En matemáticas , la geometría sistólica es el estudio de invariantessistólicos de múltiples y poliedros , tal como fue concebido inicialmente por Charles Loewner y desarrollado por Mikhail Gromov , Michael Freedman , Peter Sarnak , Mikhail Katz , Larry Guth y otros, en su aritmética, ergódica y Manifestaciones topológicas. Vea también una Introducción a la geometría sistólica a un ritmo más lento .
La noción de la sístole [ editar ]
La sístole de un espacio métrico compacto X es un invariante métrico de X , definido como la longitud mínima de un bucle no contratable en X (es decir, un bucle que no se puede contraer hasta un punto en el espacio ambiental X ). En un lenguaje más técnico, se minimiza la longitud sobre bucles libresque representan no triviales clases de conjugación en el grupo fundamentalde X . Cuando X es una gráfica , el invariante generalmente se conoce como la circunferencia , desde el artículo de 1947 sobre la circunferencia de WT Tutte.. [1] Posiblemente inspirado en el artículo de Tutte, Loewner comenzó a pensar en cuestiones sistólicas sobre superficies a finales de la década de 1940, lo que resultó en una tesis de 1950 de su alumno Pao Ming Pu . El término actual "sístole" en sí no fue acuñado hasta un cuarto de siglo más tarde, por Marcel Berger .
Aparentemente, esta línea de investigación recibió un impulso adicional por parte de René Thom , en una conversación con Berger en la biblioteca de la Universidad de Estrasburgo durante el año académico 1961-62, poco después de la publicación de los documentos de R. Accola y C. . Blatter. Refiriéndose a estas desigualdades sistólicas, Thom supuestamente exclamó: ¡Lo más importante es que es fundamental! [¡Estos resultados son de importancia fundamental!]
Posteriormente, Berger popularizó el tema en una serie de artículos y libros, más recientemente en la edición de marzo de 2008 de los Avisos de la American Mathematical Society (consulte la referencia a continuación). Una bibliografía en el sitio web para geometría y topología sistólica contiene actualmente más de 160 artículos. La geometría sistólica es un campo en rápido desarrollo, que presenta una serie de publicaciones recientes en revistas líderes. Recientemente (ver el documento de 2006 de Katz y Rudyak a continuación), ha surgido el vínculo con la categoría Lusternik-Schnirelmann . La existencia de un vínculo de este tipo puede considerarse como un teorema en la topología sistólica .
Propiedad de un poliedro simétrico central en 3 espacios [ editar ]
Cada poliedro P convexo centralmente simétrico en R 3 admite un par de puntos opuestos (antípodas) y una trayectoria de longitud L que los une y se extiende sobre el límite ∂ P de P , que satisface
Una formulación alternativa es la siguiente. Cualquier cuerpo convexo centralmente simétrico de área de superficie A puede ser comprimido a través de una soga de longitud, con el ajuste más ajustado logrado por una esfera. Esta propiedad es equivalente a un caso especial de desigualdad de Pu (ver más abajo), una de las primeras desigualdades sistólicas.
Conceptos [ editar ]
Para dar una idea preliminar del sabor del campo, se podrían hacer las siguientes observaciones. El empuje principal del comentario de Thom a Berger citado anteriormente parece ser el siguiente. Cada vez que se encuentra una desigualdad que relaciona invariantes geométricos, tal fenómeno en sí es interesante; tanto más cuando la desigualdad es aguda (es decir, óptima). La desigualdad isoperimétrica clásica es un buen ejemplo.
En las preguntas sistólicas sobre superficies, las identidades geométricas integrales juegan un papel particularmente importante. En términos generales, hay un área de relación de identidad integral por un lado, y un promedio de energías de una familia adecuada de bucles por el otro. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la energía es un límite superior para la longitud al cuadrado; por lo tanto, se obtiene una desigualdad entre el área y el cuadrado de la sístole. Tal enfoque funciona tanto para la desigualdad de Loewner.
para el toro , donde el caso de la igualdad es alcanzado por el toro plano cuyas transformaciones de cubierta forman la red de enteros de Eisenstein ,
- ,
De hecho, una aplicación de la fórmula computacional para la varianzaproduce la siguiente versión de la desigualdad en el toro de Loewner con defecto isosistólico:
donde f es el factor de conformidad de la métrica con respecto a una métrica plana de área de unidad en su clase de conformidad. Esta desigualdad se puede considerar como análoga a la desigualdad de Bonnesen con defecto isoperimétrico, un fortalecimiento de la desigualdad isoperimétrica.
Recientemente se han descubierto una serie de nuevas desigualdades de este tipo, incluidos los límites inferiores de volumen universal. Más detalles aparecen en las sístoles de superficies .
