TEORÍA DE TÉRMINOS DE GRAFOS

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Este gráfico tiene un rango de circuito r = 2 porque se puede convertir en un árbol eliminando dos bordes, por ejemplo, los bordes 1–2 y 2–3, pero eliminar cualquiera de los bordes deja un ciclo en el gráfico.

En la teoría de gráficos , una rama de las matemáticas , el rango del circuito , el número ciclomático , el rango del ciclo o la nulidad de un gráfico no dirigido es el número mínimo de aristas que deben eliminarse del gráfico para romper todos sus ciclos , convirtiéndolo en un árbol o bosque. Es equivalente al número mínimo de ciclos independientes en el gráfico ( base de ciclo mínimo ). A diferencia del problema del conjunto de arco de retroalimentación correspondiente para gráficos dirigidos , el rango de circuito r se calcula fácilmente usando la fórmula

$${\ displaystyle r = m-n + c},

donde m es el número de aristas en el gráfico dado, n es el número de vértices y c es el número de componentes conectados . ^[1] También es posible construir un conjunto de bordes de tamaño mínimo que rompa todos los ciclos de manera eficiente, ya sea utilizando un algoritmo codicioso o complementando un bosque que se extiende .

El rango del circuito puede explicarse en términos de la teoría de grafos algebraicos como la dimensión del espacio del ciclo de un gráfico, en términos de la teoría de matroides como el engreído de un matroide gráfico y en términos de topología como uno de los números de Betti de un topológico espacio derivado de la gráfica. Cuenta los oídos en una descomposición del gráfico en el oído , forma la base de la complejidad parametrizada en casi árboles y se ha aplicado en métricas de software como parte de la definición de complejidad ciclomática de un fragmento de código. Bajo el nombre de número ciclomático, el concepto fue introducido porGustav Kirchhoff .

Rango Matroid y construcción de un conjunto mínimo de bordes de retroalimentación [ editar ]

El rango de circuito de un gráfico de G puede ser descrito usando la teoría matroid como el corank del gráfico matroid de G . ^[4] Usando la propiedad codiciosa de los matroides, esto significa que uno puede encontrar un conjunto mínimo de aristas que rompa todos los ciclos utilizando un algoritmo codicioso que en cada paso elige una arista que pertenezca al menos a un ciclo del gráfico restante.

Alternativamente, se puede encontrar un conjunto mínimo de bordes que rompa todos los ciclos construyendo un bosque de expansión de G y eligiendo el conjunto complementario de bordes que no pertenecen al bosque de expansión.

El número de ciclos independientes [ editar ]

En la teoría de gráficos algebraicos , el rango del circuito también es la dimensión del espacio del ciclo de$${\ displaystyle G}. Intuitivamente, esto puede explicarse como que el rango del circuito cuenta el número de ciclos independientes en el gráfico, donde una colección de ciclos es independiente si no es posible formar uno de los ciclos como la diferencia simétrica de un subconjunto de los otros. . ^[1]

Este recuento de ciclos independientes también se puede explicar utilizando la teoría de la homología , una rama de la topología . Cualquier gráfico G puede verse como un ejemplo de un complejo simplicial unidimensional , un tipo de espacio topológico formado representando cada borde del gráfico por un segmento de línea y pegando estos segmentos de línea en sus puntos finales. El número ciclomático es el rango del primer grupo de homología (entero) de este complejo, ^[5]

$${\ displaystyle r = \ operatorname {rank} \ left [H_ {1} (G, \ mathbb {Z}) \ right].}

Debido a esta conexión topológica, el número ciclomática de un gráfico G es también llamada la primera número Betti de G . ^[6] Más generalmente, el primer número Betti de cualquier espacio topológico, definido de la misma manera, cuenta el número de ciclos independientes en el espacio.

