Polígonos

pentágono (del griego πεντάγωνον, de πέντε pénte "cinco" y γωνία gōnía "ángulo") a un polígono de cinco ladosy cinco vértices.

Un pentágono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes.

• Cada ángulo interno mide 108 grados o ${\displaystyle 3\pi /5}$ radianes.

• Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º.

Propiedades[editar]

Área[editar]

${\displaystyle A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1,72048a^{2}}$ donde ${\displaystyle a}$ es la longitud del lado.

De forma general si tenemos que el radio de la circunferencia circunscrita es r_u

${\displaystyle A={\frac {5}{8}}\cdot r_{u}^{2}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$

o también:

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin {72^{\circ }}}$

Perímetro[editar]

Siempre que supongamos que el pentágono tiene lado a:

${\displaystyle a=2\cdot r_{u}\cdot \cos 54^{\circ }}$

o también:

${\displaystyle a=r_{u}\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}$

Para obtener el perímetro P de un pentágono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por cinco (el número de lados n del polígono).

${\displaystyle P=n\cdot t=5\ t}$

Fórmula para calcular los ángulos interiores[editar]

La suma de los ángulos internos de un pentágono es de 540°.

La fórmula general para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono regular (en el caso del pentágono n = 5) es:

${\displaystyle \sum {\alpha =}(n-2)\cdot 180^{\circ }=3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}$

El ángulo comprendido entre dos lados de un pentágono regular se puede calcular mediante la siguiente fórmula (en el pentágono, n = 5):

${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }}$

Construcción de un pentágono regular[editar]

Secuencia gráfica usando regla y compás

Podemos construir con regla y compás un pentágono regular, inscrito en una circunferencia (véase la figura) de la siguiente manera:

Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.

Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.

Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.

Relaciones geométricas del pentágono regular[editar]

Relación con el número áureo[editar]

Pentagrama y pentágono

Veamos que la razón entre un segmento que una dos de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón aúrea o número áureo, por ejemplo que

${\displaystyle CE=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)CD}$

Por simetría, los segmentos CE y CA son iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que

${\displaystyle {\frac {MC}{AN}}={\frac {FC}{AF}}}$

Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es la mitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto

${\displaystyle {\frac {CE}{CD}}={\frac {CD}{CE-CD}}={\frac {1}{CE/CD-1}}}$

Sustituyendo CE/CD por ${\displaystyle \varphi }$ tenemos

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\varphi -1}}\qquad \,(1)}$

en otras palabras ${\displaystyle \varphi -1={\frac {1}{\varphi }}}$. Esta ecuación describe la razón dorada. ${\displaystyle \varphi }$ es el único número positivo que cuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.

De la discusión anterior se desprende: Si en un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base vale 108°, la razón de la base del triángulo y uno de los otros lados es la razón dorada.

Algunas consideraciones sobre triángulos[editar]

Consideremos a un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita a dicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia el ángulo AOB mide 360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que

1. La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferencia es la razón dorada
2. ${\displaystyle \angle BMO=(180^{\circ }-108^{\circ })/2=72^{\circ }/2=36^{\circ }}$

Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio OM y el segmento PM es la razón dorada. Finalmente, el triángulo OBP también es isósceles, con lo que PB = OB ( =OM). Tenemos :${\displaystyle {\frac {PM}{OM}}={\frac {1}{\varphi }}={\frac {MB-PB}{OM}}=\varphi -1}$

Lo anterior se puede interpretar como una demostración geométrica de la ecuación (1).

pentadecágono es un polígono de 15 lados y 15 vértices.

Propiedades[editar]

Un pentadecágono tiene 90 diagonales, resultado que se puede tener aplicando la ecuación general para deteminar el número de diagonales de un polígono, ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$; siendo el número de lados ${\displaystyle n=15}$, tenemos:

${\displaystyle D={\frac {15(15-3)}{2}}=90}$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier pentadecágono es 2340 grados ó ${\displaystyle 13\pi }$ radianes.

Pentadecágono regular[editar]

Un pentadecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internosiguales. Cada ángulo interno del pentadecágono regular mide 156º ó ${\displaystyle 13\pi /15}$ rad. Cada ángulo externo del pentadecágono regular mide 24º ó ${\displaystyle 2\pi /15}$ rad.

Al multiplicar la longitud t de un lado de un pentadecágono regular por quince (el número de lados n del polígono) obtendremos la longitud de su perímetro P.

${\displaystyle P=n\cdot t=15\ t}$

El área A de un pentadecágono regular de lado t es de la siguiente forma:

${\displaystyle A={\frac {15(t^{2})}{4\tan({\frac {\pi }{15}})}}\simeq 17,6424\ t^{2}}$

donde ${\displaystyle \pi }$ es la constante pi y ${\displaystyle \tan }$ es la función tangente (con el argumento en radianes).

Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {15(t)\ a}{2}}}$