TEORÍA DE TÉRMINOS DE GRAFOS

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El número cromático acíclico del gráfico de McGee es 3.

En la teoría de grafos , una coloración acíclica es una coloración de vértice (propiamente dicha) en la que cada subgrafía cromática 2 es acíclica . El número acíclico cromática A ( G ) de un gráfico G es los colores menor número necesarias en cualquier coloración acíclico de G .

La coloración acíclica a menudo se asocia con gráficos incrustados en superficies no planas.

Límites superiores [ editar ]

A ( G ) ≤ 2 si y solo si G es acíclico.

Los límites de A ( G ) en términos del grado máximo Δ ( G ) de G incluyen lo siguiente:

• A ( G ) ≤ 4 si Δ ( G ) = 3. ( Grünbaum 1973 )
• A ( G ) ≤ 5 si Δ ( G ) = 4. ( Burstein 1979 )
• A ( G ) ≤ 7 si Δ ( G ) = 5. ( Kostochka & Stocker 2011 )
• A ( G ) ≤ 12 si Δ ( G ) = 6. ( Varagani et al. 2009 )

Un hito en el estudio de la coloración acíclica es la siguiente respuesta afirmativa a una conjetura de Grünbaum:

Teorema. ( Borodin 1979 )

A ( G ) ≤ 5 si G es un gráfico plano.

Grünbaum (1973) introdujo la coloración acíclica y el número cromático acíclico, y conjeturó el resultado en el teorema anterior. La prueba de Borodin implicó varios años de minuciosa inspección de 450 configuraciones reducibles. Una consecuencia de este teorema es que cada gráfico plano puede descomponerse en un conjunto independiente y dos bosques inducidos . (Stein  1970 , 1971 )

Algoritmos y Complejidad [ editar ]

Es NP-complete para determinar si A ( G ) ≤ 3. ( Kostochka 1978 )

Coleman y Cai (1986) mostraron que la variante de decisión del problema es NP-completa incluso cuando G es un gráfico bipartito.

Gebremedhin y col. (2008) demostraron que cada coloración de vértice adecuada de un gráfico cordal es también una coloración acíclica. Dado que los gráficos cordales se pueden colorear de manera óptima en el tiempo O (n + m) , lo mismo también es cierto para la coloración acíclica en esa clase de gráficos.

Skulrattanakulchai (2004) proporcionó un algoritmo de tiempo lineal para colorear acíclicamente un gráfico de grado máximo ≤ 3 utilizando 4 colores o menos .

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Diagrama de Venn de$${\ displaystyle A \ triangle B}. La diferencia simétrica es la unión sin la intersección : $${\ displaystyle ~ \ setminus ~}  $${\ displaystyle ~ = ~} 

En matemáticas , la diferencia simétrica , también conocida como la unión disyuntiva , de dos conjuntos es el conjunto de elementos que están en cualquiera de los conjuntos y no en su intersección. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B se denota comúnmente por

$${\ displaystyle A \, \ triangle \, B,}

o

$${\ displaystyle A \ ominus B,}

o

$${\ displaystyle A \ oplus B.}

Por ejemplo, la diferencia simétrica de los conjuntos. $${\ displaystyle \ {1,2,3 \}} y $${\ displaystyle \ {3,4 \}} es $${\ displaystyle \ {1,2,4 \}}.

El conjunto de potencia de cualquier conjunto se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de diferencia simétrica, con el conjunto vacío como el elemento neutral del grupo y cada elemento en este grupo es su propio inverso . El conjunto de potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano con diferencia simétrica como la suma del anillo y la intersección como la multiplicación del anillo.

Propiedades [ editar ]

Diagrama de Venn de $${\ displaystyle ~ A \ triangle B \ triangle C}  $${\ displaystyle ~ \ triangle ~}  $${\ displaystyle ~ = ~} 

La diferencia simétrica es equivalente a la unión de ambos complementos relativos , es decir:

$${\ displaystyle A \, \ triangle \, B = \ left (A \ setminus B \ right) \ cup \ left (B \ setminus A \ right),}

La diferencia simétrica también se puede expresar usando la operación XOR ⊕ en los predicados que describen los dos conjuntos en notación de generador de conjuntos :

$${\ displaystyle A \, \ triangle \, B = \ {x: (x \ in A) \ oplus (x \ in B) \}.}

El mismo hecho se puede establecer como la función del indicador (que denotamos aquí por$${\ displaystyle \ chi}) de la diferencia simétrica siendo el XOR (o el mod de suma 2 ) de las funciones del indicador de sus dos argumentos:$${\ displaystyle \ chi _ {(A \, \ triangle \, B)} = \ chi _ {A} \ oplus \ chi _ {B}}o usando la notación de corchetes Iverson$${\ displaystyle [x \ en A \, \ triangle \, B] = [x \ en A] \ oplus [x \ en B]}.

