Espiral de Sacks

Espiral de Sacks, mostrando ciertos patrones que poseen los números primos.

La espiral de Sacks es una variante de la espiral de Ulam y fue descubierta en 1994 porRobert Sacks. Se diferencia de la espiral de Ulam por tres características: los puntos se ubican sobre una espiral de Arquímedes en vez de sobre una espiral cuadrada como utilizó Ulam, se ubica el cero en el centro del espiral, y se realiza un giro completo para cada cuadrado perfecto mientras que en la espiral de Ulam se ubican dos cuadrados por giro o rotación. Algunas curvas que comienzan en el origen parecen tener una gran densidad denúmeros primos; una de estas curvas por ejemplo contiene números del tipo n² + n + 41, que es un famoso polinomio abundante en números primos que descubriera Leonhard Euleren 1774. Se desconoce hasta qué punto las curvas de la espiral permiten predecir grandes números primos o compuestos.

La posición de cada número natural se representa mediante coordenadas polares por:

$r = \sqrt{n}$
$a = \sqrt{n}$

donde a representa un número de rotaciones, y no un ángulo en radianes ni en grados.

Alineaciones libres de números primos:
- Semirrecta horizontal derecha: cuadrados perfectos
- Línea inmediatamente inferior: números de la forma n² - 1, divisibles siempre por n+1 y n-1
- Semirrecta horizontal izquierda: números de la forma n² + n, divisibles siempre por n y n+1.

Curvas aparentemente densas en números primos:

Una espiral que, en la ilustración, termina cerca de la parte inferior del disco: números de la forma n² + n + 41, el polinomio descubierto por Euler.
Otra espiral situada 24 lugares por encima de la anterior: números de la forma n² + n + 17
Línea inmediatamente superior a la semirrecta horizontal izquierda: números de la forma n² + n - 1

espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de Einstein o espiral de raíces cuadradas es una espiral compuesta de triángulos rectángulos contiguos (uno al lado de otro), atribuida a Teodoro de Cirene.- ...............................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espiral_de_Teodoro&printable=yes

Espiral de Ulam

Los cuarenta y nueve primeros números enteros, en espiral.

La espiral de Ulam, descrita por el matemático polaco-estadounidense Stanisław Marcin Ulam(1909-1984), es una forma de representación gráfica de números primos que muestra un patrón.

En 1963, Ulam, aburrido durante una conferencia científica, estaba haciendo garabatos en una hoja de papel. Dispuso una malla de números en espiral, empezando por el 1 en el centro, el 2 a su derecha, el 3 arriba, el 4 encima del 1, el 5 a la izquierda, y así sucesivamente. Posteriormente, marcó los números primos y descubrió que los números marcados tendían a alinearse a lo largo de líneas diagonales.

Espiral de Ulam.

Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Como en la espiral de Ulam algunas diagonales contienen números impares y otras contienen números pares, no sorprende ver cómo los números primos caen todos (salvo el 2) en diagonales alternas. Sin embargo, entre las diagonales que contienen números impares, unas contienen una proporción visiblemente mayor que otras de números primos.

Las pruebas que se han hecho hasta ahora confirman que, incluso si se extiende mucho la espiral, se siguen mostrando esas diagonales. El patrón se muestra igualmente aunque el número central no sea 1 (en efecto, puede ser mucho mayor que 1). Esto significa que hay muchas constantes enteras b y c tales que la función

f(n) = 4 n^2 + b n + c

genera, a medida que crece n a lo largo de los naturales {1, 2, 3, ...}, una gran cantidad de números primos en comparación con la proporción de primos existente en números de magnitud similar. Este hallazgo fue tan célebre que la espiral de Ulam apareció en la cubierta de la revista Scientific American en marzo de 1964.