La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas de álgebra abstracta para estudiar espacios topológicos . El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen los espacios topológicos hasta el homeomorfismo , aunque generalmente la mayoría clasifica hasta la equivalencia de homotopía .
Aunque la topología algebraica usa principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible usar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite una prueba conveniente de que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.
Principales ramas de la topología algebraica [ editar ]
A continuación se presentan algunas de las principales áreas estudiadas en topología algebraica:
Grupos de homotopía [ editar ]
En matemáticas, los grupos de homotopía se usan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer y más simple grupo de homotopía es el grupo fundamental , que registra información sobre bucles en un espacio. Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico.
Homología [ editar ]
En topología algebraica y álgebra abstracta , la homología (en parte del griego ὁμός homos "idéntico") es un cierto procedimiento general para asociar una secuencia de grupos o módulos abelianos con un objeto matemático dado, como un espacio topológico o un grupo . [1]
Cohomología [ editar ]
En la teoría de la homología y la topología algebraica, cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos definidos a partir de un complejo co-cadena . Es decir, la cohomología se define como el estudio abstracto de las cadenas , los cociclos y los límites . La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicos a un espacio topológico que tiene una estructura algebraica más refinada que la homología.. La cohomología surge de la dualización algebraica de la construcción de la homología. En un lenguaje menos abstracto, las cadenas en el sentido fundamental deberían asignar "cantidades" a las cadenas de la teoría de la homología.
Colectores [ editar ]
Un múltiple es un espacio topológico que cerca de cada punto se asemeja al espacio euclidiano . Los ejemplos incluyen el plano , la esfera y el toro , que pueden realizarse en tres dimensiones, pero también la botella de Klein y el plano proyectivo real que no pueden realizarse en tres dimensiones, pero pueden realizarse en cuatro dimensiones. Normalmente, los resultados en topología algebraica se centran en aspectos globales, no diferenciables de múltiples; por ejemplo la dualidad de Poincaré .
Teoría del nudo [ editar ]
La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Si bien está inspirado en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y la cuerda, el nudo de un matemático difiere en que los extremos están unidos para que no se puedan deshacer. En lenguaje matemático preciso, un nudo es una incrustación de un círculo en un espacio euclidiano tridimensional ,. Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación desobre sí mismo (conocido como isotopía ambiental ); Estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cadena anudada que no implican cortar la cadena o pasar la cadena a través de sí misma.
Complejos [ editar ]
Un complejo simplicial es un espacio topológico de cierto tipo, construido por "pegar" puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n- dimensionales (ver ilustración). Los complejos simples no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simple que aparece en la teoría moderna de la homotopía simple. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto .
Un complejo CW es un tipo de espacio topológico introducido por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía . Esta clase de espacios es más amplia y tiene algunas mejores propiedades categóricas que los complejos simpliciales , pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño).
Método de invariantes algebraicos [ editar ]
Un nombre antiguo para el tema era topología combinatoria , lo que implica un énfasis en cómo se construyó un espacio X a partir de los más simples [2] (la herramienta estándar moderna para tal construcción es el complejo CW ). En las décadas de 1920 y 1930, había un énfasis creciente en la investigación de espacios topológicos al encontrar correspondencias entre ellos y los grupos algebraicos , lo que condujo al cambio de nombre a topología algebraica. [3] El nombre de topología combinatoria todavía se usa a veces para enfatizar un enfoque algorítmico basado en la descomposición de espacios. [4]
En el enfoque algebraico, se encuentra una correspondencia entre espacios y grupos que respeta la relación de homeomorfismo (u homotopía más general ) de los espacios. Esto permite volver a enunciar declaraciones sobre espacios topológicos en declaraciones sobre grupos, que tienen una gran cantidad de estructura manejable, lo que a menudo hace que estas declaraciones sean más fáciles de probar. Dos formas principales en que esto se puede hacer son a través de grupos fundamentales , o más generalmente, la teoría de la homotopía , y a través de grupos de homología y cohomología . Los grupos fundamentales nos dan información básica sobre la estructura de un espacio topológico, pero a menudo son no belicos.y puede ser difícil trabajar con ellos. El grupo fundamental de un complejo simplicial (finito) tiene una presentación finita .
Los grupos de homología y cohomología, por otro lado, son abelianos y en muchos casos importantes se generan de forma finita. Los grupos abelianos generados finitamente se clasifican por completo y son particularmente fáciles de trabajar.
Configuración en teoría de categoría [ editar ]
En general, todas las construcciones de topología algebraica son functoriales ; Las nociones de categoría , functor y transformación natural se originaron aquí. Los grupos fundamentales y los grupos de homología y cohomología no solo son invariantes del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos que son homeomórficos tienen los mismos grupos asociados, pero sus morfismos asociados también corresponden: un mapeo continuo de espacios induce un homomorfismo grupal en los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden usarse para mostrar la no existencia (o, mucho más profundamente, la existencia) de mapeos.
