Apuntes de Astronomía observacional

Intensidad específica, flujo, magnitud monocromática

La intensidad específica monocromática de la radiación en un punto P, I_ν, se define como la cantidad de energía transportada por la radiación en un intervalo de frecuencia dν, en un tiempo dt, a través de la superficie dA, dentro del cono de ángulo sólido dω.


source: http://www.ifa.hawaii.edu/users/kud/teaching_12/3_Radiative_transfer.pdf
El factor cosθ toma en cuenta la proyección del área dA de la fuente en el plano perpendicular a la dirección de propagación. Las unidades de I_ν son:

Si no existe absorción o emisión a lo largo del camino la intensidad específica es invariante.


source: http://www.ifa.hawaii.edu/users/kud/teaching_12/3_Radiative_transfer.pdf La cantidad de energía emitida y recibida a través de cada elemento de superficie es:


Angulo sólido del receptor visto desde el emisor:
Angulo sólido del emisor visto desde el receptor:
Asumiendo conservación de la energía entre ambos puntos, se desprende que la intensidad específica es invariante a lo largo del camino:

El flujo emitido es la cantidad de energía transportada en todas direcciones en un intervalo de frecuencia dν, en un tiempo dt, a través de la superficie dA. Se obtiene integrando dE_ν en todos los ángulos sólidos:

y sus unidades son:

Para el caso de una fuente que emite isotrópicamente, I_ν(θ,φ)=I_ν, el flujo neto es cero.
Si consideramos únicamente la radiación de adentro hacia afuera de una superficie que emite isotrópicamente, debemos integrar solamente en el hemisferio situado sobre el elemento de área (i.e. θ=0→π/2):

La luminosidad monocromática se obtiene integrando F_ν^em en toda el área de la fuente que emite:

Es una propiedad intrínseca de la fuente. Para el caso de una fuente esférica de radio R que emite isotrópicamente la superficie de la fuente es 4πR² y su luminosidad es:

El flujo monocromático recibido se obtiene dividiendo la luminosidad monocromática por el área de una esfera hipotética centrada en la fuente, cuyo radio corresponde a su distancia al observador:


Esta es la famosa ley del cuadrado inverso. Mientras L_ν es una propiedad intrínseca de la fuente, el flujo depende de su distancia.
Relación entre flujo recibido, intensidad específica y flujo emitido para fuente esférica que emite isotrópicamente:

Nota: Si tuvieran una esfera que emite isotrópicamente como cuerpo negro, podrían conocer su la intensidad específica y el flujo emitido. Si, además pudiera conocer su radio, podría determinar la distancia al objeto. Qué tipo de objeto astrofísico permite efectuar esta medición? Este método se conoce como Baade-Wesselink (o, Método de la Expansión Fotosférica).
Para una fuente extendida:


Toda la energía recibida en dA' desde dA está contenida en el cono de ángulo sólido dω:

en que dω es el ángulo sólido del receptor visto desde la fuente:

La energía recibida es:

El ángulo sólido de dA visto por el receptor:

por lo que

El flujo monocromático recibido desde dω' se obtiene dividiendo por dt, dA', y dν:

en unidades de [erg s^-1 Hz^-1 cm^-2]. Si la fuente es pequeña, cosθ'~1 y el flujo monocromático recibido desde toda la fuente es:

Si la intensidad específica es isotrópica, I_ν(θ',φ')=I_ν:

en que Δω' es el ángulo sólido que subtiende toda la fuente para el observador. Se define el brillo superficial:

Dado que la intensidad específica es invariante, el brillo superficial es independiente de la distancia!
El flujo bolométrico se obtiene integrando el flujo monocromático en todas las frecuencias o longitudes de onda:

Por definición:

por lo que la relación entre f_ν y f_λ es:

Análogamente, la luminosidad bolométrica se obtiene integrando la luminosidad monocromática en todas las frecuencias o longitudes de onda:

La Radiación de cuerpo negro como ejemplo de intensidad específica:




Ver aca una demo de cuerpo negro.
La magnitud monocromática es una medida logarítmica del flujo monocromático recibido:

También se denomina magnitud AB. El punto cero, -48.6, se elige de modo que AB_ν en λ=5480 Å sea igual a la magnitud visual (V) de un objeto (Oke & Gunn 1983, ApJ, 266, 713). Con esta definicion una estrella con f_ν=3.63×10^-20 erg s^-1 Hz^-1cm^-2 tiene magnitud monocromatica exactamente cero. La magnitud AB permite pasar directamente a flujo:


 
Izquierda: El flujo monocromático de la estrella Vega en unidades de F_λ (arriba) y F_ν (abajo) en función de la longitud de onda. Derecha: El flujo monocromático de la estrella Vega en unidades de F_ν (abajo) y la magnitud monocromática AB_ν (arriba) en función de la longitud de onda. El círculo negro la magnitud AB de Vega en 5480 Å.
Sección 2. Extinción interestelar Lectura Obligatoria:
Lectura Sugerida: Gutiérrez & Moreno (Sección 14.3)
El medio interestelar es el material entre las estrellas, el cual consiste en: 1) polvo (partículas finas de materia sólida), gas neutro (principalmente hidrógeno), gas ionizado y nubes moleculares. Este medio no tiene una distribución uniforme sino grumosa ("clumpy").
El medio interestelar absorbe la luz de las fuentes astronómicas y lo hace preferentemente a longitudes de onda corta, por lo cual su efecto es extinguir y enrojecer.


Enrojecimiento por polvo en NCG 3370. Para cuantificar el efecto de la absorción interestelar hay que considerar lo que le pasa a un rayo de luz a medida que se propaga por el medio, lo cual está descrito por la ecuación de transferencia radiativa:

k_ν es la opacidad (cm² g^-1)
ρ es la densidad del medio (g cm^-3)
I_ν es la intensidad específica
k_νρ=α_ν es el coeficiente de absorción (cm^-1)
La solución a la ecuación es:

en que τ_ν es la profundidad óptica del medio:

La luz se atenúa exponencialmente:

El cambio en la magnitud monocromática es:

La extinción en magnitud, A_ν, es casi directamente proporcional a la profundidad óptica:

La extinción depende de la longitud de onda:


Tres casos de leyes de extinción, cada una parametrizada por distintos valores de R_V (Mathis,1990,ARAA,28,37). La luz roja se ve menos afectada. El salto en la curva de extinción en λ=2175 Å se debe a partículas de grafito. La ley de extinción cambia según la dirección que se estudie, pero los cambios pueden describirse con un solo parámetro:

Este parámetro recibe el nombre de "la razón entre la absorción total y la selectiva". Para una ley estándar R_V=3.1, pero se observan valores entre 2.75 y 5.3 (Cardelli et al. 1989, ApJ, 345, 245).
La radiación absorbida es reradiada por el polvo en el infrarrojo cuya temperatura varía alrededor de 20 K.

Mapa del cielo a 33 GHz obtenido con WMAP, el cual revela la emisión del polvo de la Vía Láctea. Este tipo de mapas del polvo Galáctico han sido utilizados para determinar la densidad de columna del polvo. Usando fuentes extragalácticas (tales como galaxias elípticas) se ha calibrado una relación entre la emisión de polvo y la extinción A_λ (Schlegel et al. 1998, ApJ, 500, 525). Para corregir los flujos medidos uno puede ir al NASA Extragalactic Database (NED), entrar las coordenadas del objeto y averiguar la cantidad de extinción:

Resultados de búsqueda en NED para NGC 253 Las nubes de gas interestelar también absorben pero lo hacen en longitudes de onda discretas. Esto se manifiesta como líneas de absorción en el espectro de la fuente.


Absorción por nubes de gas interestelar. Para corregir los espectros se debe interpolar el flujo usando los flujos adyacentes.

