La geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y la topología diferencial que estudia las variedades simplécticas ; es decir, variedades diferenciables equipadas con una forma 2, cerrada y no degenerada . La geometría simpléctica tiene sus orígenes en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, donde el espacio de fase de ciertos sistemas clásicos adquiere la estructura de una variedad simpléctica.
Introducción [ editar ]
Una geometría simpléctica se define en un espacio liso y uniforme que es una variedad diferenciable . En este espacio se define un objeto geométrico, la forma simpléctica , que permite la medición de tamaños de objetos bidimensionales en el espacio . La forma simpléctica en la geometría simpléctica desempeña un papel análogo al del tensor métrico en la geometría riemanniana . Cuando el tensor métrico mide longitudes y ángulos, la forma simpléctica mide áreas orientadas. [2]
La geometría simpléctica surgió del estudio de la mecánica clásicay un ejemplo de una estructura simpléctica es el movimiento de un objeto en una dimensión. Para especificar la trayectoria del objeto, uno requiere tanto la posición q como el momento p , que forman un punto ( p , q ) en el plano euclidiano ℝ 2 . En este caso, la forma simpléctica es
y es una forma de área que mide el área A de una región S en el plano a través de la integración:
El área es importante porque a medida que los sistemas dinámicos conservadores evolucionan en el tiempo, esta área es invariante. [2]
Las geometrías simplécticas dimensionales superiores se definen de manera análoga. A 2 n geometría simpléctica -dimensional se forma de pares de direcciones
en una variedad 2 n- dimensional junto con una forma simpléctica
Esta forma simpléctico produce el tamaño de un 2 n región -dimensional V en el espacio como la suma de las áreas de las proyecciones de V en cada uno de los planos formados por los pares de direcciones [2]
Comparación con la geometría riemanniana [ editar ]
La geometría simpléctica tiene una serie de similitudes y diferencias con la geometría riemanniana , que es el estudio de variedades diferenciables equipadas con tensores de 2 no simétricos, no degenerados (denominados tensores métricos ). A diferencia del caso riemanniano, las variedades simplécticas no tienen invariantes locales como la curvatura . Esto es una consecuencia de teorema de Darboux que establece que una vecindad de cualquier punto de un 2 n variedad simpléctica -dimensional es isomorfo a la estructura simpléctica estándar en un conjunto abierto de ℝ 2 n. Otra diferencia con la geometría riemanniana es que no todas las múltiples diferenciables necesitan admitir una forma simpléctica; Existen ciertas restricciones topológicas. Por ejemplo, cada variedad simpléctica es par dimensional y orientable . Además, si M es una variedad simpléctica cerrada, entonces el grupo de cohomología H 2 ( M ) de 2nd de Rham no es trivial; esto implica, por ejemplo, que la única n -sphere que admite una forma simpléctica es la 2-esfera . Un paralelo que se puede dibujar entre los dos sujetos es la analogía entre geodésicas en geometría riemanniana y curvas pseudoholomorfas. en geometría simpléctica: las geodésicas son curvas de longitud más corta (localmente), mientras que las curvas pseudoholomorfas son superficies de área mínima. Ambos conceptos juegan un papel fundamental en sus respectivas disciplinas.
Ejemplos y estructuras [ editar ]
Cada colector de Kähler es también un colector simpléctico. En la década de 1970, los expertos simplécticos no estaban seguros de si existía alguna variedad compacta que no fuera de Kähler, pero desde entonces se han construido muchos ejemplos (el primero se debió a William Thurston ); en particular, Robert Gompf ha demostrado que todos los grupos presentados de manera finita se presentan como el grupo fundamental de una variedad 4 simplplica, en marcado contraste con el caso Kähler.
La mayoría de las variedades simplécticas, se puede decir, no son Kähler; y por lo tanto no tienen una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica. Mikhail Gromov , sin embargo, hizo la importante observación de que las variedades simplécticas admiten una gran cantidad de estructuras compatibles casi complejas , de modo que satisfacen todos los axiomas de una variedad de Kähler, excepto el requisito de que los mapas de transición sean holomorfos .
Gromov utilizó la existencia de estructuras casi complejas en variedades simplécticas para desarrollar una teoría de curvas pseudoholomórficas , lo que ha llevado a una serie de avances en la topología simpléctica, incluida una clase de invariantes simplécticas ahora conocidas como invariantes de Gromov-Witten . Estas invariantes también desempeñan un papel clave en la teoría de cuerdas .
Nombre [ editar ]
El nombre "grupo complejo" que antes defendía yo en alusión a complejos de líneas, como se definen por la desaparición de formas bilineales antisimétricas, se ha vuelto cada vez más embarazoso a través de la colisión con la palabra "complejo" en la connotación de número complejo. Por lo tanto, propongo reemplazarlo por el correspondiente adjetivo griego "simpléctico". Dickson llamó al grupo el "grupo lineal abeliano" en homenaje a Abel, quien lo estudió por primera vez.