Uno de los primeros matemáticos en trabajar con diferentes tipos de cohomología fue Georges de Rham . Se puede usar la estructura diferencial de múltiples lisos a través de la cohomología de Rham , o Čech o cohomología de gavilla para investigar la capacidad de solución de las ecuaciones diferenciales definidas en el múltiple en cuestión. De Rham demostró que todos estos enfoques estaban interrelacionados y que, para una variedad cerrada y orientada, los números de Betti derivados de la homología simplicial eran los mismos números de Betti que los derivados de la cohomología de De Rham. Esto se extendió en la década de 1950, cuando Samuel Eilenberg y Norman Steenrodgeneralizó este enfoque. Definieron la homología y la cohomología como functores equipados con transformaciones naturales sujetas a ciertos axiomas (por ejemplo, una equivalencia débil de espacios pasa a un isomorfismo de grupos de homología), verificaron que todas las teorías de (co) homología existentes satisfacían estos axiomas, y luego demostraron que tales Una axiomatización caracterizó de manera única la teoría.
Aplicaciones de la topología algebraica [ editar ]
Las aplicaciones clásicas de la topología algebraica incluyen:
- El teorema del punto fijo de Brouwer : cada mapa continuo desde la unidad n -disk a sí mismo tiene un punto fijo.
- El rango libre de la n grupo homología -ésimo de un complejo simplicial es el n -ésimo número Betti , que permite calcular la característica de Euler-Poincaré .
- Se puede usar la estructura diferencial de múltiples lisos a través de la cohomología de De Rham , o Čech o cohomología de gavilla para investigar la capacidad de solución de las ecuaciones diferenciales definidas en el múltiple en cuestión.
- Un múltiple es orientable cuando el grupo de homología integral de dimensión superior son los enteros, y no es orientable cuando es 0.
- La n- esfera admite un campo vectorial de unidad continua que no desaparece en ninguna parte si y solo si n es impar. (Por, esto a veces se llama el " teorema de la bola peluda ".)
- El teorema de Borsuk-Ulam : cualquier mapa continuo desde la n- esfera hasta el n- espacio euclidiano identifica al menos un par de puntos antipodales.
- Cualquier subgrupo de un grupo libre es libre. Este resultado es bastante interesante, porque el enunciado es puramente algebraico pero la prueba más simple conocida es topológica. Es decir, cualquier grupo libre G puede ser realizado como el grupo fundamental de un gráfico X . El teorema principal sobre los espacios de cobertura nos dice que cada subgrupo H de G es el grupo fundamental de algunos espacios de cobertura Y de X ; pero cada Y de nuevo es una gráfica. Por lo tanto, su grupo fundamental H es libre. Por otro lado, este tipo de aplicación también se maneja de manera más simple mediante el uso de morfismos de cobertura degroupoids , y esa técnica ha arrojado teoremas de subgrupos aún no probados por métodos de topología algebraica; ver Higgins (1971) .
- Combinatoria topológica .
Topólogos algebraicos notables [ editar ]
- Frank Adams
- Michael Atiyah
- Enrico Betti
- Armand Borel
- Karol Borsuk
- Luitzen Egbertus Jan Brouwer
- William Browder
- Ronald Brown
- Henri Cartan
- Albrecht Dold
- Charles Ehresmann
- Samuel Eilenberg
- Hans Freudenthal
- Peter Freyd
- Pierre Gabriel
- Alexander Grothendieck
- Allen Hatcher
- Friedrich Hirzebruch
- Heinz Hopf
- Michael J. Hopkins
- Witold Hurewicz
- Egbert van Kampen
- Daniel Kan
- Hermann Künneth
- Ruth Lawrence
- Solomon Lefschetz
- Jean Leray
- Saunders Mac Lane
- Mark Mahowald
- J. Peter May
- Barry Mazur
- John Milnor
- John Coleman Moore
- Jack Morava
- Emmy Noether
- Sergei Novikov
- Grigori Perelman
- Lev Pontryagin
- Nicolae Popescu
- Mikhail Postnikov
- Daniel Quillen
- Jean-Pierre Serre
- Stephen Smale
- Edwin Spanier
- Norman Steenrod
- Dennis Sullivan
- René Thom
- Hiroshi Toda
- Leopold Vietoris
- Hassler Whitney
- JHC Whitehead
- Gordon Thomas Whyburn
El centro (o centro de Jordan [1] ) de un gráfico es el conjunto de todos los vértices de excentricidad mínima , [2] es decir, el conjunto de todos los vértices u donde la mayor distancia d ( u , v ) a otros vértices v es mínimo. De manera equivalente, es el conjunto de vértices con excentricidad igual al radio del gráfico . [3] Por lo tanto, los vértices en el centro ( puntos centrales ) minimizan la distancia máxima desde otros puntos en el gráfico.
Encontrar el centro de un gráfico es útil en problemas de ubicación de instalaciones donde el objetivo es minimizar la peor distancia a la instalación. Por ejemplo, colocar un hospital en un punto central reduce la distancia más larga que debe recorrer la ambulancia.
Un algoritmo utilizado a menudo para calcular el centro de un gráfico es el de Floyd-Warshall [4] [5] . Se ha propuesto otro algoritmo basado en el cálculo matricial [6] .
El concepto del centro de un gráfico está relacionado con la medida de centralidad de cercanía en el análisis de redes sociales , que es el recíproco de la media de las distancias d ( A , B ).
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