La diferencia simétrica también se puede expresar como la unión de los dos conjuntos, menos su intersección :

$${\ displaystyle A \, \ triangle \, B = (A \ cup B) \ setminus (A \ cap B),}

En particular, $${\ displaystyle A \ triangle B \ subseteq A \ cup B}; la igualdad en esta inclusión no estricta ocurre si y solo si $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}son conjuntos disjuntos . Además, si denotamos$${\ displaystyle D = A \ triangle B} y $${\ displaystyle I = A \ cap B}, luego $${\ displaystyle D} y $${\ displaystyle I} siempre son disjuntos, entonces $${\ displaystyle D} y $${\ displaystyle I} dividir $${\ displaystyle A \ cup B}. En consecuencia, suponiendo intersección y diferencia simétrica como operaciones primitivas, la unión de dos conjuntos puede ser bien definido en términos de diferencia simétrica por el lado derecho de la igualdad

$${\ displaystyle A \, \ cup \, B = (A \, \ triangle \, B) \, \ triangle \, (A \ cap B)}.

La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa (y, en consecuencia, el conjunto de paréntesis más a la izquierda en la expresión anterior era, por lo tanto, redundante):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A \, \ triangle \, B & = B \, \ triangle \, A, \\ (A \, \ triangle \, B) \, \ triangle \, C & = A \, \ triangle \, (B \, \ triangle \, C). \ end {alineado}}}

El conjunto vacío es neutral , y cada conjunto es su propio inverso:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A \, \ triangle \, \ varnothing & = A, \\ A \, \ triangle \, A & = \ varnothing. \ end {alineado}}}

Tomados en conjunto, vemos que el conjunto de potencia de cualquier conjunto X se convierte en un grupo abeliano si usamos la diferencia simétrica como operación. (Más generalmente, cualquier campo de conjuntos forma un grupo con la diferencia simétrica como operación). Un grupo en el que cada elemento es su propio inverso (o, equivalentemente, en el que cada elemento tiene orden 2) a veces se denomina grupo booleano ; ^[1] [2] la diferencia simétrica proporciona un ejemplo prototípico de tales grupos. A veces, el grupo booleano se define realmente como la operación de diferencia simétrica en un conjunto. ^[3] En el caso donde Xtiene solo dos elementos, el grupo así obtenido es el Klein de cuatro grupos .

De manera equivalente, un grupo booleano es un grupo abeliano elemental de 2 grupos . En consecuencia, el grupo inducido por la diferencia simétrica es, de hecho, un espacio vectorial sobre el campo con 2 elementos Z ₂ . Si X es finito, entonces los únicos forman una base de este espacio vectorial, y su dimensión es por lo tanto igual al número de elementos de X . Esta construcción se utiliza en la teoría de grafos , para definir el espacio del ciclo de un gráfico.

De la propiedad de las inversas en un grupo booleano, se deduce que la diferencia simétrica de dos diferencias simétricas repetidas es equivalente a la diferencia simétrica repetida de la unión de los dos conjuntos múltiples, donde para cada conjunto doble se pueden eliminar ambos. En particular:

$${\ displaystyle (A \, \ triangle \, B) \, \ triangle \, (B \, \ triangle \, C) = A \, \ triangle \, C.}

Esto implica desigualdad triangular: ^[4] la diferencia simétrica de A y C está contenido en la unión de la diferencia simétrica de A y B y la de B y C . (Pero tenga en cuenta que para el diámetro de la diferencia simétrica no se cumple la desigualdad del triángulo).

La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica:

$${\ displaystyle A \ cap (B \, \ triangle \, C) = (A \ cap B) \, \ triangle \, (A \ cap C),}

y esto muestra que el conjunto de potencia de X se convierte en un anillo con diferencia simétrica como suma e intersección como multiplicación. Este es el ejemplo prototípico de un anillo booleano .

