como un eje invisible (vista de punto) que retrocede al espacio de la imagen (profundidad). Cada una de las dos vistas de imagen adyacentes comparte una vista a escala completa de una de las tres dimensiones del espacio.
- Cualquiera de estas imágenes puede servir como punto de inicio para una tercera vista proyectada. La tercera vista puede comenzar una cuarta proyección, y en el infinito. Cada una de estas proyecciones secuenciales representa un giro tortuoso de 90 ° en el espacio para ver el objeto desde una dirección diferente.
- Cada nueva proyección utiliza una dimensión en escala completa que aparece como dimensión de vista de puntos en la vista anterior. Para lograr la vista a escala completa de esta dimensión y acomodarla dentro de la nueva vista, es necesario ignorar la vista anterior y pasar a la segunda vista anterior donde esta dimensión aparece en escala completa.
- Cada nueva vista se puede crear proyectando en cualquiera de un número infinito de direcciones, perpendicular a la dirección de proyección anterior. (Visualice las múltiples direcciones de los radios de una rueda de carreta, cada una perpendicular a la dirección del eje). El resultado es una pisada circular de un objeto en giros de 90 ° y ver el objeto desde cada paso. Cada nueva vista se agrega como una vista adicional a una pantalla de diseño de proyección ortográfica y aparece en un "despliegue del modelo de caja de vidrio".
Además de la vista ortográfica, seis vistas principales estándar (parte frontal, lado derecho, lado izquierdo, parte superior, parte inferior, parte posterior), la geometría descriptiva se esfuerza por producir cuatro vistas de solución básica: la longitud real de una línea (es decir, tamaño completo, no acortado) , la vista puntual (vista final) de una línea, la forma real de un plano (es decir, tamaño completo a escala, o sin acortamiento), y la vista de borde de un plano (es decir, la vista de un plano con la línea de visión) perpendicular a la línea de visión asociada con la línea de visión para producir la verdadera forma de un plano). Estos a menudo sirven para determinar la dirección de proyección para la vista posterior. Mediante el proceso de paso escalonado de 90 °, la proyección en cualquier dirección desde la vista del punto de una línea produce su verdadera longitudver; al proyectar en una dirección paralela a una vista de línea de longitud verdadera, se obtiene su vista de punto, al proyectar la vista de punto de cualquier línea en un plano se obtiene la vista de borde del plano; proyectar en una dirección perpendicular a la vista de borde de un plano producirá la vista de forma verdadera (a escala). Estas diversas vistas pueden ser solicitadas para ayudar a resolver los problemas de ingeniería planteados por los principios de geometría sólida
Heurística [ editar ]
Hay un valor heurístico para estudiar geometría descriptiva. Promueve la visualización y las habilidades analíticas espaciales, así como la capacidad intuitiva de reconocer la dirección de la visualización para presentar mejor un problema geométrico para la solución. Ejemplos representativos:
La mejor dirección para ver [ editar ]
- Dos líneas inclinadas (tuberías, quizás) en posiciones generales para determinar la ubicación de su conector más corto (perpendicular común)
- Dos líneas oblicuas (tuberías) en posiciones generales de manera que su conector más corto se vea a escala completa
- Dos líneas inclinadas en posiciones generales, como el conector más corto paralelo a un plano dado, se ven a escala completa (por ejemplo, para determinar la posición y la dimensión del conector más corto a una distancia constante de una superficie radiante)
- Una superficie plana tal que un orificio perforado perpendicular se ve en escala completa, como si mirara a través del orificio (por ejemplo, para comprobar los espacios con otros orificios perforados)
- Un plano equidistante de dos líneas oblicuas en posiciones generales (por ejemplo, ¿para confirmar la distancia de radiación segura?)
- La distancia más corta desde un punto a un plano (por ejemplo, para ubicar la posición más económica para arriostrar)
- La línea de intersección entre dos superficies, incluidas las superficies curvas (por ejemplo, ¿para el tamaño más económico de las secciones?)
- El verdadero tamaño del ángulo entre dos planos.
Aún no se ha adoptado un estándar para presentar vistas de modelado por computadora análogas a las proyecciones secuenciales ortográficas. Un candidato para tal se presenta en las ilustraciones a continuación. Las imágenes en las ilustraciones fueron creadas usando gráficos de computadora de ingeniería tridimensionales.
