TEMAS DE GEOMETRÍA

SECCIÓN CÓNICA , CONTINUACIÓN I

Historia

Menaechmus y primeras obras.

Se cree que la primera definición de una sección cónica fue dada por Menaechmus (murió en 320 AC) como parte de su solución del problema de Delian ( Duplicar el cubo ). ^[25] [26] Su trabajo no sobrevivió, ni siquiera los nombres que usó para estas curvas, y solo se conoce a través de cuentas secundarias. ^[27] La definición utilizada en ese momento difiere de la que se usa comúnmente en la actualidad. Los conos se construyeron girando un triángulo rectángulo alrededor de una de sus patas de modo que la hipotenusa genere la superficie del cono (tal línea se llama generatriz). Tres tipos de conos fueron determinados por sus ángulos de vértice (medidos por el doble del ángulo formado por la hipotenusa y la pierna girada alrededor del triángulo rectángulo). La sección cónica se determinó entonces mediante la intersección de uno de estos conos con un plano trazado perpendicular a una generatriz. El tipo de cono está determinado por el tipo de cono, es decir, por el ángulo formado en el vértice del cono: si el ángulo es agudo, entonces la cónica es una elipse; si el ángulo es correcto, entonces la cónica es una parábola; y si el ángulo es obtuso, entonces la cónica es una hipérbola (pero solo una rama de la curva). ^[28]

Se dice que Euclid (fl. 300 aC) escribió cuatro libros sobre cónicas, pero estos también se perdieron. ^[29] Se sabe que Arquímedes (muerto c. 212 aC) ha estudiado cónicas, habiendo determinado el área delimitada por una parábola y un acorde en la cuadratura de la parábola . Su principal interés fue en la medición de áreas y volúmenes de figuras relacionadas con las cónicas y parte de este trabajo sobrevive en su libro sobre los sólidos de la revolución de las cónicas, Sobre conoides y Esferoides . ^[30]

Apolonio de Perga

Diagrama de Apollonius ' Conics , en una traducción al árabe del siglo IX.

El mayor avance en el estudio de las cónicas por los antiguos griegos se debe a Apolonio de Perga (muerto c. 190 aC), cuyo volumen de ocho secciones cónicas o cónicas resumida y ampliado considerablemente los conocimientos existentes. El estudio de Apollonius sobre las propiedades de estas curvas hizo posible demostrar que cualquier plano que corte un cono doble fijo (dos siestas), independientemente de su ángulo, producirá una cónica según la definición anterior, lo que lleva a la definición que se usa comúnmente en la actualidad. Los círculos, no construibles por el método anterior, también se pueden obtener de esta manera. Esto puede explicar por qué Apolonio consideraba a los círculos como un cuarto tipo de sección cónica, una distinción que ya no se hace. Apolonio usó los nombres elipse , parábolae hipérbola para estas curvas, tomando prestada la terminología del trabajo pitagórico anterior en áreas. ^[31]

Se le atribuye a Pappus de Alejandría (fallecido c. 350 dC) que expone la importancia del concepto de enfoque de una cónica y detalla el concepto relacionado de directriz , incluido el caso de la parábola (que no se encuentra en las obras conocidas de Apolonio). ^[32]

Al-Kuhi

Un instrumento para dibujar secciones cónicas fue descrito por primera vez en 1000 EC por el matemático islámico Al-Kuhi . ^[33] [34]

Omar Khayyám

El trabajo de Apolonio fue traducido al árabe, y gran parte de su trabajo solo sobrevive a través de la versión árabe. Los persas encontraron aplicaciones de la teoría, especialmente el matemático y poeta persa ^[35] Omar Khayyám , que usó secciones cónicas para resolver ecuaciones algebraicas de no más de tres grados. ^[36] [37]

Europa

Johannes Kepler extendió la teoría de las cónicas a través del " principio de continuidad ", un precursor del concepto de límites. Kepler utilizó por primera vez el término focos en 1604. ^[38]

Girard Desargues y Blaise Pascal desarrollaron una teoría de las cónicas utilizando una forma temprana de geometría proyectiva, lo que ayudó a impulsar el estudio de este nuevo campo. En particular, Pascal descubrió un teorema conocido como el hexagrammum mysticum, del cual se pueden deducir muchas otras propiedades de las cónicas.

