Círculo de Mohr

Círculos de Mohr para representar un estado de tensión tridimensional en un punto.

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

Caso bidimensional

Circunferencia de Mohr para un estado de tensión bidimensional.

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

$\begin{cases} \mbox{medida 1} & (\sigma_x, -\tau) \\ \mbox{medida 2} & (\sigma_y, \tau) \end{cases}$

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal

\left( \sigma \right)

y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial

\left( \tau \right)

para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

$C:= (\sigma_\text{med},0) = \left(\frac {\sigma_x + \sigma_y} {2}, 0\right)$

Radio de la circunferencia de Mohr:

$r:= \sqrt{ \left ( \frac { \sigma_x - \sigma_y } { 2 } \right ) ^2 + \tau\ ^2_{xy} }$

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

$\sigma_\text{max} = \sigma_\text{med} + r \qquad \sigma_\text{min} = \sigma_\text{med} - r$

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

$\mathbf{T}\vert_{x,y} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau \\ \tau & \sigma_y \end{bmatrix}$

Caso tridimensional

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

$\mathbf{T}\vert_{x,y,z} = \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx}& \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix}$

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

Circunferencia de Mohr para momentos de inercia

Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro de la circunferencia:

$C:= (I _\text{med},0) = \left (\frac {I_x + I_y} {2}, 0 \right)$

Radio de la circunferencia:

$r:= \sqrt{ \left( \frac {I _x - I _y}{2} \right)^2 + I ^2_{xy}}$

Círculo de Mohr

5.1. Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma.

Sea una barra, sometida a una carga P.
Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nos aparecen unas fuerzas por unidad de superficie (tensiones) que van a ser uniformes y a las que vamos a llamar σ_xporque van en la dirección del eje x.

σ_x = P / A

Si, ahora, cortamos a la barra inicial por la sección oblicua 2-2, de manera que la normal a la sección forme un ángulo φ con el eje de la barra, de donde: σ = σ_xcos φ

La máxima tensión se produce en los puntos de la sección normal al eje de la barra. Esta máxima tensión vale σ_x.

En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale σ_xcos φ.

5.2. Descomposición de σ en una tensión normal y en otra tangencial o cortante.

Vamos a descomponer la tensión σ en otras dos: una en la dirección de la normal a dicha sección, llamada tensión normal σ_n y la otra en dirección paralela a la sección, llamada tensión cortante .

En figura vemos que:

σ_n = σ cos φ = σ_x cos φ

t = s sen j = s_x sen j cos j = (s_x / 2 ) sen 2j

5.3. Efectos que producen la tensión normal y la cortante.

Los esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina):

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

5.4. Convenio de signos de la tensión normal.

La tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la existencia de tensiones normales , pero estas tensiones normales también pueden estar producidas por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos también provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional.

La tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que implican la existencia de tensiones tangenciales.

5.5. Convenio de signos de la tensión cortante.

La tensión cortante es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele denotar por la letra griega tau $\tau\$ . En piezas prismáticas las tensiones cortantes aparece en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.

5.6. Círculo de Morh para la tracción simple.

El circulo de Morh es un circulo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra.

El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

El circulo de Mohr se construye de la siguiente forma:

Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la figura.

Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del circulo de morh.

Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario.

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:

– El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.

– El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.