Aplicaciones [ editar ]

Coeficiente de malla [ editar ]

Una variante del rango de circuito para gráficos planos , normalizada dividiendo por el rango de circuito máximo posible de cualquier gráfico plano con el mismo conjunto de vértices, se llama coeficiente de malla . Para un gráfico plano conectado con m aristas yn vértices, el coeficiente de malla puede calcularse mediante la fórmula ^[7]

$${\ displaystyle {\ frac {m-n + 1} {2n-5}}.}

Aquí el numerador $${\ displaystyle m-n + 1} de la fórmula es el rango del circuito de la gráfica dada, y el denominador $${\ displaystyle 2n-5}es el rango de circuito más grande posible de un gráfico plano n- vértice. El coeficiente de malla varía entre 0 para árboles y 1 para gráficos planos máximos .

Descomposición del oído [ editar ]

El rango del circuito controla el número de oídos en una descomposición del oído de un gráfico, una partición de los bordes del gráfico en rutas y ciclos que es útil en muchos algoritmos de gráficos. En particular, un gráfico está conectado a 2 vértices si y solo si tiene una descomposición del oído abierto. Esta es una secuencia de subgrafos, donde el primer subgrafo es un ciclo simple, los subgrafos restantes son todos caminos simples, cada camino comienza y termina en vértices que pertenecen a subgrafos anteriores, y cada vértice interno de un camino aparece por primera vez en ese camino En cualquier gráfico biconnectado con rango de circuito$${\ displaystyle r}, cada descomposición del oído abierto tiene exactamente $${\ displaystyle r}orejas. ^[8]

Casi árboles [ editar ]

Un gráfico con número ciclomático. $${\ displaystyle r}también se llama r -casi árbol , porque solo se necesitan eliminar los bordes r del gráfico para convertirlo en un árbol o bosque. Un 1 casi árbol es un árbol cercano : un árbol cercano conectado es un pseudotree , un ciclo con un árbol (posiblemente trivial) enraizado en cada vértice. ^[9]

Varios autores han estudiado la complejidad parametrizada de algoritmos gráficos en r -near-árboles, parametrizados por$${\ displaystyle r}. ^[10] [11]

Generalizaciones a gráficos dirigidos [ editar ]

El rango de ciclo es una invariante de gráficos dirigidos que mide el nivel de anidamiento de ciclos en el gráfico. Tiene una definición más complicada que el rango de circuito (estrechamente relacionado con la definición de profundidad de árbol para gráficos no dirigidos) y es más difícil de calcular. Otro problema para los gráficos dirigidos relacionados con el rango del circuito es el conjunto de arco de retroalimentación mínimo , el conjunto más pequeño de bordes cuya eliminación rompe todos los ciclos dirigidos. Tanto el rango de ciclo como el conjunto de arco de retroalimentación mínimo son difíciles de calcular NP .

También es posible calcular una invariante más simple de gráficos dirigidos ignorando las direcciones de los bordes y calculando el rango del circuito del gráfico subyacente no dirigido. Este principio forma la base de la definición de complejidad ciclomática , una métrica de software para estimar cuán complicado es un fragmento de código de computadora.

Química computacional [ editar ]

En los campos de la química y cheminformatics , el rango de circuito de un gráfico molecular (el número de anillos en el conjunto más pequeño de los anillos más pequeños ) se refiere a veces como el número Frèrejacque . ^{[12] [13] [14]}

Conceptos relacionados [ editar ]

Otros números definidos en términos de eliminación de bordes de gráficos no dirigidos incluyen la conectividad de bordes , el número mínimo de bordes a eliminar para desconectar el gráfico y la exclusión de coincidencias , el número mínimo de bordes a eliminar para evitar la existencia de un perfecto a juego .

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  (Redirigido desde la circunferencia (teoría de grafos) )

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Circunferencia (C en negro) de un círculo con diámetro (D en cian), radio (R en rojo) y centro (O en magenta). Circunferencia = π × diámetro = 2 × π × radio.