Weyl (1939 , p. 165)
La geometría simpléctica también se denomina topología simpléctica,aunque esta última es realmente un subcampo relacionado con cuestiones globales importantes en la geometría simpléctica.
El término "simpléctico", introducido por Weyl (1939 , nota al pie de página, p.165), es un calco de "complejo"; anteriormente, el "grupo simpléctico" había sido llamado el "grupo complejo de líneas". "Complejo" proviene del latín com-plexus , que significa "trenzado juntos" (co- + plexus), mientras que el simpléctico proviene del griego sym-plektikos (συμπλεκτικός); en ambos casos el tallo proviene de la raíz indoeuropea * plek-. [3] El nombre refleja las conexiones profundas entre estructuras complejas y simplécticas.
La geometría sintética (a veces denominada geometría axiomática o incluso pura ) es el estudio de la geometría sin el uso de coordenadas o fórmulas . Se basa en el método axiomático y las herramientas directamente relacionadas con ellos, es decir, brújula y regla , para sacar conclusiones y resolver problemas.
Solo después de la introducción de los métodos de coordenadashubo una razón para introducir el término "geometría sintética" para distinguir este enfoque de la geometría de otros enfoques. Otros enfoques de la geometría se materializan en geometrías analíticasy algebraicas , donde se utilizarían técnicas de análisis y algebraicas para obtener resultados geométricos.
La geometría presentada por Euclid en los Elementos es el ejemplo por excelencia del uso del método sintético. Fue el método favorito de Isaac Newton para la solución de problemas geométricos. [2]
Los métodos sintéticos fueron más prominentes durante el siglo XIX cuando los geometers rechazaron los métodos de coordenadas al establecer los fundamentos de la geometría proyectiva y las geometrías no euclidianas . Por ejemplo, el geómetro Jakob Steiner(1796 - 1863) odiaba la geometría analítica, y siempre daba preferencia a los métodos sintéticos.
Síntesis lógica [ editar ]
El proceso de síntesis lógica comienza con un punto de partida arbitrario pero definido. Este punto de partida es la introducción de nociones primitivas o primitivos y axiomas sobre estas primitivas:
- Los primitivos son las ideas más básicas. Típicamente incluyen tanto objetos como relaciones. En geometría, los objetos son cosas tales como puntos , líneas y planos , mientras que una relación fundamental es la incidencia : un objeto que se encuentra o se une con otro. Los términos en sí mismos están indefinidos. Hilbert dijo una vez que, en lugar de puntos, líneas y planos, se podría hablar de mesas, sillas y jarras de cerveza, [4] el punto es que los términos primitivos son solo marcadores de posición vacíosy no tienen propiedades intrínsecas.
- Los axiomas son declaraciones acerca de estos primitivos; por ejemplo, dos puntos juntos son incidentes juntos con una sola línea (es decir, para dos puntos, solo hay una línea que pasa por ambas). Los axiomas se asumen verdaderos, y no están probados. Son los componentes básicos de los conceptos geométricos, ya que especifican las propiedades que tienen los primitivos.
A partir de un conjunto dado de axiomas, la síntesis procede como un argumento lógico cuidadosamente construido. Cuando un resultado significativo se prueba con rigor, se convierte en un teorema .
Propiedades de los conjuntos de axiomas [ editar ]
No hay un conjunto de axiomas fijos para la geometría, ya que se puede elegir más de un conjunto consistente . Cada uno de estos conjuntos puede llevar a una geometría diferente, mientras que también hay ejemplos de diferentes conjuntos que dan la misma geometría. Con esta plétora de posibilidades, ya no es apropiado hablar de "geometría" en singular.
Históricamente, el postulado paralelo de Euclides ha resultado ser independiente de los otros axiomas. Simplemente descartarlo da geometría absoluta , mientras que negarlo produce geometría hiperbólica . Otros conjuntos de axiomas consistentes pueden producir otras geometrías, como la geometría proyectiva , elíptica , esférica o afín .
Los axiomas de continuidad y "entre" también son opcionales, por ejemplo, las geometrías discretas se pueden crear descartándolas o modificándolas.
Siguiendo el programa Erlangen de Klein , la naturaleza de cualquier geometría dada se puede ver como la conexión entre la simetría y el contenido de las proposiciones, en lugar del estilo de desarrollo.
Historia [ editar ]
El tratamiento original de Euclid permaneció intacto durante más de dos mil años, hasta que los descubrimientos simultáneos de las geometrías no euclidianas de Gauss , Bolyai , Lobachevsky y Riemann en el siglo XIX llevaron a los matemáticos a cuestionar las suposiciones fundamentales de Euclides. [5]
Uno de los primeros analistas franceses resumió la geometría sintética de esta manera:
- Los Elementos de Euclides son tratados por el método sintético. Este autor, después de haber planteado los axiomas y de haber formado los requisitos, estableció las proposiciones que demuestra que están siendo apoyadas sucesivamente por lo que precedió, procediendo siempre de lo simple a lo compuesto , que es el carácter esencial de la síntesis. [6]
El apogeo de la geometría sintética se puede considerar que ha sido el siglo 19, cuando los métodos analíticos basados en coordenadas y cálculo fueron ignoradas por algunos geómetras como Jakob Steiner , a favor de un desarrollo puramente sintético de la geometría proyectiva . Por ejemplo, el tratamiento del plano proyectivo apartir de axiomas de incidencia es en realidad una teoría más amplia (con más modelos ) de la que se encuentra al comenzar con un espacio vectorial de dimensión tres. La geometría proyectiva tiene, de hecho, la expresión sintética más simple y elegante de cualquier geometría.
