Polígonos

 hexadecágono es un polígono de 16 lados y otros tantos vértices.

Propiedades[editar]

Un hexadecágono tiene 104 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para deteminar el número de diagonales de un polígono, ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$; siendo el número de lados ${\displaystyle n=16}$, tenemos:

${\displaystyle D={\frac {16(16-3)}{2}}=104}$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier hexadecágono es 2520 grados ó ${\displaystyle 14\pi }$ radianes.

Hexadecágono regular[editar]

Un hexadecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internosiguales. Cada ángulo interno del hexadecágono regular mide 157,5º ó ${\displaystyle 7\pi /8}$ rad. Cada ángulo externo del hexadecágono regular mide 22,5º ó ${\displaystyle \pi /8}$ rad.

El perímetro P de un hexadecágono regular puede calcularse multiplicando la longitud t de uno de sus lados por dieciséis (el número de lados n del polígono).

${\displaystyle P=n\cdot t=16\ t}$

El área A de un hexadecágono regular se calcula a partir de la longitud t de uno de sus lados con la siguiente fórmula:

${\displaystyle A={\frac {16(t^{2})}{4\ \tan({\frac {\pi }{16}})}}\simeq 20,1094\ t^{2}}$

donde ${\displaystyle \pi }$ es la constante pi y ${\displaystyle tan}$ es la función tangente calculada en radianes. Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {16(t)\ a}{2}}=8(t\cdot a)}$

hexagrama es una figura en forma de estrella con seis puntas, {6/2} o 2{3}, que resulta de superponer dos triángulos equiláteros. La intersección resultante es un hexágono regular.

Aunque generalmente se lo reconoce como un símbolo de identidad judía, también es utilizado en contextos históricos, religiosos y culturales, por ejemplo en el islam, y en otras religiones orientales, así como también en la magia y el ocultismo.

Orígenes y forma[editar]

Al igual que otras formas geométricas simples como el triángulo, el círculo o el cuadrado, es posible que el hexagrama haya sido creado o descubierto por diferentes personas o pueblos sin conexión entre ellos.

El hexagrama es un símbolo mandala llamado satkona yantra o sadkona yantra que se puede observar en antiguos templos hindúes del sur de la India, construidos hace miles de años.¹​²​³​ Simboliza el nara-narayana, o estado de meditación con un balance perfecto entre el hombre y la divinidad, el cual si se mantiene, da lugar al "moksha," o "nirvana" (liberación de las ataduras del mundo terrenal y sus vínculos materiales).

Otra teoría, aunque sin demasiado sustento, sobre el origen de la forma es que se puede formar con 2 de las 3 letras del nombre David: en su ortografía en hebreo, David se escribe 'D-W-D'. En el hebreo bíblico, la letra 'D' (Dalet) era escrita como una "L" invertida y al revés, pero en griego, la letra "Delta" (Δ) es un triángulo. El símbolo puede haber sido un simple identificador familiar formado rotando y yuxtaponiendo las dos letras más prominentes del nombre. En este caso la letra "W" podría interpretarse como una referencia a la operación de composición de las dos Deltas.

Algunos investigadores han teorizado en el sentido de que el hexagrama representa la carta astrológica al momento del nacimiento de David o su unción como rey. El hexagrama también es llamado la "Estrella del Rey" en círculos astrológicos.

Es posible observar en papiros antiguos figuras de pentagramas, junto con estrellas y otros signos, también se los puede encontrar en amuletos junto con los nombres judíos de Dios, y son usados para protegerse contra la fiebre y enfermedades. Curiosamente entre estos signos no se encuentra el hexagrama. También es de destacar, que en el gran papiro mágico (Wessely, l.c. pp. 31, 112) en París y Londres aunque hay veintidós signos encolumnados, y un círculo con doce signos, no se observa ni un pentagrama ni un hexagrama.

 hexágono¹​²​ o exágono (esta última versión sin "h" está en desuso, ya no está recogida en el DRAE) es un polígono de seis lados y seis vértices. Su nombre deriva del griegoἑξάγωνον (de ἕξ, "seis" y γωνία, "ángulo").

Propiedades[editar]

Un hexágono tiene:

• 6 lados.
• 9 diagonales.
• La suma de los ángulos internos de un hexágono es 720 grados ó ${\displaystyle 4\pi }$radianes.

Parhexágono[editar]

Siguiendo el hilo de un paralelogramo, un parhexágono o parexágono es aquel hexágono particular, en el que un lado es igual y paralelo a un lado opuesto, pero cada par de estos lados es de diferente tamaño.³​

Proposición[editar]

Sea ABCDEF un hexágono irregular cualquiera, se unen A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Se forman los seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada uno de ellos se localiza su baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Se unen sucesivamente dichos puntos, el hexágono A'B'C'D'E'F' es un parhexágono.⁴​

Hexágono regular[editar]

Medidas del hexágono

El hexágono regular es un polígono convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales.

El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:

• Sus ángulos internos son congruentes midiendo 120° ó ${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$ rad. Resultado de ${\displaystyle A_{i}={\frac {180(6-2)}{6}}}$
• Cada ángulo externo del hexágono regular mide 60° ó ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$ rad.
• Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
  • Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
  • Numérense los vértices de 1 a 6 en el sentido horario. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
• Además de los cuadrados y los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares congruentes (o iguales) son los terceros polígonos regulares que se pueden juntar para revestir totalmente una superficie plana sin dejar ningún vano.
• Las seis raíces sextas de 1 o los números complejos que resuelven la ecuación ${\displaystyle z^{6}-1=0}$ están en los vértices de un hexágono regular ubicado en el plano complejo, siendo el primer vértice el punto (1,0).⁵​

• Un hexágono regular es inscriptible y circunscribible en una circunferencia. Caben las igualdades:

${\displaystyle l_{6}=r{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$, r es el radio del círculo inscrito.

${\displaystyle l_{6}=R}$, R es el radio del círculo circunscrito.

${\displaystyle r={\frac {R}{2}}{\sqrt {3}}={\frac {l_{6}}{2}}{\sqrt {3}}}$⁶​

• Las perpendiculares trazadas por los puntos medios del hexágono regular y las bisectrices de los ángulos internos del hexágono regular son ejes de simetría del mismo.⁷​

Perímetro[editar]

Su perímetro es seis veces la longitud de su lado.

${\displaystyle P=n\cdot l_{n}=6\ l_{6}}$, donde n es el número de lados y ${\displaystyle l_{n}}$, la longitud del lado.

Área[editar]

Área del hexágono regular

Si se conoce la longitud del apotema a₆ del polígono, una alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a_{p}}{2}}={\frac {6l_{6}\cdot a_{p}}{2}}=3l_{6}\cdot a_{p}}$

o

${\displaystyle A=2{\sqrt {3}}\cdot a_{p}^{2}}$

Si solo conocemos el lado l₆ podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

${\displaystyle A=l_{6}^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$, que equivale a las áreas de seis triángulos equiláteros que se obtienen al unir el centro con los seis vértices.

Construcción geométrica[editar]

Construcción geométrica de un hexágono regular.

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

1. Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;
2. Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;
3. Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;
4. Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E

En la naturaleza[editar]

Los panales están construidos con formas hexagonales.

Hexágono de Saturno.

La Francia continental o parte metropolitana de Francia recibe el sobrenombre de Hexágono (l'Hexagone en francés), por tener una forma vagamente hexagonal.