En geometría , la circunferencia (del latín circumferens , que significa "transportar") de un círculo es la distancia (lineal) a su alrededor. ^[1] Es decir, la circunferencia sería la longitud del círculo si se abriera y se enderezara en un segmento de línea . Como un círculo es el borde (límite) de un disco , la circunferencia es un caso especial de perímetro . ^[2] El perímetro es la longitud alrededor de cualquier figura cerrada y es el término utilizado para la mayoría de las figuras, excepto el círculo y algunas figuras circulares como las elipses.. Informalmente, la "circunferencia" también puede referirse al borde en sí mismo más que a la longitud del borde.

Círculo [ editar ]

La circunferencia de un círculo es la distancia a su alrededor, pero si, como en muchos tratamientos elementales, la distancia se define en términos de líneas rectas, esto no puede usarse como una definición. En estas circunstancias, la circunferencia de un círculo puede definirse como el límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos a medida que aumenta el número de lados sin límite. ^[3] El término circunferencia se usa al medir objetos físicos, así como al considerar formas geométricas abstractas.

Cuando el diámetro de un círculo es 1, su circunferencia es π .

Cuando el radio de un círculo es 1, llamado círculo unitario, su circunferencia es 2 π .

Relación con π [ editar ]

La circunferencia de un círculo está relacionada con una de las constantes matemáticas más importantes . Esta constante , pi , está representada por la letra griega π . Los primeros pocos dígitos decimales del valor numérico de π son 3.141592653589793 ... ^[4] Pi se define como la razón de la circunferencia C de un círculo a su diámetro d :

$${\ displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}.}

O, de manera equivalente, como la razón de la circunferencia al doble del radio . La fórmula anterior se puede reorganizar para resolver la circunferencia:

$${\ displaystyle {C} = \ pi \ cdot {d} = 2 \ pi \ cdot {r}. \!}

El uso de la constante matemática π es omnipresente en matemáticas, ingeniería y ciencias.

En Sobre la medida del círculo compuesta alrededor de 250 BCE, Arquímedes demostró que esta relación ( C / D , ya que no utilizó el nombre π ) fue mayor que 3 10/71 pero menos de 3 1/7 mediante el cálculo de los perímetros de un inscrito y un polígono regular circunscrito de 96 lados. ^[5] Este método para aproximar π se utilizó durante siglos, obteniendo más precisión mediante el uso de polígonos de mayor y mayor número de lados. El último cálculo de este tipo fue realizado en 1630 por Christoph Grienberger, quien utilizó polígonos con 10 ⁴⁰ lados.

Elipse [ editar ]

Artículo principal: Elipse § Circunferencia

Algunos autores utilizan la circunferencia para denotar el perímetro de una elipse. No existe una fórmula general para la circunferencia de una elipse en términos de los ejes semi-mayor y semi-menor de la elipse que usa solo funciones elementales. Sin embargo, existen fórmulas aproximadas en términos de estos parámetros. Una de esas aproximaciones, debido a Euler (1773), para la elipse canónica,

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

es

$${\ displaystyle C _ {\ rm {elipse}} \ sim \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}.}

Algunos límites inferior y superior en la circunferencia de la elipse canónica con $${\ displaystyle a \ geq b}son ^[6]

$${\ displaystyle 2 \ pi b \ leq C \ leq 2 \ pi a,}

$${\ displaystyle \ pi (a + b) \ leq C \ leq 4 (a + b),}

$${\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ leq C \ leq \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}.}

Aquí el límite superior $${\ displaystyle 2 \ pi a}es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse y el límite inferior$${\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}es el perímetro de un rombo inscrito con vértices en los puntos finales de los ejes mayor y menor.

La circunferencia de una elipse se puede expresar exactamente en términos de la integral elíptica completa del segundo tipo . ^[7] Más precisamente, tenemos

$${\ displaystyle C _ {\ rm {ellipse}} = 4a \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta

donde de nuevo $${\ displaystyle a} es la longitud del eje semi-mayor y $${\ displaystyle e} es la excentricidad $${\ displaystyle {\ sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}.}

Gráfico [ editar ]

En la teoría de gráficos, la circunferencia de un gráfico se refiere al ciclo más largo (simple) contenido en ese gráfico.