Sistólica desigualdad de Gromov [ editar ]
El resultado más profundo en el campo es la desigualdad de Gromov para la homotopy 1 de la sístole de un esencial n -manifold M :
donde C n es una constante universal sólo en función de la dimensión de M . Aquí el sysπ sístole homotopy 1 es por definición la menos longitud de un bucle no contratables en M . Una variedad se llama esencial si su clase fundamental [M] representa una clase no trivial en la homología de su grupo fundamental . La prueba involucra un nuevo invariante llamado radio de llenado , introducido por Gromov, definido de la siguiente manera.
Indica con A el anillo de coeficiente Z o Z 2 , dependiendo de si M es orientable o no . Entonces la clase fundamental , denotada [M] , de una variedad compacta en n dimensiones M es un generador de. Dada una incorporación de M en el espacio euclidiano E , establecemos
![{\ mathrm {FillRad}} (M \ subconjunto E) = \ inf \ left \ {\ epsilon> 0 \ left | \; \ iota _ {\ epsilon} ([M]) = 0 \ in H_ {n} ( U _ {\ epsilon} M) \ right. \ Right \},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11dfe4fcd3f5693d2100f1b8ceac79d7377e43c5)
donde É ε es el homomorfismo inclusión inducida por la inclusión de M en su ε-barrio U varepsilon M en E .
Para definir una absoluta radio de relleno en una situación en la que M está equipada con una métrica de Riemann g , Gromov procede como sigue. Uno explota una imbedding debido a C. Kuratowski. Una imagen M en el espacio Banach L ∞ ( M ) de Borel acotado funciona en M , equipado con la norma sup. Es decir, asignamos un punto x ∈ M a la función f x ∈ L ∞ ( M ) definida por la fórmula f x (y) = d (x, y) para todos y ∈ M , donde d es la función de distancia definida por la métrica Por la desigualdad del triángulo tenemos.y, por lo tanto, la integración es fuertemente isométrica, en el sentido preciso de que la distancia interna y la distancia ambiental coinciden. Una integración tan fuertemente isométrica es imposible si el espacio ambiental es un espacio de Hilbert, incluso cuando M es el círculo de Riemann (la distancia entre los puntos opuestos debe ser π , ¡no 2!). Luego establecemos E = L ∞ ( M ) en la fórmula anterior, y definimos
A saber, Gromov demostró una fuerte desigualdad en relación con la sístole y el radio de llenado,
válido para todas las variedades esenciales M ; así como una desigualdad
válida para todas cerradas colectores M .
Un resumen de una prueba, basado en resultados recientes en la teoría de la medida geométrica por S. Wenger, basado en el trabajo anterior de L. Ambrosio y B. Kirchheim, aparece en la Sección 12.2 del libro "Geometría y topología sistólica" que se menciona a continuación. Larry Guth propuso recientemente un enfoque completamente diferente de la prueba de la desigualdad de Gromov . [2]
La desigualdad estable de Gromov [ editar ]
Se debe tener en cuenta una diferencia significativa entre los invariantes sistólicos 1 (definidos en términos de longitudes de bucles) y los invariantes sistólicos k superiores (definidos en términos de áreas de ciclos, etc.). Si bien se han obtenido varias desigualdades sistólicas óptimas, que involucran a los sístoles 1, hasta ahora, casi la única desigualdad óptima que involucra puramente a las sístoles k más altas es la desigualdad 2-sistólica estable óptima de Gromov
para el espacio proyectivo complejo , donde el límite óptimo es alcanzado por la métrica simétrica de Fubini-Estudio , que apunta al enlace a la mecánica cuántica . Aquí se define el 2-sístole estable de una variedad Riemanniana M mediante el ajuste de
dónde es la norma estable, mientras que λ 1 es la norma mínima de un elemento distinto de cero de la red. Lo excepcional que es la desigualdad estable de Gromov, solo se hizo evidente recientemente. A saber, se descubrió que, contrariamente a lo esperado, la métrica simétrica en el plano proyectivo cuaterniónico no es su métrica sistémicamente óptima, en contraste con la sístole 2 en el caso complejo. Mientras que el plano proyectivo cuaterniónico.con su métrica simétrica tiene una relación sistólica estable de dimensión media de 10/3, la relación análoga para la métrica simétrica del complejo 4 espacio proyectivo da el valor 6, mientras que el mejor límite superior disponible para dicha relación de una métrica arbitraria en ambos de estos espacios es 14. Este límite superior está relacionado con las propiedades del álgebra de Lie E7 . Si existe un 8-manifold con holonomía de Spin (7) excepcional y 4 ° Betti número 1, entonces el valor 14 es de hecho óptimo. Los colectores con holonomía de espín (7) han sido estudiados intensivamente por Dominic Joyce .
