Polígonos

 polígono alabeado (en inglés: skew polygon) es un polígono cuyos vértices no se encuentran en un mismo plano. Los polígonos alabeados tienen al menos cuatro vértices.

Un polígono alabeado se dice que es regular si todos sus lados son de igual longitud y todos sus ángulos de igual amplitud.

La superficie interior o área del polígono no está definida unívocamente, y más bien puede ser considerada como un problema de la superficie mínima, tal como ocurre con la forma de una película de jabón dentro de un aro de alambre.

Un ejemplo de un cuadrilátero alabeado regular, con lados de igual longitud y vértices opuestos fijos en las caras opuestas de un paralelepípedo rectangular. Su superficie sólo puede ser definida por interpolación bilineal de los cuatro vértices y lados. Se muestran los cuatro lados iguales en azul y las cuatro diagonales, también de igual longitud, en verde.

cuadrilátero alabeado es la unión de cuatro segmentos AB, BC CD,DA, tal que los puntos A, B, C, D ( en ese orden) son cuatro puntos no coplanarios del espacio. A estos puntos llamamos vértices del cuadrilátero y a los segmentos anteriores lados del cuadrilátero.

272 exámenes de física resueltos aquí en ésta web : https://books.google.es/books?id=lWX1naEgN4EC&pg=PA9&lpg=PA9&dq=Pol%C3%ADgono+alabeado&source=bl&ots=jxchWMZMNP&sig=1V-uS_Cnx1oKrl-d89ISFIxswFQ&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiKjObLup3XAhWHxRQKHcF-D5QQ6AEITDAJ#v=onepage&q=Pol%C3%ADgono%20alabeado&f=false

polígono construible es un polígono regular que puede ser construido con regla y compás. Por ejemplo, un pentágono regular es construible con regla y compás mientras que un heptágono regular no lo es.

El problema es equivalente a dividir un círculo en partes iguales, lo que se conoce como ciclotomía.

Condiciones de constructibilidad[editar]

La construcción de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados así como la de los polígonos obtenidos de los anteriores multiplicando el número de lados por una potencia de dos era conocida ya desde Euclides. Sin embargo no se había encontrado aún un método para construir ningún otro polígono regular, como el heptágono, ni siquiera se sabía si tal método existía.

El primer avance significativo lo consiguió 2000 años después en 1796 Gauss quien demostró que el polígono regular de 17 lados o heptadecágono era construible con regla y compás.²​ Cinco años más tarde desarrolló la teoría de los periodos gaussianos en su libro Disquisitiones arithmeticae. Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de los polígonos regulares:

[...] a fin de poder dividir geométricamente el círculo en N partes, N debe ser 2 o una potencia más alta de 2, o un número primo de la forma 2^m + 1, o el producto de varios números primos de esta forma, o el producto de uno o varios de tales números primos por 2 o por una potencia más alta de 2. En resumen, se requiere que N no incluya factores primos impares que no sean de la forma 2^m + 1 ni algún factor primo de la forma 2^m + 1 más que una vez.

Gauss³​

Gauss conjeturó que esta condición era también necesaria, pero no dio ninguna prueba de esta afirmación. Una demostración completa fue dada por Wantzel (1837).⁴​

A los números primos de la forma 2^m + 1 se les conoce como números primos de Fermat.⁵​ Los únicos primos de Fermat conocidos son:

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, y F₄ = 65537 (sucesión A019434 en OEIS)

Por lo tanto los polígonos regulares construibles con regla y compás son aquellos que tienen un número de lados igual a:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, … (sucesión A003401 en OEIS),

mientras que los polígonos regulares no construibles con regla y compás son aquellos que tienen un número de lados igual a:

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, … (sucesión A004169 en OEIS).

Ejemplos[editar]

Las construcciones del triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono regular, el hexágono regular y el pentadecágono regular eran conocidas desde la antigüedad.⁶​

A partir de los polígonos anteriores es posible construir un polígono regular con el doble de lados biseccionandocada ángulo interior. Por ejemplo, puede construirse un octógono regular a partir del cuadrado.

El heptágono regular no puede ser construido con regla y compás⁷​ pues 7 no es un número primo de Fermat. Tampoco puede ser construido un eneágono regular pues 9 tiene como divisores dos números primos de Fermat iguales.

El heptadecágono o polígono regular de 17 lados puede ser construido con regla y compás⁸​ por ser 17 un número primo de Fermat.

También pueden ser construidos los polígonos regulares de 257 (La primera construcción fue hecha por Richelot (1832)⁹​⁴​) y de 65537 lados (la primera construcción fue hecha por Johann Gustav Hermes siendo comunicada su existencia en 1894¹⁰​).