En su programa de Erlangen , Felix Klein minimizó la tensión entre los métodos sintéticos y analíticos:
-
- Sobre la antítesis entre el método sintético y analítico en geometría moderna:
- La distinción entre síntesis moderna y geometría analítica moderna ya no debe considerarse esencial, ya que tanto la materia como los métodos de razonamiento han tomado gradualmente una forma similar en ambos. Por lo tanto, elegimos en el texto como designación común de ambos, el término geometría proyectiva. Si bien el método sintético tiene más que ver con la percepción del espacio y, por lo tanto, imparte un encanto extraño a sus primeros desarrollos simples, el ámbito de la percepción del espacio no está cerrado al método analítico, y las fórmulas de la geometría analítica pueden considerarse como Una declaración precisa y perspicua de relaciones geométricas. Por otro lado, la ventaja de la investigación original de un análisis bien formulado no debe ser subestimada, una ventaja debido a su movimiento, por así decirlo, antes del pensamiento.[7]
El cercano estudio axiomático de la geometría euclidiana llevó a la construcción del cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri . Estas estructuras introdujeron el campo de la geometría no euclidiana donde se niega el axioma paralelo de Euclides. Gauss , Bolyai y Lobachevski construyeron independientemente la geometría hiperbólica , donde las líneas paralelas tienen un ángulo de paralelismo que depende de su separación. Este estudio se hizo ampliamente accesible a través del modelo de disco de Poincaré , donde los movimientos son dados por las transformaciones de Möbius . Similar,Riemann , un estudiante de Gauss, construyó la geometría riemanniana , de la cual la geometría elíptica es un caso particular.
Otro ejemplo se refiere a la geometría inversiva según lo avanzado por Ludwig Immanuel Magnus , que puede considerarse de espíritu sintético. La operación estrechamente relacionada de reciprocidad expresa el análisis del plano.
Karl von Staudt demostró que los axiomas algebraicos, como la conmutatividad y la asociatividad de la suma y la multiplicación, eran en realidad consecuencias de la incidencia de líneas en configuraciones geométricas . David Hilbert mostró [8] que la configuración de Desargues jugó un papel especial. El trabajo adicional fue realizado por Ruth Moufang y sus estudiantes. Los conceptos han sido uno de los motivadores de la geometría de incidencia .
Cuando las líneas paralelas se toman como primarias, la síntesis produce una geometría afín . Aunque la geometría euclidiana es tanto una geometría afín como una métrica , en general a los espacios afines les puede faltar una métrica. La flexibilidad adicional así proporcionada hace que la geometría afín sea apropiada para el estudio del espacio-tiempo , como se explica en la historia de la geometría afín .
En 1955, Herbert Busemann y Paul J. Kelley hicieron sonar una nota nostálgica para la geometría sintética:
- Aunque a regañadientes, los geometers deben admitir que la belleza de la geometría sintética ha perdido su atractivo para la nueva generación. Las razones son claras: no hace mucho tiempo, la geometría sintética era el único campo en el que el razonamiento procedía estrictamente de los axiomas, mientras que este atractivo, tan fundamental para muchas personas interesadas matemáticamente, ahora está compuesto por muchos otros campos. [9]
Por ejemplo, los estudios universitarios ahora incluyen álgebra lineal , topología y teoría de grafos donde el tema se desarrolla a partir de los primeros principios, y las proposiciones se deducen mediante pruebas elementales .
El estudiante de hoy de la geometría tiene axiomas que no sean de Euclides: vea axiomas de Hilbert y axiomas de Tarski .
Ernst Kötter publicó un informe (alemán) en 1901 sobre "El desarrollo de la geometría sintética de Monge a Staudt (1847)" ; [10]
Las pruebas utilizando la geometría sintética [ editar ]
Las pruebas sintéticas de los teoremas geométricos hacen uso de construcciones auxiliares (como líneas de ayuda ) y conceptos tales como la igualdad de lados o ángulos y la similitud y congruencia de triángulos. Ejemplos de tales pruebas se pueden encontrar en los artículos de la mariposa teorema , la bisectriz del ángulo teorema , el teorema de Apolonio , teorema de bandera británica , el teorema de Ceva , incircles Igualdad teorema , el teorema de la media geométrica , la fórmula de Herón , isósceles teorema triángulo , ley de los cosenos , y otros que están vinculados a aquí.
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