René Descartes y Pierre Fermat aplicaron su geometría analítica recién descubierta al estudio de las cónicas. Esto tuvo el efecto de reducir los problemas geométricos de las cónicas a problemas en álgebra. Sin embargo, fue John Wallis en su tratado de 1655 Tractatus de sectionibus conicis quien primero definió las secciones cónicas como ejemplos de ecuaciones de segundo grado. ^[39] escrito anteriormente, pero publicada después, Jan de Witt 's Elementa curvarum linearum comienza con Kepler cinemáticaConstrucción de las cónicas y luego desarrolla las ecuaciones algebraicas. Este trabajo, que utiliza la metodología de Fermat y la notación de Descartes, se ha descrito como el primer libro de texto sobre el tema. ^[40] De Witt inventó el término directriz . ^[40]

Aplicaciones

Para aplicaciones específicas de cada tipo de sección cónica, vea Círculo , Elipse , Parábola e Hipérbola .

La forma parabólica de Archaeocyathids produce secciones cónicas en las caras de las rocas.

Las secciones cónicas son importantes en astronomía : las órbitas de dos objetos masivos que interactúan de acuerdo con la ley de gravitación universal de Newton son secciones cónicas si se considera que su centro de masa común está en reposo. Si están unidos, ambos trazarán elipsis; Si se están separando, ambos seguirán parábolas o hiperbolas. Ver problema de dos cuerpos .

Las propiedades reflectantes de las secciones cónicas se utilizan en el diseño de proyectores, radiotelescopios y algunos telescopios ópticos. ^[41] Un reflector utiliza un espejo parabólico como reflector, con una bombilla en el foco; y una construcción similar se utiliza para un micrófono parabólico . El telescopio óptico Herschel de 4.2 metros en La Palma, en las Islas Canarias, utiliza un espejo parabólico primario para reflejar la luz hacia un espejo hiperbólico secundario, que lo refleja de nuevo al foco detrás del primer espejo.

En el plano proyectivo real.

Las secciones cónicas tienen algunas propiedades muy similares en el plano euclidiano y las razones para esto se aclaran cuando las cónicas se ven desde la perspectiva de una geometría más grande. El plano euclidiano puede incrustarse en el plano proyectivo real y las cónicas pueden considerarse objetos en esta geometría proyectiva. Una forma de hacer esto es introducir coordenadas homogéneas y definir una cónica como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadrática irreducible en tres variables (o equivalentemente, los ceros de una forma cuadrática irreducible ). Más técnicamente, el conjunto de puntos que son ceros de una forma cuadrática (en cualquier número de variables) se llama una cuádricay las cuadráticas irreducibles en un espacio proyectivo bidimensional (es decir, que tienen tres variables) se denominan tradicionalmente cónicas.

El plano euclidiano R ² se incrusta en el plano proyectivo real al unir una línea en el infinito (y sus puntoscorrespondientes en el infinito ), de modo que todas las líneas de una clase paralela se encuentran en esta línea. Por otro lado, comenzando con el plano proyectivo real, un plano euclidiano se obtiene distinguiendo una línea como la línea en el infinito y eliminándola y todos sus puntos.

Intersección al infinito

En un espacio proyectivo sobre cualquier anillo de división, pero en particular sobre los números reales o complejos, todas las cónicas no degeneradas son equivalentes y, por lo tanto, en la geometría proyectiva, simplemente se habla de "una cónica" sin especificar un tipo. Es decir, hay una transformación proyectiva que mapeará cualquier cónica no degenerada a cualquier otra cónica no degenerada. ^[42]

Los tres tipos de secciones cónicas reaparecerán en el plano afín obtenido al elegir una línea del espacio proyectivo para que sea la línea en el infinito. Los tres tipos se determinan luego por la forma en que esta línea en el infinito interseca la cónica en el espacio proyectivo. En el espacio afín correspondiente, uno obtiene una elipse si la cónica no intersecta la línea en el infinito, una parábola si la cónica intersecta la línea en el infinito en un punto doble correspondiente al eje, y una hipérbola si la cónica intersecta la línea en Infinito en dos puntos correspondientes a las asíntotas. ^[43]

Coordenadas homogéneas

En coordenadas homogéneas una sección cónica se puede representar como:

$${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}

O en notación matricial.

