Apuntes de Astronomía observacional

Conceptos de Optica Geométrica

Sección 1. Rayos y lentes
La Ley de Snell relaciona las direcciones de la onda electromagnética incidente, reflectada y refractada al incidir sobre una superficie plana que divide dos medios de diferente índices de refracción.



Consideremos una fuente de luz el el punto O y una superficie cóncava esférica reflectante, cuyo ápex V esta a una distancia o de la fuente.
Sigamos la trayectoria de dos rayos que emanan de O, uno que pasa por el centro de la esfera y que incide en V, y el otro que incide en A. Para el rayo sobre el eje, θ_i=θ_r=0. Para el rayo OAI, θ_i=-θ_r=θ.Usando el hecho que la suma de los ángulos de un triángulo es π:
α + θ = βα + 2θ = γ de donde se elimina θ:
α + γ = 2β para cualquier rayo que se refleje en el espejo.
Aproximacion "on-axis" de ángulos pequeños (rayos paraxiales):

en que "r" es el radio de la esfera. Insertando éstas en la ecuación previa, obtenemos una fórmula que da la ubicación "i" de la intersección de los dos rayos (independiente de la posición del punto A):



• Todos los rayos se enfocan en el mismo punto I sobre el eje, siempre que la aproximación de ángulos pequeños sea válida. En general un espejo esférico no enfoca en un punto pero sobre una línea.
• Se forma una imagen real (detector detecta imagen)
• Para una fuente lejana (o>>r) los rayos se enfocan a una distancia f desde el ápex, llamada distancia focal.

En general,

Consideremos ahora un espejo convexo esférico:

Sigamos la trayectoria de dos rayos que emanan de O, uno dirigido al ápex V de la esfera, y el otro que incide en A. Usando el hecho que la suma de los ángulos de un triángulo es π:
α + β = θα + γ = 2θ Restrigiéndonos a ángulos paraxiales, obtenemos

El observador verá que los rayos reflejados divergen formando una imagen virtual en el punto I. Para el espejo convexo cambia el signo de "r" e "i".Se pueden combinar ambas fórmulas introduciendo la convención de signos: distancias positivas medidas desde el apex (V) a la izquierda y distancias negativas medidas desde el apex (V) a la derecha

• o > 0 para espejos convexos y concavos
• i,r > 0 para objetos reales
• i,r < 0 para objetos virtuales
Ecuación de espejo o lente delgado:

Esta fórmula se puede generalizar para dos medios con índices de refracción n₁ y n₂:
Consideremos un lente biconvexo: dos superficies esféricas cuyos ápices están separadas por una distancia "d":

Para la primera superficie se forma una imagen I (en ausencia de la segunda superficie) de acuerdo a:

Para la segunda superficie se forma una imagen I' de acuerdo a:
En la aproximación de lente delgado, d << o',i, entonces o'=-i (el signo menos se debe a que la imagen I es virtual para la segunda superficie) con lo cual:
Combinando las ecuaciones de las dos superficies se obtiene:
La distancia focal se obtiene en el límite o→∞
Para el caso n₁=1 esta ecuación se conoce como la fórmula de lentes. Usando la definición anterior de distancia focal obtenemos la ecuación de lente delgado:
Ejemplo 1: Objeto ubicado a 2f₁ del lente con distancia focal f₁. Al otro lado hay espejo concavo (f₂) a distancia 2(f₁+f₂). La posición de la imagen final está en i₃=2f₁.Ejemplo 2: Dos lentes delgados en el vacío con f₁ y f₂ separados por distancia d. Cuando d=0, f=f₁f₂/(f₁+f₂).

Sección 2. Secciones cónicas
La mayoría de los espejos que se usan en telescopios tienen formas geométricas que se pueden generar a partir de la rotación de secciones cónicas alrededor de su eje de simetría.

• Parábola: y=ax², un foco en f=1/4a desde el ápex. Al rotar la parábola se obtiene un paraboloide. La ventaja de los paraboloides es que todos los rayos paralelos al eje se enfocan "on-axis" en el foco, independiente de la distancia del rayo al eje.
• Hipérbola: x²/a² - y²/b² = 1, tiene dos focos en f=c+a y f=c-a, en que c=√a²+b². Al rotar alrededor del eje mayor que contiene los dos ápices, se genera un hiperboloide. Los espejos hiperboloides reflejan la luz que convergería en un foco y la hace converger al otro foco. En primera aproximación se puede usar la ecuación de lente delgado para cónicas.
  
  Sección 3. Modelos de telescopios refractores
  El telescopio refractor tiene dos lentes biconvexas y data de 1609. El lente de entrada es el "objetivo" y tiene una distancia focal f₀. El lente de salida se llama "ocular" y tiene una distancia focal f_e. En el modelo Kepleriano el objetivo enfoca las imagenes en el "plano focal" y el ocular produce un haz paralelo de salida.
    Escala de imagen (S): Número de segundos de arco por cada milímetro en el plano focal. Para un sistema óptico de distancia focal f (en milímetros), la escala en unidades de (arsec/mm) es:
  Campo de visión (FOV): Es el ángulo sólido de observación del cielo que registra un detector adosado a un telescopio. Si el área del detector se expresa en mm², el FOV en arcsec² es:
  Magnificación (M): Razón entre el ángulo de salida del telescopio β que forman dos rayos que entran al telescopio desde dos puntos del cielo separados por un ángulo α.
  La razón focal (F): Razón entre distancia focal y diámetro del espejo o lente.
  