Otras propiedades de la diferencia simétrica:

• $${\ displaystyle A \ triangle B = A ^ {c} \ triangle B ^ {c}}, dónde $${\ displaystyle A ^ {c}}, $${\ displaystyle B ^ {c}} es $${\ displaystyle A}complemento de $${\ displaystyle B}Complemento de, respectivamente, relativo a cualquier conjunto (fijo) que contenga ambos.
• $${\ displaystyle \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {I}}} A _ {\ alpha} \ right) \ triangle \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {I}} } B _ {\ alpha} \ right) \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {I}}} \ left (A _ {\ alpha} \ triangle B _ {\ alpha} \ right)}, dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {I}}} es un conjunto de índices arbitrario no vacío.
• Si $${\ displaystyle f: S \ rightarrow T} es cualquier función y $${\ displaystyle A, B \ subseteq T} son conjuntos en $${\ displaystyle f}del codominio, entonces $${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (A \ triangle B \ right) = f ^ {- 1} \ left (A \ right) \ triangle f ^ {- 1} \ left (B \ right)}.

La diferencia simétrica se puede definir en cualquier álgebra booleana , escribiendo

$${\ displaystyle x \, \ triangle \, y = (x \ lor y) \ land \ lnot (x \ land y) = (x \ land \ lnot y) \ lor (y \ land \ lnot x) = x \ oplus y.}

Esta operación tiene las mismas propiedades que la diferencia simétrica de conjuntos.

n -ary diferencia simétrica [ editar ]

La diferencia simétrica repetida es, en cierto sentido, equivalente a una operación en un conjunto múltiple de conjuntos que proporciona el conjunto de elementos que están en un número impar de conjuntos. ^{[ aclaración necesaria ]}

Como anteriormente, la diferencia simétrica de una colección de conjuntos contiene solo elementos que están en un número impar de los conjuntos de la colección:

$${\ displaystyle \ triangle M = \ left \ {a \ in \ bigcup M: \ left | \ {A \ in M: a \ in A \} \ right | {\ mbox {es impar}} \ right \}}.

Evidentemente, esto está bien definido solo cuando cada elemento de la unión $${\ displaystyle \ bigcup M} es contribuido por un número finito de elementos de $${\ displaystyle M}.

Suponer $${\ displaystyle M = \ left \ {M_ {1}, M_ {2}, \ ldots, M_ {n} \ right \}}es un conjunto múltiple y$${\ displaystyle n \ geq 2}. Entonces hay una fórmula para$${\ displaystyle | \ triangle M |}, el número de elementos en $${\ displaystyle \ triangle M}, dado únicamente en términos de intersecciones de elementos de $${\ displaystyle M}:

{\ displaystyle | \ triangle M | = \ sum _ {l = 1} ^ {n} (- 2) ^ {l-1} \ sum _ {1 \ leq i_ {1} .

Diferencia simétrica en espacios de medida [ editar ]

Mientras exista la noción de "cuán grande" es un conjunto, la diferencia simétrica entre dos conjuntos puede considerarse una medida de cuán "separados" están.

Primero considere un conjunto finito S y la medida de conteo en subconjuntos dados por su tamaño. Ahora considere dos subconjuntos de S y separe su distancia como el tamaño de su diferencia simétrica. Esta distancia es, de hecho, una métrica, de modo que la potencia establecida en S es un espacio métrico . Si S tiene n elementos, entonces la distancia desde el conjunto vacío a S es n , y esta es la distancia máxima para cualquier par de subconjuntos. ^[5]

Usando las ideas de la teoría de la medida , la separación de conjuntos medibles puede definirse como la medida de su diferencia simétrica. Si μ es una medida σ-finita definida en un σ-álgebra Σ, la función

$${\ displaystyle d _ {\ mu} (X, Y) = \ mu (X \, \ triangle \, Y)}

es un seudométrico en Σ. d _{μ se} convierte en una métrica si Σ se considera módulo la relación de equivalencia X ~ Y si y solo si$${\ displaystyle \ mu (X \, \ triangle \, Y) = 0}. A veces se le llama Fréchet - Nikodym metric. El espacio métrico resultante es separable si y solo si L ² (μ) es separable.