Aclaraciones[editar]

Una cuestión usualmente pasada por alto sobre las construcciones con regla y compás es que para muchos polígonos, las construcciones son irrealizables usando reglas y compases "reales". Por ejemplo, se ha mostrado que es "posible" construir un polígono regular de 65537 lados usando sólo esas herramientas. Sin embargo, si fueramos a hacerlo con lados de 1 cm de longitud, el polígono deberá ser de más de 200 m de diámetro, y los radios de las circunferencia inscrita en el polígono y de la circunferencia que lo inscribe diferirían en menos de 0,25 micrómetros -- aproximadamente la longitud de onda de la luz ultravioleta. Se precisaría una cámara ultravioleta para distinguir entre este polígono y un círculo, sin mencionar lo afilado del lápiz necesario para dibujarlo. La construcción en cualquier caso sería extremadamente compleja, y es sólo de interés teórico.

Otra cuestión habitualmente dejada de lado es que aun los polígonos "no construibles" pueden ser construidos, si basta con un aproximación al polígono deseado, más que con una representación exacta. En realidad, con reglas y compases reales sostenidos por manos reales y dibujados en papel real, lo mejor que se puede lograr son aproximaciones aún para los así llamados polígonos "construibles". Un ejemplo que ilustra esto claramente es la siguiente construcción simple de un heptágono regular:

• Use el compás para dibujar un círculo.
• Escoja un punto B en el círculo.
• Sin ajustar el compás, coloque el compás en el punto B, y marque dos puntos A y C en el círculo (en lados opuestos de B).
• Bisecte la cuerda AC, para encontrar el punto medio D.
• Ajuste el compás a la distancia AD.
• Use la distancia del compás para marcar 7 puntos alrededor del círculo original.

Este procedimiento construirá un heptágono regular con la precisión de un lápiz típico. Si el radio del círculo es de 50 mm, la distancia AD será de 43,301 mm. Los lados de un heptágono regular deberían ser de 43,388 mm, una diferencia de menos de 0,1 mm. Muy pocos estudiantes, o aún dibujantes técnicos, tienen lápices o compases con puntas tan aguzadas como esa.

 polígono convexo es un polígono en el que cada uno de los ángulos interiores miden a lo sumo 180 grados o ${\displaystyle \pi }$ radianes.^{[cita requerida]} Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina Polígono cóncavo.

Los polígonos convexos presentan una gran cantidad de propiedades matemáticas que los hace especialmente útiles en la resolución de problemas de geometría, geometría computacional e informática gráfica.

Todos los triángulos son polígonos convexos, salvo los triángulos degenerados. Todos los polígonos regulares son convexos, salvo los polígonos estrellados regulares.

Propiedades de los polígonos convexos[editar]

El cierre convexo de una serie de puntos es siempre un polígono convexo

Triangulación en abanico de un polígono convexo, empleando las diagonales de un vértice.

Las siguientes propiedades de un polígono simple son equivalentes a la condición de convexidad:

• Todos sus ángulos internos son menores o iguales a 180 grados.
• Todo segmento cuyos extremos estén en el interior o la frontera del polígono es interno al polígono.
• Todas sus diagonales son internas al polígono (consecuencia de la propiedad anterior).
• El interior del polígono está completamente contenido en el semiplano definido por la recta soporte de cada uno de sus lados.
• El interior del polígono está completamente contenido en la región angular interior del ángulo de cada uno de sus vértices.
• El polígono coincide con el cierre convexo de sus vértices.
• Todo polígono simple y cíclico, es decir, aquellos polígonos cuyos vértices tocan todos a su circunferencia circunscrita, son convexos. Sin embargo, no todos los polígonos convexos son cíclicos.
• Todo polígono simple y regular son convexos. La condición de polígono simple es necesaria porque existen polígonos estrelladosregulares.

Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:

• La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
• Todos los polígonos convexos son monótonos.
• La suma de los ángulos de un polígono convexo de ${\displaystyle n}$ lados es ${\displaystyle (n-2)\cdot \pi }$ radianes.¹​
• El número de diagonales de un polígono de n lados es:${\displaystyle N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}$.
• En toda colección de al menos 3 polígonos convexos: si la intersección de cada 3 de ellos es no vacía, entonces la intersección de toda la colección es no vacía (Teorema de Helly).
• Un polígono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vértices, sin necesidad de conocer el orden de los mismos (Teorema de Krein-Milman). Esto es consecuencia de que unpolígono convexo equivale al cierre convexo de sus vértices.
• Para cualquier par de polígonos convexos cuya intersección sea vacía, puede trazarse una recta que los separa.
• De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo de área maximal cuyos vértices son todos vértices del polígono.²​
• Todo polígono convexo con área ${\displaystyle A}$ puede ser inscrito en el interior de un triángulo de área menor o igual a ${\displaystyle 2A}$. El área será ${\displaystyle 2A}$ únicamente si el polígono es un paralelogramo.³​
• El diámetro medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por ${\displaystyle \pi }$. Así que su diámetro medio es igual al diámetro de una circunferencia del mismo perímetro que el polígono⁴​
• Para todo polígono convexo ${\displaystyle C}$, podemos inscribir dentro un rectángulo ${\displaystyle r}$ tal que una copia homotética de ${\displaystyle r}$, llamada ${\displaystyle R}$, será circunscrita a ${\displaystyle C}$ y la razón de homotecia será menor o igual a 2, y además ${\displaystyle 0.5{\text{ × area}}(R)\leq {\text{area}}(C)\leq 2{\text{ × area}}(r)}$.