{\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E & 2 /\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0.}

La matriz 3 × 3 de arriba se llama matriz de la sección cónica .

Algunos autores prefieren escribir la ecuación general homogénea como

$${\ displaystyle Axe ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,}

(o alguna variación de esto) para que la matriz de la sección cónica tenga la forma más simple,

{\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right),}

pero esta notación no se utiliza en este artículo. ^[44]

Si el determinante de la matriz de la sección cónica es cero, la sección cónica está degenerada .

Al multiplicar los seis coeficientes por el mismo escalar no nulo, se obtiene una ecuación con el mismo conjunto de ceros, se pueden considerar cónicas, representadas por ( A , B , C , D , E , F ) como puntos en la proyectiva de cinco dimensiones. espacio $${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}

Definición proyectiva de un círculo.

Los conceptos métricos de la geometría euclidiana (conceptos relacionados con la medición de longitudes y ángulos) no pueden extenderse inmediatamente al plano proyectivo real. ^[45] Deben ser redefinidos (y generalizados) en esta nueva geometría. Esto se puede hacer para planos proyectivos arbitrarios , pero para obtener el plano proyectivo real como el plano euclidiano extendido, se deben hacer algunas elecciones específicas. ^[46]

Fije una línea arbitraria en un plano proyectivo que se denominará línea absoluta . Seleccione dos puntos distintos en la línea absoluta y consúltelos como puntos absolutos . Se pueden definir varios conceptos métricos con referencia a estas elecciones. Por ejemplo, dada una línea que contiene los puntos A y B , el punto medio de segmento de línea AB se define como el punto C , que es el conjugado armónico proyectiva del punto de intersección de AB y la línea absoluta, con respecto a A y B .

Una cónica en un plano proyectivo que contiene los dos puntos absolutos se llama círculo . Como cinco puntos determinan una cónica, un círculo (que puede estar degenerado) está determinado por tres puntos. Para obtener el plano euclidiano extendido, la línea absoluta se elige como la línea en el infinito del plano euclidiano y los puntos absolutos son dos puntos especiales en esa línea llamados puntos circulares en el infinito . Las líneas que contienen dos puntos con coordenadas reales no pasan a través de los puntos circulares en el infinito, por lo que en el plano euclídeo, un círculo, según esta definición, está determinado por tres puntos que no son colineales . ^[47]

Se ha mencionado que los círculos en el plano euclidiano no pueden ser definidos por la propiedad focus-directrix. Sin embargo, si uno tuviera que considerar la línea en el infinito como la directriz, entonces, al tomar la excentricidad como e = 0, un círculo tendrá la propiedad de la directriz de enfoque, pero esa propiedad aún no la define. ^[48] En esta situación, se debe tener cuidado de usar correctamente la definición de excentricidad como la relación de la distancia de un punto en el círculo al foco (longitud de un radio) a la distancia de ese punto a la directriz (esta distancia es infinito) que da el valor límite de cero.

Definición cónica proyectiva de Steiner.

Artículo principal: Steiner cónico.

Definición de la generación Steiner de una sección cónica.

A sintético (coordenada-libre) enfoque para definir las secciones cónicas en un plano proyectivo fue dada por Jakob Steiner en 1867.

• Dados dos lapices $${\ displaystyle B (U), B (V)} de lineas en dos puntos $${\ displaystyle U, V}(todas las líneas que contienen $${\ displaystyle U} y $${\ displaystyle V}resp.) y un mapeo proyectivopero no en perspectiva$${\ displaystyle \ pi} de $${\ displaystyle B (U)} sobre $${\ displaystyle B (V)}. Luego, los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ^{[49] [50] [51] [52]}

Un mapeo en perspectiva$${\ displaystyle \ pi} de un lapiz $${\ displaystyle B (U)} en un lapiz $${\ displaystyle B (V)}es una bijección (correspondencia 1-1) tal que las líneas correspondientes se intersecan en una línea fija$${\ displaystyle a}, que se llama el eje de la perspectividad.$${\ displaystyle \ pi}.