Si {\ displaystyle \ mu (X), \ mu (Y) <\ infty}, tenemos: $${\ displaystyle | \ mu (X) - \ mu (Y) | \ leq \ mu (X \, \ triangle \, Y)}. En efecto,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} | \ mu (X) - \ mu (Y) | & = \ left | \ left (\ mu \ left (X \ setminus Y \ right) + \ mu \ left (X \ cap Y \ right) \ right) - \ left (\ mu \ left (X \ cap Y \ right) + \ mu \ left (Y \ setminus X \ right) \ right) \ right | \\ & = \ left | \ mu \ left (X \ setminus Y \ right) - \ mu \ left (Y \ setminus X \ right) \ right | \\ & \ leq \ left | \ mu \ left (X \ setminus Y \ right) \ right | + \ left | \ mu \ left (Y \ setminus X \ right) \ right | \\ & = \ mu \ left (X \ setminus Y \ right) + \ mu \ left (Y \ setminus X \ right) \ \ & = \ mu \ left (\ left (X \ setminus Y \ right) \ cup \ left (Y \ setminus X \ right) \ right) \\ & = \ mu \ left (X \, \ triangle \, Y \ right) \ end {alineado}}}

Si $${\ displaystyle S = \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu \ right)} es un espacio de medida y $${\ displaystyle F, G \ in {\ mathcal {A}}} son conjuntos medibles, entonces su diferencia simétrica también es medible: $${\ displaystyle F \ triangle G \ in {\ mathcal {A}}}. Se puede definir una relación de equivalencia en conjuntos medibles dejando que F y G se relacionen si$${\ displaystyle \ mu \ left (F \ triangle G \ right) = 0}. Esta relación se denota$${\ displaystyle F = G \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]}.

Dado $${\ displaystyle {\ mathcal {D}}, {\ mathcal {E}} \ subseteq {\ mathcal {A}}}uno escribe $${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subseteq {\ mathcal {E}} \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]} si a cada $${\ displaystyle D \ en {\ mathcal {D}}} hay algo $${\ displaystyle E \ en {\ mathcal {E}}} tal que $${\ displaystyle D = E \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]}. La relación "$${\ displaystyle \ subseteq \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]}"es una orden parcial en la familia de subconjuntos de $${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}.

Nosotros escribimos $${\ displaystyle {\ mathcal {D}} = {\ mathcal {E}} \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]} Si $${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subseteq {\ mathcal {E}} \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]} y $${\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ subseteq {\ mathcal {D}} \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]}. La relación "$${\ displaystyle = \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]}"es una relación de equivalencia entre los subconjuntos de $${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}.

El cierre simétrico de$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}} es la colección de todos $${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}-conjuntos medibles que son $${\ displaystyle = \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]} Para algo $${\ displaystyle D \ en {\ mathcal {D}}}. El cierre simétrico de$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}} contiene $${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}. Si$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}} es un sub-$${\ displaystyle \ sigma}-álgebra de $${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}, también lo es el cierre simétrico de $${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}.

$${\ displaystyle F = G \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]} iff $${\ displaystyle \ left | \ mathbf {1} _ {F} - \ mathbf {1} _ {G} \ right | = 0} $${\ displaystyle \ left [{\ mathcal {A}}, \ mu \ right]} Casi en todas partes .

Distancia de Hausdorff versus diferencia simétrica [ editar ]

La distancia de Hausdorff y la (área de la) diferencia simétrica son pseudo-métricas en el conjunto de formas geométricas medibles. Sin embargo, se comportan de manera bastante diferente. La figura de la derecha muestra dos secuencias de formas, "Rojo" y "Rojo ∪ Verde". Cuando la distancia de Hausdorff entre ellos se hace más pequeña, el área de la diferencia simétrica entre ellos se hace más grande, y viceversa. Al continuar estas secuencias en ambas direcciones, es posible obtener dos secuencias de modo que la distancia de Hausdorff entre ellas converja a 0 y la distancia simétrica entre ellas diverja, o viceversa.

En matemáticas , en el área de la teoría del orden , un antichain es un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado, de modo que dos elementos distintos del subconjunto son incomparables.

El tamaño del antichain más grande en un conjunto parcialmente ordenado se conoce como su ancho . Según el teorema de Dilworth , esto también equivale al número mínimo de cadenas (subconjuntos totalmente ordenados) en los que se puede dividir el conjunto. Dualmente, la altura del conjunto parcialmente ordenado (la longitud de su cadena más larga) es igual, según el teorema de Mirsky, al número mínimo de antichains en el que se puede dividir el conjunto.

La familia de todas las antichains en un conjunto finito parcialmente ordenado puede unirse y reunirse , convirtiéndolas en una red distributiva . Para el sistema parcialmente ordenado de todos los subconjuntos de un conjunto finito, ordenados por inclusión de conjunto, las antichains se denominan familias Sperner y su red es una red distributiva libre , con un número de elementos Dedekind . En términos más generales, contar el número de antichains de un conjunto finito parcialmente ordenado es # P-completo .