El modelado tridimensional por computadora produce un espacio virtual "detrás del tubo", por así decirlo, y puede producir cualquier vista de un modelo desde cualquier dirección dentro de este espacio virtual. Lo hace sin la necesidad de vistas ortográficas adyacentes y, por lo tanto, puede parecer que deja obsoleto el tortuoso protocolo de la Geometría Descriptiva. Sin embargo, dado que la geometría descriptiva es la ciencia de la imagen legítima o permisible de un espacio tridimensional o más , en un plano, es un estudio indispensable para mejorar las posibilidades de modelado por computadora.
Ejemplos [ editar ]
Encontrar el conector más corto entre dos líneas de sesgo dadas PR y SU [ editar ]
Dadas las coordenadas X, Y y Z de P, R, S y U, las proyecciones 1 y 2 se dibujan a escala en los planos XY y XZ, respectivamente.
Para obtener una vista verdadera (la longitud en la proyección es igual a la longitud en el espacio 3D) de una de las líneas: en este ejemplo, la proyección 3 se dibuja con la línea de bisagra H 2,3 paralela a S 2 U 2 . Para obtener una vista final de la SU, se dibuja la proyección 4 con una línea de bisagra H 3,4perpendicular a S 3 U 3 . La distancia perpendicular d da la distancia más corta entre PR y SU.
Para obtener los puntos Q y T en estas líneas que dan esta distancia más corta, la proyección 5 se dibuja con la línea de bisagra H 4,5 paralela a P 4 R 4 , lo que hace que las vistas P 5 R 5 y S 5 U 5 seanverdaderas (cualquier proyección de un La vista final es una vista verdadera). Proyectando la intersección de estas líneas, Q 5 y T 5 de regreso a la proyección 1 (líneas magenta y etiquetas) permite que sus coordenadas se lean fuera de los ejes X, Y y Z.
Soluciones generales [ editar ]
Las soluciones generales son una clase de soluciones dentro de la geometría descriptiva que contienen todas las soluciones posibles a un problema. La solución general está representada por un solo objeto tridimensional, generalmente un cono, cuyas direcciones de los elementos son la dirección de visión (proyección) deseada para cualquiera de un número infinito de vistas de solución.
Por ejemplo: para encontrar la solución general de manera que aparezcan dos líneas de sesgo, de longitud desigual, en posiciones generales (por ejemplo, ¿cohetes en vuelo?):
- Misma longitud
- Igual longitud y paralelo
- Longitud igual y perpendicular (por ejemplo, para una orientación ideal de al menos uno)
- Igual a longitudes de una relación especificada
- otros.
En los ejemplos, la solución general para cada solución característica deseada es un cono, cada elemento del cual produce una de un número infinito de vistas de solución. Cuando se desean dos o más características de, digamos las enumeradas anteriormente, (y para las cuales existe una solución) que se proyecta en la dirección de cualquiera de los dos elementos de las intersecciones (un elemento, si los conos son tangentes) entre los dos conos, se obtiene el resultado deseado. vista de la solución. Si los conos no se intersecan no existe una solución. Los siguientes ejemplos están anotados para mostrar los principios geométricos descriptivos utilizados en las soluciones. TL = longitud verdadera; EV = Vista de borde.
Las figs. 1-3 a continuación demuestran (1) Geometría descriptiva, soluciones generales y (2) simultáneamente, un estándar potencial para presentar dichas soluciones en formatos de diseño ortográfico, multivista y de vista múltiple.
El estándar potencial emplea dos vistas ortográficas adyacentes, estándar (aquí, Frontal y Superior) con una "línea de plegado" estándar entre ellas. Como no hay una necesidad subsiguiente de 'circular' 90 ° alrededor del objeto, en secuencias estándar de dos pasos para llegar a una vista de solución (es posible ir directamente a la vista de solución), este protocolo más corto se tiene en cuenta Para en el diseño. Cuando el protocolo de un paso reemplaza al protocolo de dos pasos, se utilizan líneas de "doble plegado". En otras palabras, cuando uno cruza las líneas dobles, no está haciendo un giro tortuoso de 90 ° sino un giro no ortodireccional directamente a la vista de la solución. Como la mayoría de los paquetes de gráficos de computadora de ingeniería generan automáticamente las seis vistas principales del modelo de caja de vidrio, así como una vista isométrica,
Figura 1: Geometría descriptiva: líneas oblicuas que aparecen perpendiculares
Figura 2: Geometría descriptiva: las líneas oblicuas aparecen con la misma longitud
Figura 3: Geometría descriptiva: las líneas oblicuas aparecen en una relación de longitud especificada
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