viernes, 17 de marzo de 2017

Estudios y ejercicios de Física aplicada

Aceleración en un tramo rectilíneo

1 Enunciado

La longitud de la recta principal del circuito de Monza mide 1.3 km. Un Ferrari entra en la recta a 260 km/h y acelera durante 0.8 km hasta alcanzar 340 km/h. Mantiene esta velocidad hasta estar a 150 m de la primera chicane, a la que llega a 80 km/h. Un Red Bull entra en la misma recta a 280 km/h, acelera hasta 320 km/h durante 0.5 km y frena al llegar a 120 m de la chicane, en la que entra a 90 km/h.
Suponiendo que las aceleraciones son constantes en cada uno de los tramos
  1. Determine las aceleraciones de los dos vehículos en cada uno de los tramos. Exprese los resultados como múltiplos de g.
  2. Calcule la velocidad media de cada uno. ¿Cuál tarda menos en recorrer la recta?
  3. Represente las gráficas de velocidad frente a la posición y frente al tiempo.

2 Aceleraciones

A la vista de este problema, la tentación es pensar que la gráfica de la velocidad de uno de los coches respecto a la posición tiene una gráfica del estilo de la siguiente:
Archivo:vdet-f1-inc.png
y que la aceleración es la pendiente de cada tramo. Esto es doblemente incorrecto:
  • La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, no respecto a la posición.
  • No sabemos todavía como depende la velocidad de la posición. Aceleración constante no quiere decir que la gráfica v(x) sea una recta (no lo es).
Para obtener la aceleración en un movimiento uniformemente acelerado, aplicamos las dos relaciones
\begin{array}{rcl} x & = & \displaystyle x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a t^2 \\ v & = & v_0 + a t \\ \end{array}
Si elevamos al cuadrado la segunda nos queda
v^2 = v_0^2 + 2v_0at + a^2 t^2 = v_0^2 + 2a\left(v_0t + \frac{1}{2}at^2\right)= v_0^2+2a(x-x_0)
Despejando de aquí
a = \frac{v^2-v_0^2}{2(x-x_0)}
Llevando esto al límite obtenemos la relación general
a = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(v^2)
esto es, en un movimiento uniformemente acelerado se obtiene una recta en la gráfica de v2 frente a x, no en la de v(x).
Podemos aplicar esta fórmula a los diferentes casos indicados en el enunciado:
Ferrari
En el primer tramo tenemos
v_0 = 260\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 72.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        v_1 = 340\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 94.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        x_1-x_0 = 800\,\mathrm{m}
lo que nos da la aceleración
a_1 = \frac{v_1^2-v_0^2}{2(x_1-x_0)}=2.31\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.24\,g
En el segundo tramo, en que el movimiento es uniforme, la aceleración es nula.
a_2 = 0.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
En el tercer tramo operamos del mismo modo
v_2 = v_1 = 94.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        v_3 = 80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 22.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        x_3-x_2 = 150\,\mathrm{m}
y nos queda la aceleración
a_3 = \frac{v_3^2-v_2^2}{2(x_3-x_2)}= -28.1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = -2.86\,g
Vemos que la aceleración es mucho más intensa en la frenada que en el tramo acelerado.
Red Bull
Operando igualmente, en el primer tramo tenemos
v_0 = 280\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 77.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        v_1 = 320\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 88.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        x_1-x_0 = 500\,\mathrm{m}
y queda la aceleración
a_1 = \frac{v_1^2-v_0^2}{2(x_1-x_0)}=1.85\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.19\,g
En el segundo tramo la aceleración es nula.
a_2 = 0.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}
y en el tercer tramo vale
v_2 = v_1 = 89.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        v_3 = 90\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 25.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}        x_3-x_2 = 120\,\mathrm{m}
a_3 = \frac{v_3^2-v_2^2}{2(x_3-x_2)}= -30.3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = -3.10\,g

3 Velocidad media

La velocidad media se define como la distancia total recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla
v_m = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}
En este caso, conocemos cuál es la distancia recorrida por los dos pilotos, pero aun no conocemos el tiempo empleado en recorrerla.
En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, si conocemos el incremento de velocidades, podemos obtener el tiempo en recorrer un tramo como
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \frac{\Delta v}{a}
Sustituyendo la expresión de la aceleración obtenemos en función de las posiciones y la distancia
\Delta t = \frac{x_1-x_0}{(v_0+v_1)/2}
En un movimiento uniforme, simplemente
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \frac{\Delta x}{v}
que es un caso particular de la anterior para v0 = v1.
Esto nos da para el Ferrari
\Delta t_1 = \frac{x_1-x_0}{(v_0+v_1)/2} = 9.60\,\mathrm{s}        \Delta t_2 = \frac{x_2-x_1}{v_1}=\frac{350\,\mathrm{m}}{94.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=3.71\,\mathrm{s}        \Delta t_3 = \frac{x_3-x_2}{(v_3+v_3)/2} = 2.57\,\mathrm{s}
En total
\Delta =\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3 = 15.88\,\mathrm{s}
La velocidad media de este coche es igual a
v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1300\,\mathrm{m}}{15.88\,\mathrm{s}}=81.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=294.8\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
Operando del mismo modo para el Red Bull obtenemos
\Delta t_1 = 6.00\,\mathrm{s}\qquad \Delta t_2 = 7.65\,\mathrm{s}\qquad\Delta t_3 = 2.1\,\mathrm{s}
y en total
\Delta t = 15.75\,\mathrm{s}
siendo la velocidad media
v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1300\,\mathrm{m}}{15.75\,\mathrm{s}}=82.5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=297.0\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
Vemos que aunque el Red Bull posee menor velocidad punta y menor aceleración, realiza el trayecto en una décima menos que el Ferrari. Las claves son
  • Posee mayor velocidad en las curvas, esto es, parte y acaba con mayor velocidad que el coche rojo.
  • Recorre una mayor distancia a la velocidad punta.

4 Gráficas


4.1 Frente al tiempo

Si representamos la velocidad frente al tiempo obtenemos en cada caso una línea quebrada, primero ascendente, luego horizontal y por último descendente
Archivo:vdet-f1.png
Si representamos la posición frente al tiempo para ambos monoplazas obtenemos una combinación de rectas y arcos de parábola, muy próximas. Si incluimos la distancia entre los dos coches, vemos que el Ferrari llega a alcanzar al Red Bull, pero en la frenada lo pierde,
Archivo:xdet-f1.png        Archivo:dxdet-f1.png

4.2 Frente a la posición

La gráfica de la velocidad frente a la posición no es una línea recta, salvo en el caso del movimiento uniforme.
Para un movimiento uniformemente acelerado obtenemos la expresión correcta despejando en la ecuación que escribimos más arriba
v = \sqrt{v_0^2+2a(x-x_0)}
Si lo que conocemos es la velocidad en dos puntos
v = \sqrt{v_0^2+(v_1^2-v_0^2)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}}
Llevando esto a la gráfica nos queda lo siguiente
Archivo:vdex-f1.png
El primer tramo parece recto, pero presenta una ligera curvatura. En el tercer tramo, donde la aceleración es mucho mayor, la curvatura es más visible.
http://laplace.us.es/wiki/index.php
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