  Telescopios con baja razón focal se denominan "rápidos" porque dispersan poco la luz en el plano focal (escala de imagen grande), la magnificación es baja, y arrojan imágenes brillantes. Tienen gran campo de visión (FOV).
  Los telescopios refractores sufren de aberración cromática debido a que el índice de refraccción del lente depende de la longitud de onda.
  
  Otros problemas: El objetivo se debe afirmar de sus bordes y tiende a curvarse, el tubo óptico aumenta con la distancia focal, el objetivo no permite observaciones UV. Por estas razones, los telescopios modernos son reflectores.
  Sección 4. Modelos de telescopios reflectores
  El primer telescopio óptico se atribuye a Newton (1668). El elemento principal es un espejo parabólico (vidrios aluminizado) que enfoca todos los rayos de una fuente en un mismo punto.
  Telescopio primario: Uno solo espejo paraboloide que enfoca en el foco primario. Tiene una razón focal baja que da un campo de visión grande pero una escala de imagen grande. El observador tenía que trabajar en una jaula colgada del telescopio!
  Telescopio Newtoniano: Espejo paraboloide primario + espejo plano. La luz es deflectada hacia el costado del telescopio por un espejo plano sin cambiar la razón focal. Es conveniente para la observación visual, pero muy inconveniente para grandes telescopios debido a que el instrumento queda fuera del eje y desbalancea el telescopio.
  Telescopio Cassegrain: Espejo paraboloide primario + espejo hiperboloide secundario. El espejo hiperboloide refleja la luz de vuelta hacia el primario, pasa a traves de un hoyo y la luz se enfoca en uno de los focos de la hiperbola (como si proviniera del otro foco de la hiperbola). El plano focal queda ubicado debajo del primario, convenientemente ubicado sobre el eje para poner un instrumento. En esta configuración el haz de luz se dobla sobre si mismo logrando aumentar la razón focal con respecto al telescopio primario, sin agrandar el tubo (ni la cupula), logrando una mejor escala.
  Telescopio Coudé: Esta es una configuración Cassegrain con un tercer espejo plano que saca la luz al costado del tubo óptico, y un cuarto espejo que la desvía hacia un cuarto aledaño en donde se sitúa un espectrógrafo estacionario. Se puede agrandar la razón focal y obtener espectros de alta resolución. Este sistema ha sido reemplazado por espectrógrafos echelle.
  
  Los telescopios reflectores no sufren de la aberración cromática que afecta a los refractores. Sin embargo sufren de otras aberraciones.
• Aberración esferica: Esto ocurre cuando se utilizan superficies esféricas en que los rayos de luz más alejados del eje óptico se enfocan más cerca del espejo que los rayos más cercanos al eje. La cámara Schmidt cuenta con un espejo esférico que permite una distancia focal pequeña (F=R/2), un gran campo de visión (ideal para surveys). La aberración esférica se corrije con un lente corrector en la entrada del telescopio.
• Coma: Esta aberración se debe a que los rayos que los objetos fuera del eje óptico (off-axis) forman un ángulo con el eje. El efecto aumenta a medida que nos alejamos del eje óptico produciendo una imagen de aspecto cometaria.  
• Astigmatismo: Esta aberración también se debe a rayos que forman un ángulo con el eje cuando la curvatura horizontal del sistema óptico difiere de su curvatura vertical.
  Sección 5. Monturas de telescopios El propósito de la montura es sostener el telescopio y que éste pueda apuntar a cualquier punto del cielo. Para esto la montura debe poder rotar alrededor de dos ejes perpendiculares. Hay dos esquemas:
  Montura ecuatorial o polar: Uno de los ejes de la montura está alineado con el eje de rotación de la Tierra apuntando hacia el polo celeste y permite mover en ascencion recta en la direccion E-W. El eje ortogonal ecuatorial de rotación permite mover en declinacion en la direccion N-S. La ventaja es que se requiere sólo de un movimiento en el eje polar para seguir los objetos durante la exposición.
    Montura alt-az: Rota alrededor de un eje horizontal y de un eje vertical. El ángulo entre el eje del telescopio y la horizontal es la altura o elevación. El ángulo entre el eje del telescopio y la proyección sobre la horizontal del eje del telescopio hacia el norte. La principal ventaja es que se flecta menos que una montura ecuatorial y es más compacta. Las desventajas son: 1) hay que tener mecanismos de movimiento en altura y azimut a velocidades variables para seguir un objeto; 2) el campo de visión rota alrededor del eje óptico con respecto al detector, por lo que se requiere de un mecanismo para rotar el instrumento durante la observación.