Un mapeo proyectivo es una secuencia finita de mapeos de perspectiva.

Como un mapeo proyectivo en un plano proyectivo sobre un campo ( plano pappiano ) se determina únicamente prescribiendo las imágenes de tres líneas, ^[53] para la generación Steiner de una sección cónica, además de dos puntos$${\ displaystyle U, V}solo hay que dar las imagenes de 3 lineas. Estos 5 elementos (2 puntos, 3 líneas) determinan de manera única la sección cónica.

Línea cónica

Por el Principio de Dualidad en un plano proyectivo, el dual de cada punto es una línea, y el dual de un locus de puntos (un conjunto de puntos que satisfacen alguna condición) se llama una envolvente de líneas. Utilizando la definición de Steiner de una cónica (este locus de puntos ahora se denominará cónica de puntos ) como el encuentro de los rayos correspondientes de dos lápices relacionados, es fácil de dualizar y obtener la envoltura correspondiente que consiste en las uniones de los puntos correspondientes de dos rangos relacionados (puntos en una línea) en diferentes bases (las líneas en que están los puntos). Tal sobre se llama una línea cónica (o doble cónica ).

En el plano proyectivo real, un punto cónico tiene la propiedad de que cada línea lo encuentra en dos puntos (que pueden coincidir, o pueden ser complejos) y cualquier conjunto de puntos con esta propiedad es un punto cónico. Sigue dualmente que una línea cónica tiene dos de sus líneas a través de cada punto y cualquier sobre de líneas con esta propiedad es una línea cónica. En cada punto de un punto cónico hay una línea tangente única y, dualmente, en cada línea de una línea cónica hay un punto único llamado punto de contacto . Un importante teorema establece que las líneas tangentes de un punto cónico forman una línea cónica, y, dualmente, los puntos de contacto de una línea cónica forman un punto cónico. ^[54]

Definición de Von Staudt

Artículo principal: Von Staudt cónica.

Karl Georg Christian von Staudt definió una cónica como el conjunto de puntos dado por todos los puntos absolutos de una polaridad que tiene puntos absolutos. Von Staudt introdujo esta definición en Geometrie der Lage (1847) como parte de su intento de eliminar todos los conceptos métricos de la geometría proyectiva.

Una polaridad , π , de un plano proyectivo, P , es un involutivo (es decir, de orden dos) biyección entre los puntos y las líneas de P que conserva la relación de incidencia . Así, una polaridad relaciona un punto Q con una línea q y, siguiendo a Gergonne , q se llama el polar de Q y Q el polo de q . ^[55] Un punto absoluto ( línea ) de una polaridad es uno que incide con su polar (polo).^[56]

Una cónica de von Staudt en el plano proyectivo real es equivalente a una cónica de Steiner . ^[57]

Construcciones

Ningún arco continuo de una cónica se puede construir con regla y compás. Sin embargo, hay varias construcciones de regla y compás para cualquier número de puntos individuales en un arco.

Uno de ellos se basa en el inverso del teorema de Pascal, a saber, si los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono son colineales, entonces los seis vértices se encuentran en una cónica. Específicamente, dados cinco puntos, A , B , C , D , E y una línea que pasa por E , digamos EG , \ un punto Fque se encuentra en esta línea y está en la cónica determinada por los cinco puntos que se pueden construir. Deja que AB se encuentre con DE enL, BC con EG enMy deje que el CD se encuentreLM enN. Entonces ANcumple con EG en el puntoFrequerido. ^[58] Al variar la línea a través deE, se pueden construir tantos puntos adicionales en la cónica como se desee.

Método de paralelogramo para construir una elipse.