Límites inferiores para 2-systoles [ editar ]
De manera similar, casi el único límite inferior no trivial para una k- sístole con k = 2, es el resultado de un trabajo reciente en la teoría del calibre y las curvas J-holomorfas . El estudio de los límites inferiores para la sístole conformada en 2 de 4 variedades ha conducido a una prueba simplificada de la densidad de la imagen del mapa del período, por Jake Solomon .
Problema de Schottky [ editar ]
Quizás una de las aplicaciones más notables de las sístoles sea en el contexto del problema de Schottky , por P. Buser y P. Sarnak , quienes distinguieron las superficies de los jacobianos de Riemann entre las variedades abelianas principalmente polarizadas, sentando las bases de la aritmética sistólica.
Categoría Lusternik – Schnirelmann [ editar ]
Hacer preguntas sistólicas a menudo estimula preguntas en campos relacionados. Por lo tanto, se ha definido e investigado una noción de categoría sistólica de una variedad, que muestra una conexión con la categoría de Lusternik-Schnirelmann (categoría LS). Tenga en cuenta que la categoría sistólica (así como la categoría LS) es, por definición, un número entero. Se ha demostrado que las dos categorías coinciden para ambas superficies y 3-manifolds. Por otra parte, para 4 manifolds orientables, la categoría sistólica es un límite inferior para la categoría LS. Una vez que se establece la conexión, la influencia es mutua: los resultados conocidos sobre la categoría LS estimulan las preguntas sistólicas y viceversa.
El nuevo invariante fue introducido por Katz y Rudyak (ver más abajo). Dado que el invariante está estrechamente relacionado con la categoría de Lusternik-Schnirelman (categoría LS), se llamó categoría sistólica.
Categoría sistólica de un colector M se define en términos de los diversos k -systoles de M . En términos generales, la idea es la siguiente. Dada una variedad M , uno busca el producto más largo de las sístoles que proporciona un límite inferior "libre de curvatura" para el volumen total de M (con una constante independiente de la métrica). Es natural incluir también invariantes sistólicos de las cubiertas de M en la definición. El número de factores en un "producto más larga" de este tipo es, por definición, la categoría sistólica de M .
Por ejemplo, Gromov demostró que un múltiple n esencial admite un límite inferior de volumen en términos de la novena potencia de la homotopía 1 sístole (consulte la sección anterior). De ello se deduce que la categoría sistólica de un n- múltiple esencial es precisamente n . De hecho, para los n- manifolds cerrados , el valor máximo tanto de la categoría LS como de la categoría sistólica se alcanza simultáneamente.
Otro indicio de la existencia de una relación intrigante entre las dos categorías es la relación con el invariante llamado la longitud cuadrada. Por lo tanto, la longitud real resulta ser un límite inferior para ambas categorías.
La categoría sistólica coincide con la categoría LS en varios casos, incluido el caso de múltiples dimensiones de las dimensiones 2 y 3. En la dimensión 4, recientemente se demostró que la categoría sistólica es un límite inferior para la categoría LS.
Sistólica geometría hiperbólica [ editar ]
El estudio del comportamiento asintótico para el gran género g de la sístole de superficies hiperbólicas revela algunas constantes interesantes. Por lo tanto, las superficies de Hurwitz Σ g definidas por una torre de subgrupos de congruencia principales del (2,3,7) grupo de triángulo hiperbólico satisfacen el límite
y un límite similar se aplica a los grupos fucsianos de aritmética más general . Este resultado de 2007 de Katz, Schaps y Vishne generaliza los resultados de Peter Sarnak y Peter Buser en el caso de grupos aritméticos definidos sobre Q , de su artículo seminal de 1994 (ver más abajo).
Una bibliografía para sístoles en geometría hiperbólica actualmente cuenta con cuarenta artículos. La superficie de Bolza , la cuña de Klein , la superficie de Macbeath , el triplete de First Hurwitz proporcionan ejemplos interesantes .
Relación con los mapas de Abel-Jacobi [ editar ]
Se obtiene una familia de desigualdades sistólicas óptimas como una aplicación de las técnicas de Burago e Ivanov, explotando los mapas adecuados de Abel-Jacobi , definidos de la siguiente manera.
Sea M una multiplicidad , π = π 1 ( M ), su grupo fundamental y f : π → π ab sea su mapa de abelianización . Sea tor el subgrupo de torsión de π ab . Sea g : π ab → π ab / tor el cociente por torsión. Claramente, π ab / tor = Z b , donde b = b 1 ( M ). Sea φ: π → Z b el homomorfismo compuesto.
Ahora supongamos que M tiene una métrica riemanniana . Sea E el espacio de las formas 1 armónicas en M , con doble E * canónicamente identificada con H 1 ( M , R ). Al integrar una forma armónica 1 integral a lo largo de las rutas desde un punto base x 0 ∈ M , obtenemos un mapa para el círculo R / Z = S 1 .
