Sólidos de Catalan
El pentaquisdodecaedro o dodecaedro pentakis es uno de los sólidos de Catalan, cuyo dual es el icosaedro truncado; tiene parecido a un dodecaedro al que se le agregó una pirámide baja de base pentagonal en cada cara del poliedro. Equivale al límite mínimo del pequeño dodecaedro estrellado del grupo de Sólidos de Kepler-Poinsot en el que los triángulos que forman las pirámides pentagonales son equiláteros.
| Pentaquisdodecaedro | ||
|---|---|---|
| Familia: Sólidos de Catalan | ||
 Imagen del sólido | ||
| Caras | 60 | |
| Polígonos que forman las caras | Triángulos Isósceles | |
| Aristas | 90 | |
| Vértices | 32 | |
| Configuración de los vértices | 20 de orden 5 12 de orden 6 En serie: 5, 6, 6 | |
| Grupo de simetría | Icosaédrico (Ih) | |
| Poliedro dual | icosaedro truncado | |
| Propiedades | ||
| Poliedro convexo de caras uniformes | ||
| Plano | ||
 | ||
El rombododecaedro o dodecaedro rómbico es uno de los sólidos de Catalan; tiene la característica de llenar completamente el espacio cuando se reúnen varios de ellos al igual que un hexágono llena el plano.
A la formación que congrega varios poliedros se le llama mosaico, y son muy pocos los poliedros que tienen esa característica.
La diagonal más larga del rombo que forma sus caras es (√2) veces la longitud de la diagonal menor; así es que el ángulo agudo es 2 tan−1(1/√2), o aproximadamente 70,53°.
El dodecaedro rómbico es parte del reducido grupo de lospoliedros de aristas uniformes y es un zonohedro. Los vértices de orden 4 se encuentran en las coordenadas (±2,0,0),(0,±2,0),(0,0,±2); y los de orden 3 en (±1,±1,±1). Con estas coordenadas obtenemos un rombododecaedro en el que la diagonal menor del rombo mide 2 unidades. Estas coordenadas expresadas de forma extensa son: (2,0,0),(-2,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(0,0,2),(0,0,-2). (1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1).
 Imagen del sólido | ||
| Caras | 12 | |
|---|---|---|
| Polígonos que forman las caras | Rombos | |
| Aristas | 24 | |
| Vértices | 14 | |
| Configuración de los vértices | 6 de orden 4 8 de orden 3 En serie: 3, 4, 3, 4 | |
| Grupo de simetría | Octaédrica (Oh) | |
| Poliedro dual | Cuboctaedro | |
El tetraquishexaedro o hexaedro tetrakis es uno de los sólidos de Catalan, que luce como un cubo cuyas caras se han inflado con una pirámide baja de base cuadrada. Es por eso que en la nomenclatura de los sólidos de Catalan toma el prefijo tetraquis-. También es conocido como tetrahexaedro; es de caras no regulares pero uniformes. Su ángulo diédrico es de 143º 8'. Es uno de los poliedros que se han usado para fabricar dados; en la nomenclatura de los dados se le nombra (d24) .
 Imagen del sólido | ||
| Caras | 24 | |
|---|---|---|
| Polígonos que forman las caras | Triángulos Isósceles | |
| Aristas | 36 | |
| Vértices | 14 | |
| Configuración de los vértices | 8 de orden 6 6 de orden 4 En serie: 4, 6, 6 | |
| Grupo de simetría | Octaédrico (Oh) | |
| Poliedro dual | Cubo truncado | |
El triacontaedro rómbico es uno de los sólidos de Catalan cuyo dual es elicosidodecaedro y es un zonoedro. La proporción que hay entre la diagonal más larga y la corta es 2 tan−1(1/φ) = tan−1(2), o sea que el ángulo agudo es 63,43°.
También es una figura especial porque pertenece al escaso grupo de los poliedros de aristas uniformes. Tiene la particular aplicación práctica de dar forma a un dado de treinta caras, a veces utilizado en ciertos juegos de rol. La notación usual de este dado es «D30».
| Triacontaedro rómbico | ||
|---|---|---|
| Familia: Sólidos de Catalan | ||
 Imagen del sólido | ||
| Caras | 30 | |
| Polígonos que forman las caras | Rombos | |
| Aristas | 60 | |
| Vértices | 32 | |
| Configuración de los vértices | 20 de orden 3 12 de orden 5 En serie: 3, 5, 3, 5 | |
| Grupo de simetría | Icosaédrico (Ih) | |
| Poliedro dual | icosidodecaedro | |
El triaquisicosaedro o Icosaedro triakis es uno de los sólidos de Catalan cuyo dual es el dodecaedro truncado. la construcción del triaquisicosaedro se asemeja a unicosaedro al que se le adhirieron pirámides triangulares bajas en cada cara; en la nomenclatura de los sólidos de Catalan esto le da el prefijo triaquis-.
Otros poliedros que también se construyen de esta forma son topológicamente iguales, como el gran dodecaedro o el gran dodecaedro estrellado de los sólidos de Kepler-Poinsot.
 Imagen del sólido | ||
| Caras | 60 | |
|---|---|---|
| Polígonos que forman las caras | Triángulos Isósceles | |
| Aristas | 90 | |
| Vértices | 32 | |
| Configuración de los vértices | 20 de orden 3 12 de orden 10 En serie: 3, 10, 10 | |
| Grupo de simetría | Icosaédrico (Ih) | |
| Poliedro dual | Dodecaedro truncado | |
| Propiedades | ||
| Poliedro convexo, de caras uniformes | ||
El triaquisoctaedro u octaedro triakis es uno de los sólidos de Catalan, que luce como un octaedro a cuyas caras se les ha agregado una pirámide baja de base triangular. En la nomenclatura de los sólidos de Catalan toma por esto el prefijo triaquis-.
Es topológicamente parecido al octaedro estrellado, que no es convexo variando sólo en la distancia del centro a cada uno de los vértices.
 Imagen del sólido | ||
| Caras | 24 | |
|---|---|---|
| Polígonos que forman las caras | triángulos isósceles | |
| Aristas | 36 | |
| Vértices | 14 | |
| Configuración de los vértices | 6 de orden 8 8 de orden 3 En serie 3,8,8 | |
| Grupo de simetría | Octaédrico (Oh) | |
| Poliedro dual | Hexaedro truncado | |
El triaquistetraedro o tetraedro triakis es uno de los Sólidos de Catalan que luce como un tetraedro en cuyas caras se han puesto pirámides bajas de base triangular, lo que le da el prefijo triaquis-. Es el menor sólido de Catalan; el de menor número de aristas, vértices y caras.
 Imagen del sólido | ||
| Caras | 12 | |
|---|---|---|
| Polígonos que forman las caras | triángulos isósceles | |
| Aristas | 18 | |
| Vértices | 8 | |
| Configuración de los vértices | 4 de orden 6 4 de orden 3 En serie 3,6,6 | |
| Grupo de simetría | Tetraédrico (Td) | |
| Poliedro dual | Tetraedro truncado | |
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