Otro método, basado en la construcción de Steiner y que es útil en aplicaciones de ingeniería, es el método de paralelogramo , donde una cónica se construye punto por punto mediante la conexión de ciertos puntos igualmente espaciados en una línea horizontal y una línea vertical. ^[59] Específicamente, para construir la elipse con la ecuación x ²/a ² + y ²/b ² = 1, primero construya el rectánguloABCDcon los vérticesA(a, 0),B(a, 2b),C(-a, 2 b ) y D (- a , 0) . Divida el lado BC en n segmentos iguales y use una proyección paralela, con respecto a la diagonal AC, para formar segmentos iguales en el lado AB (las longitudes de estos segmentos serán b/a veces la longitud de los segmentos en BC ). En el lado BC etiqueta los puntos extremos izquierdos de los segmentos con A ₁ a A _n a partir de B y va hacia C . En la etiqueta lateral AB los puntos finales superioresD ₁ a D _n a partir de A y yendo hacia B . Los puntos de intersección, AA _i ∩ DD _i para 1 ≤ i ≤ n serán puntos de la elipse entre A y P (0, b ) . El etiquetado asocia las líneas del lápiz a través de A con las líneas del lápiz a través de D de manera proyectiva pero no en perspectiva. El cónico buscado se obtiene por esta construcción ya que tres puntos A , D y Py dos tangentes (las líneas verticales en A y D ) determinan de manera única la cónica. Si se usa otro diámetro (y su diámetro conjugado) en lugar de los ejes mayor y menor de la elipse, se usa un paralelogramo que no es un rectángulo en la construcción, dando el nombre del método. La asociación de líneas de los lápices se puede ampliar para obtener otros puntos sobre la elipse. Las construcciones para hiperbolas ^[60] y parábolas ^[61] son similares.

Otro método general más utiliza la propiedad de polaridad para construir la envoltura tangente de una cónica (una línea cónica). ^[62]

En el plano proyectivo complejo.

En el plano complejo C ² , las elipses y las hipérbolas no son distintas: se puede considerar una hipérbola como una elipse con una longitud de eje imaginaria. Por ejemplo, la elipse.$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1} Se convierte en una hipérbola en la sustitución. $${\ displaystyle y = iw,} geométricamente una rotación compleja, cediendo $${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}. Por lo tanto, hay una clasificación de 2 vías: elipse / hipérbola y parábola. Extendiendo las curvas al plano proyectivo complejo, esto corresponde a la intersección de la línea en el infinito en 2 puntos distintos (correspondientes a dos asíntotas) o en 1 punto doble (correspondiente al eje de una parábola); por lo tanto, la hipérbola real es una imagen real más sugestiva para la elipse / hipérbola compleja, ya que también tiene 2 intersecciones (reales) con la línea en el infinito.

La unificación adicional se produce en el plano proyectivo complejo. CP ² : las cónicas no degeneradas no se pueden distinguir entre sí, ya que cualquier transformación se puede llevar a cualquier otra por una transformación lineal proyectiva .

Se puede demostrar que en el CP ² , dos secciones cónicas tienen cuatro puntos en común (si se tiene en cuenta la multiplicidad ), por lo que hay entre 1 y 4 puntos de intersección . Las posibilidades de intersección son: cuatro puntos distintos, dos puntos singulares y un punto doble, dos puntos dobles, un punto singular y uno con multiplicidad 3, un punto con multiplicidad 4. Si cualquier punto de intersección tiene multiplicidad> 1, se dicen las dos curvas siendo tangente . Si solo hay un punto de intersección, que tiene multiplicidad 4, se dice que las dos curvas oscilan. ^[63]

Además, cada línea recta intersecta cada sección cónica dos veces. Si el punto de intersección es doble, la línea es una línea tangente . Intersectando con la línea en el infinito, cada sección cónica tiene dos puntos en el infinito. Si estos puntos son reales, la curva es una hipérbola ; si son conjugados imaginarios, es una elipse ; Si solo hay un punto doble, es una parábola . Si los puntos en el infinito son (1, i, 0) y (1, -i, 0), la sección cónica es un círculo (vea los puntos circulares en el infinito). Si una sección cónica tiene un punto real e imaginario en el infinito, o dos puntos imaginarios que no son conjugados, entonces no es una sección cónica real: sus coeficientes no pueden ser reales.