De manera similar, para definir un mapa M → H 1 ( M , R ) / H 1 ( M , Z ) R sin elegir una base para la cohomología, argumentamos lo siguiente. Sea x un punto en la portada universal. de m . Por lo tanto, x se representa mediante un punto de M junto con una ruta c desde x 0 hasta él. Al integrarnos a lo largo del camino c, obtenemos una forma lineal,, sobre e . Así obtenemos un mapa., que, además, desciende a un mapa.
dónde Es la cubierta abeliana libre universal.
Sea M un colector riemanniano n- dimensional con el primer número Betti n , de modo que el mapa desde Mhasta su toro de Jacobi tenga un grado distinto de cero . Entonces M satisface la desigualdad sistólica estable óptima
Campos relacionados, entropía de volumen [ editar ]
Se ha demostrado que los fenómenos asintóticos para la sístole de superficies de grandes géneros se relacionan con fenómenos ergódicos interesantes y con las propiedades de los subgrupos de congruencia de grupos aritméticos .
La desigualdad de Gromov en 1983 para la sístole de homotopía implica, en particular, un límite inferior uniforme para el área de una superficie asférica en términos de su sístole. Dicho límite generaliza las desigualdades de Loewner y Pu, aunque de una manera no óptima.
El artículo seminal de Gromov de 1983 también contiene límites asintóticos que relacionan la sístole y el área, lo que mejora el límite uniforme (válido en todas las dimensiones).
Recientemente se descubrió (ver el documento de Katz y Sabourau a continuación) que el volumen de entropía h, junto con la desigualdad óptima de A. Katok para h , es el intermediario "correcto" en una prueba transparente del límite asintótico de M. Gromov para la relación sistólica de Superficies de gran género.
El resultado clásico de A. Katok afirma que cada métrica en una superficie cerrada M con característica de Euler negativa satisface una desigualdad óptima en relación con la entropía y el área.
Resulta que la mínima entropía de una superficie cerrada puede estar relacionada con su relación sistólica óptima. Es decir, hay un límite superior para la entropía de una superficie sistólica extrema, en términos de su sístole. Al combinar este límite superior con el límite inferior óptimo de Katok en términos del volumen, se obtiene una prueba alternativa más simple de la estimación asintótica de Gromov para la relación sistólica óptima de las superficies del gran género. Además, tal enfoque produce una constante multiplicativa mejorada en el teorema de Gromov.
Como aplicación, este método implica que cada métrica en una superficie de género al menos 20 satisface la desigualdad en el toro de Loewner. Esto mejora la mejor estimación temprana de 50, seguida de una estimación de Gromov.
Conjetura del área de relleno [ editar ]
La conjetura del área de llenado de Gromov se ha demostrado en un entorno hiperelíptico (ver referencia de Bangert et al. A continuación).
La conjetura del área de relleno afirma que entre todos los rellenos posibles del círculo de Riemann de longitud 2π por una superficie con la propiedad fuertemente isométrica, el hemisferio redondo tiene la menor área. Aquí, el círculo de Riemann se refiere a la variedad Riemannian única y cerrada de 1-volumen de 1-volumen 2π y diámetro π de Riemann.
Para explicar la conjetura, comenzamos con la observación de que el círculo ecuatorial de la unidad 2-esfera, S 2⊂ R 3 , es un círculo Riemanniano S 1 de longitud 2π y diámetro π.
Más precisamente, la función de distancia riemanniana de S 1 es la restricción de la distancia riemanniana ambiente en la esfera. Esta propiedad no se satisface con la incorporación estándar del círculo unitario en el plano euclidiano, donde un par de puntos opuestos están a la distancia 2, no π.
Consideramos todos los rellenos de S 1 por una superficie, de modo que la métrica restringida definida por la inclusión del círculo como el límite de la superficie es la métrica riemanniana de un círculo de longitud 2π. La inclusión del círculo como límite se denomina entonces una integración fuertemente isométrica del círculo.
En 1983, Gromov conjeturó que el hemisferio redondo ofrece la "mejor" forma de rellenar el círculo entre todas las superficies de relleno.
El caso de rellenos simplemente conectados es equivalente a la desigualdad de Pu . Recientemente, el caso de los rellenos del género -1 también se resolvió afirmativamente (véase la referencia de Bangert et al. A continuación). Es decir, resulta que uno puede explotar una fórmula de medio siglo de J. Hersch a partir de la geometría integral. A saber, considere la familia de bucles de figura 8 en un balón de fútbol, con el punto de auto-intersección en el ecuador (vea la figura al comienzo del artículo). La fórmula de Hersch expresa el área de una métrica en la clase conforme del fútbol, como un promedio de las energías de los bucles de la figura 8 de la familia. Una aplicación de la fórmula de Hersch al cociente hiperelíptico de la superficie de Riemann prueba la conjetura del área de relleno en este caso.
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