Sección 3. Extinción atmosférica Lectura Obligatoria:
Lectura Sugerida: Gutiérrez & Moreno (Sección 3.1)
La atmósfera terrestre absorbe la luz de las fuentes debido a:

• líneas atómicas y moleculares como el O₃ (ozono), O₂, O, N₂, N, CO₂, H₂O. Las bandas A (7600 Å) y B (6870 Å) debidas al O₂ son prominentes en el óptico.
• Scattering de Rayleigh por moléculas de aire: k ∝ λ^-4
• Scattering por partículas de humo y niebla: k ∝ λ^-1 - k ∝ λ^-2
Este gráficos muestran la transparencia de la atmósfera en función de λ:
Al mirar en detalle la zona óptica/infrarroja se pueden apreciar la absorción continua y las líneas telúricas:

Al cruzar la atmósfera la luz de la fuente se extingue, por lo cual el flujo recibido en la superficie de la Tierra, f_λ, es menor que el flujo antes de entrar a la atmósfera, f_λ⁰ (f_λ < f_λ⁰). Para entender cómo se atenúa el flujo partamos por la ecuación de transferencia radiativa:

en que k_λ es la opacidad de la atmósfera, ρ (g cm^-3) es la densidad de la atmósfera a una altura h sobre la superficie, y ds es el elemento de distancia entre la estrella y el observador.
Suponiendo una atmósfera de capas planas y un objeto celeste a una distancia cenital z:

se puede ver que :

con lo cual:

La solución es:

en que H es la altura total de la atmósfera medida desde el observatorio. Si defino μ₀ como la masa de aire por unidad de área en la vertical (g cm^-2) y μ como la masa de aire por unidad de área en la dirección de observación,

y si defino la masa de aire X (sin dimensiones) en la dirección de observación,

el flujo decae exponencialmente y el decaimiento crece con la masa de aire:

La masa de aire es 1 en la vertical (z=0), y 2 para z=60^o. La aproximación de capas planas es válida cerca del cenit. Tomando en cuenta la curvatura de la atmósfera la masa de aire es:

En términos de magnitudes monocromáticas se obtiene la ecuación de Bouger:

en que K_λ se denomina coeficiente de extinción [en unidades de magnitud × (masa de aire)^-1]. La variación de la magnitud con la masa de aire es lineal:

Para determinar el coeficiente de extinción K_λ debemos observar una estrella a distintas masas de aire. Habitualmente se debe restringir el rango a X=1-2 ya que a masas de aire mayores la aproximación lineal ya no es válida. Esta medición sólo se puede hacer cuando la extinción se mantiene estable en el tiempo y en distintas direcciones durante la noche, en cuyo caso se habla de "noche fotométrica". Para que se cumpla esta condición al menos la noche debe estar totalmente despejada.
Coeficientes de extinción medidos en Las Campanas:


λ [Å]	Kλ [mag (masa de aire)-1]
3650	0.57
4450	0.29
5500	0.13
6580	0.10
8060	0.08
12000	0.11
16000	0.05
25000	0.08

Notar que la extinción disminuye fuertemente con la longitud de onda. Esto explica porqué el cielo es azul y porqué el Sol se enrojece a la puesta.

Sección 4. Magnitudes de banda ancha y colores Lectura Obligatoria:
Lectura Sugerida: Gutiérrez & Moreno (Sección 3.1)
Idealmente uno quisiera medir la distribución espectral de la fuente, pero esta medición requiere dispersar la luz y en la práctica resulta cara en tiempo de telescopio. Para evitar este problema el observador selecciona un amplio rango espectral usando un filtro y obtiene una medición del flujo promediada en dicho rango.
Ejemplos de filtros:

Filtros del sistema de Johnson y el espectro de Vega Se define la magnitud aparente de banda ancha como

en que n_λ es el flujo de fotones recibido, f_λ es el flujo de energía y S_λ es la función de transmisión del filtro.
Notar que en la mayoría de los textos se omite el factor λ/hc, lo cual es incorrecto ya que los detectores detectan fotones y no energía.
Tomado en cuenta la ley del inverso del cuadrado:

la magnitud aparente es:

La magnitud absoluta se define como la magnitud aparente que tendría la fuente a una distancia de 10 pc:

La diferencia entre la magnitud aparente y la magnitud absoluta depende sólo de la distancia a la fuente y se denominamódulo de distancia:

La diferencia de magnitud entre dos filtros se denomina índice de color o simplemente color:

Por ejemplo el color B-V es la diferencia entre la magnitud azul y la magnitud visual:

Notar que el color es independiente de la distancia. Es una muy buena medida de la forma del espectro y, por lo tanto, de la temperatura de la fuente. Mientras mayor sea la temperatura mayor es el color. Objetos más rojos tienen índices de color mayores.
Considerando los efectos de absorción interestelar, la relación entre la magnitud observada y la magnitud sin extinción es:

El color observado y el color intrínseco se relacionan de este modo:

La diferencia entre el color observado y el color intrínseco se denomina exceso de color:

de modo que:

Como A_B es mayor que A_V E(B-V) es positivo. El índice de color aumenta y la fuente se hace más roja.

Sección 5. Razón señal a ruido (S/N) Lectura Obligatoria: R. Smith (sección 3.5)
Lectura Sugerida:
En una medición del brillo de una fuente las dos fuentes principales de incerteza son el brillo del cielo y el ruido.
Los principales elementos que contribuyen al brillo del cielo son: la Luna, el Sol (especialmente durante los crepúsculos, líneas de emisión del cielo nocturno, contaminación lumínica de las ciudades, luz zodiacal, polvo interestelar, fuentes difusas débiles, emisión térmica del suelo (T=300K), transmisiones de radio y TV.
Todas estas fuentes de radiación contaminan la señal de las fuentes astronómicas, especialmente las fuentes débiles.
El ruido puede provenir del instrumento (movimientos térmicos en el detecttor) o de variaciones intrínsecas de la fuente debido a la naturaleza discreta de la detección de fotones. En esta figura se ilustra esquemáticamente la detección de una estrella, el ruido, y el cielo.

Si designamos como S la intensidad de la señal sobre el cielo y como N la amplitud de la intensidad del ruido al menos necesitamos S/N>1 para detectar el objeto. La cantidad (S/N) se denomina razón señal a ruido y es el parámetro que limita nuestra capacidad de detección y la incerteza en la medición.
Contrariamente a lo pudiéramos pensar la intensidad de la fuente S c/r al fondo del cielo B (S/B), no es el factor limitante para la detección sino la razón S/N, tal como se ilustra en esta figura:

A continuación calcularemos cómo varía S/N en función del tiempo de exposición. Si S es la tasa de fotones de la fuente (fotones/segundo) y B es la tasa de fotones del cielo (fotones/segundo), podemos usar una apertura que incluya a toda la fuente para medir S+B:

La señal medida a través de la apertura centrada en torno al objeto es:

Es importante elegir la apertura suficientemente grande para incluir toda la luz de la fuente, pero suficientemente pequeña para no contaminarla excesivamente con luz de cielo. Para restar B tenemos que usar otra apertura de igual tamaño cercana al objeto.
En la práctica las observaciones se realizan integrando fotones durante un tiempo t, gastando una fracción f en la fuente y (1-f) en el cielo. Luego:

En cada segundo de tiempo acumulamos M y B cuentas en cada apertura, cuyos errores son:

Al integrar más tiempo logramos mejorar la precisión. Por ejemplo, en un tiempo ft acumulamos Mtf fotones con un error √Mtf. Así, nuestra estimación de M es:

La incerteza en M disminuye con la raíz cuadrada del tiempo de exposición. En un tiempo t tenemos:

Lo que buscamos es S=M-B, cuyo error es:

En un tiempo t:

Podemos minizar el error en S en función de f:

lo cual da:

Para fuentes señales fuertes (M>>B), f~1. Para señales debiles (B~M), f~1/2.
La razón señal a ruido es:

Para el valor óptimo de f podemos calcular el tiempo de exposición requerido para alcanzar una cierta (S/N):

Para una cierta fuente el tiempo requerido para alcanzar una cierta S/N aumenta con el cuadrado de S/N.
Para señales fuertes (M>>B), el tiempo para alcanzar un cierta (S/N) es proporcional a 1/M.
Para señales débiles M>>S(=M-B) y M≈B → t∝B/S² para un (S/N) dada. Por lo tanto, toma mucho tiempo obtener buena precisión en fuentes débiles superpuestas en un cielo brillante.