Definiciones [ editar ]

Sea S un conjunto parcialmente ordenado. Dos elementos un y B de un conjunto parcialmente ordenado se llaman comparable si un ≤ b o b ≤ una . Si dos elementos no son comparables, se llaman incomparables; es decir, x e y son incomparables si ni x ≤ y ni y ≤ x .

Una cadena en S es un subconjunto C de S en el que cada par de elementos es comparable; es decir, C está totalmente ordenado . Un antichain en S es un subconjunto A de S en el que cada par de elementos diferentes es incomparable; que es, no hay ninguna relación de orden entre dos elementos diferentes en A . (Sin embargo, algunos autores usan el término "antichain" para referirse a la antichain fuerte , un subconjunto tal que no hay ningún elemento del poste más pequeño que dos elementos distintos de la antichain).

Altura y ancho [ editar ]

Una antichain máxima es una antichain que no es un subconjunto apropiado de ninguna otra antichain. Un antichain máximo es un antichain que tiene cardinalidad al menos tan grande como cualquier otro antichain. El ancho de un conjunto parcialmente ordenado es la cardinalidad de una antichain máxima. Cualquier antichain puede intersecar cualquier cadena en un elemento como máximo, por lo tanto, si podemos dividir los elementos de un orden en k cadenas, entonces el ancho del orden debe ser como máximo k (si el antichain tiene más de k elementos, por el casillero principio , habría 2 de sus elementos pertenecientes a la misma cadena, contradicción). Teorema de Dilworthestablece que este límite siempre se puede alcanzar: siempre existe un antichain y una partición de los elementos en cadenas, de modo que el número de cadenas es igual al número de elementos en el antichain, que por lo tanto también debe ser igual al ancho. ^[1] Del mismo modo, se puede definir la altura de un orden parcial para que sea la cardinalidad máxima de una cadena. El teorema de Mirsky establece de manera similar que en cualquier orden parcial de altura finita, la altura es igual al número más pequeño de antichains en el que se puede dividir el orden. ^[2]

Familias Sperner [ editar ]

Un antichain en el orden de inclusión de subconjuntos de un conjunto de elementos n se conoce como una familia Sperner . El número de diferentes familias Sperner se cuenta por los números de Dedekind , ^[3] los primeros de los cuales son números

2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788 (secuencia A000372 en el OEIS ).

Incluso el conjunto vacío tiene dos antichains en su conjunto de poder: uno que contiene un único conjunto (el conjunto vacío en sí) y otro que no contiene conjuntos.

Unirse y conocer operaciones [ editar ]

Cualquier antichain A corresponde a un conjunto inferior

$${\ displaystyle L_ {A} = \ {x \ mid \ exist y \ in A {\ mbox {st}} x \ leq y \}.}

En un orden parcial finito (o más generalmente un orden parcial que satisface la condición de cadena ascendente ) todos los conjuntos inferiores tienen esta forma. La unión de dos conjuntos inferiores es otro conjunto inferior, y corresponde la operación de unión de esta manera a una unirse operación en anticadenas:

{\ displaystyle A \ vee B = \ {x \ en A \ cup B \ mid \ nexists y \ en A \ cup B {\ mbox {st}} x

Del mismo modo, podemos definir una operación de encuentro en antichains, correspondiente a la intersección de conjuntos inferiores:

{\ displaystyle A \ wedge B = \ {x \ en L_ {A} \ cap L_ {B} \ mid \ nexists y \ en L_ {A} \ cap L_ {B} {\ mbox {st}} x

La unión y la actividad se atenga a todas las anticadenas finitos de subconjuntos finitos de un conjunto X definir un retículo distributivo , el retículo distributivo libre generado por X . El teorema de representación de Birkhoff para redes distributivas establece que cada red distributiva finita puede representarse mediante operaciones de unión y reunión en antichains de un orden parcial finito, o de manera equivalente como operaciones de unión e intersección en los conjuntos inferiores del orden parcial. ^[4]

Complejidad computacional [ editar ]

Se puede encontrar un antichain máximo (y su tamaño, el ancho de un conjunto dado parcialmente ordenado) en el tiempo polinómico . ^[5] Contar el número de antichains en un conjunto dado parcialmente ordenado es # P-complete .