Figuras geométricas

sombreado Gouraud es una técnica usada en gráficos 3D por ordenador que simula efectos de luz y color sobre superficies de objetos. Fue publicada por Henri Gouraud en 1971. Esta técnica de sombreado permite suavizar superficies con una carga computacional menor que con otros métodos basados en el cálculo píxel a píxel.

Polígono con sombreado Gouraud.

En primer lugar, se calculan los valores de luminosidad de cada vértice promediando los valores de las superficies que en él convergen mediante el método de reflexión de Phong. A continuación se calculan las intensidades de cada píxel de las superficies implicadas mediante interpolación bilineal a partir de los valores estimados de los vértices. De esta manera, los valores de luminosidad de los polígonos consisten en el gradiente formado por los valores de los vértices.

Los puntos fuertes y debilidades del sombreado Gouraud se deben a las interpolaciones. Interpolar la luz de una superficie completa a partir de tres valores originales que requieren bastante tiempo de computación siempre será más rápido que calcular dichos valores de luz píxel a píxel, tal como hace el sombreado Phong. Sin embargo, los efectos luminosos muy localizados (como los reflejos especulares, por ejemplo, el destello de un foco sobre una manzana) no serán representados correctamente; es más, si uno de estos efectos luminosos estuviera en alguno de los vértices del polígono representado, alteraría la interpolación de la cara completa, resultando en una representación incorrecta del modelo 3D.

Este problema puede verse claramente en la representación de un objeto rotando que al ser iluminado por un foco puntual presenta un destello localizado sobre su superficie. El destello debería desplazarse suavemente sobre la superficie del objeto mientras éste rota, pero el sombreado Gouraud provocaría un efecto similar al de una serie de disparos de flash que se extiende por varias caras poligonales del modelo. Una forma de reducir este efecto indeseado consistiría en aumentar la densidad de polígonos del modelo, o en una teselación adaptativa que incrementase la densidad de polígonos sólo en el área afectada.

Independientemente del problema mencionado anteriormente, el sombreado Gouraud supera al sombreado plano, que a pesar de requerir menos tiempo de procesado, genera superficies más afilidas en modelos formados por pocos polígonos.

Tamiz de Apolonio

Una representación simétrica delTamiz de Apolonio.

El tamiz de Apolonio (denominado también en la literatura como empaquetado de Leibniz yempaquetado apoloniano) en geometría es un fractal generado por conjuntos decircunferencias mutuamente tangentes densamente empaquetadas en una circunscrita. El nombre se debe al matemático griego Apolonio de Perga del siglo III a. C.¹ El tamiz es un fractalautosemejante que posee una dimensión de Hausdorff desconocida, pero de la que se sabe que es alrededor de 1.3057,² y que es mayor que la de una curva regular o rectificable (d = 1) pero más pequeña que la de un plano (d = 2). A pesar de su denominación, es precisamente el matemático alemán Gottfried Leibniz quien describe por primera vez el tamiz de Apolonio ya en el siglo XVII, siendo el precursor curvo del triángulo de Sierpinski del siglo XX.³

El tamiz de Apolonio también posee conexiones profundas con otros campos de las matemáticas, por ejemplo, es el conjunto límite de los grupos kleinianos,⁴ un grupo finito tipo Γ generado por la orientación y preservación de ciertos mapas en la 1-esfera  sobre . La disposición de una circunferencia tangente a cuatro circunferencias en el plano tiene propiedades especiales, que fueron clarificadas por A. Larmor en 1891⁵ y R. Lachlan en 1893.⁶ Esta disposición también es la base delteorema de Casey,⁷ que es una generalización del teorema de Ptolomeo.- ...............................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tamiz_de_Apolonio&printable=yes

Teorema de Varignon

Para el resultado sobre momentos de un sistema de fuerzas, véase Teorema de Varignon (mecánica).

Los puntos medios de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo.

El Teorema de Varignon es un resultado de geometría euclidiana debido a Pierre Varignon, publicado en 1731, y que establece:

En cualquier cuadrilátero, los puntos medios de los lados forman un paralelogramo cuya área es la mitad de la del cuadrilátero original

Al paralelogramo descrito en el teorema se le conoce como paralelogramo de Varignon.

La demostración del teorema en el caso de un cuadrilátero convexo procede de la siguiente manera:

Sean A, B, C, D los vértices del cuadrilátero y P, Q, R, S los puntos medios de sus lados.

Obsérvese que P, Q son puntos medios de dos lados del triángulo ABC y, por una consecuencia del teorema de Tales, PQ es paralela a la línea AC.

De manera similar, R, S son puntos medios de dos lados del triángulo CDAy al igual que arriba, RS es una línea paralela a la línea CA.

Pero si tanto PQ como RS son paralelas a AC, entonces son paralelas entre sí. Es decir, PQ es paralela a RS.

Un argumento similar demuestra que tanto PS como QR son paralelas a la línea BD y por tanto paralelas entre sí. Pero entonces se ha demostrado que los lados opuestos del cuadrilátero PQRS son paralelos y por tanto éste debe ser un paralelogramo.

En relación a las áreas, hay que observar que el área del triángulo BPQ es la cuarta parte del área del triángulo ABC. De manera similar, el triánguloSRD tiene la cuarta parte del área del triángulo ACD. Por tanto, la suma de las áreas de los triángulos BPQ y SRD es un cuarto del área del cuadrilátero.

Pero de manera similar, las áreas de los triángulos APS y QCR suman un cuarto del área del cuadrilátero. Esto quiere decir que si sumamos las cuatro áreas BPQ, CQR, RSD y PSA obtendremos la mitad del área del cuadrilátero y por tanto, el área del paralelogramo de Varignon debe ser exactamente igual a la mitad del área restante.

La prueba anterior puede adaptarse sin mayor problema al caso en que el cuadrilátero es cóncavo, terminando así la prueba.