teorema de Bombieri–Vinográdov (a veces llamado simplemente teorema de Bombieri)¹ es un resultado importante en teoría multiplicativa de números,² una rama de la teoría analítica de números, obtenido a mediados de los años 1960 y nombrado en honor a Enrico Bombieri y A. I. Vinogradov,³ quienes publicaron sobre el tema relacionado de la hipótesis de la densidad, en 1965.

Este resultado es una aplicación del método de la gran criba, que se desarrolló rápidamente a principios de los años 1960, desde sus comienzos en el trabajo de Yuri Linnik dos décadas antes. Además de Bombieri, Klaus Roth también estaba trabajando en este campo.

Enunciado del teorema de Bombieri–Vinogradov

Sea A un número real positivo arbitrario. Entonces

$\sum_{q\leq Q}\max_{1\le a\le q\atop (a,q)=1}\left|\psi(x;q,a)-{x\over\phi(q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^5\right),$

si

$x^{1/2}\log^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.$

Aquí φ(q) es la indicatriz de Euler, que es el número de sumandos para el módulo q, y

\psi(x;q,a)=\sum_{n\le x\atop n\equiv a\mod q}\Lambda(n),

donde

\Lambda

denota la función de von Mangoldt.

Una descripción verbal de este resultado es que trata el término erróneo en el teorema de los números primos sobre las progresiones aritméticas, promediado sobre los módulos q hasta Q. Para cierto rango de Q próximo a √x si se ignoran los factores logarítmicos, el error medio es casi tan pequeño como √x. Este no es un resultado obvio, y sin calcular la media es aproximadamente tan fuerte como laHipótesis Generalizada de Riemann.

teorema de Brahmagupta (llamado así en honor al matemático indio Brahmagupta) da una condición necesaria sobre la perpendicularidad de las diagonales de un cuadrilátero cíclico (inscriptible en un círculo).

Dado un cuadrilátero inscriptible ABCD cuyas diagonales son perpendiculares, se quiere demostrar que AF = FD. Para ello, se demostrará que AF y FD son ambos iguales a FM.

Los ángulos FAM y CBM son iguales (debido al teorema de los ángulos inscritos que intersecan al mismo arco de círculo). Además, los ángulos CBM y CME son ángulos complementarios al ángulo BCM. Finalmente, AFM es un triángulo isósceles, y por consecuencia, sus lados AF y FMson iguales.

De manera análoga se demuestra que FD = FM. Los ángulos FDM, BCM, BME y DMF son todos iguales, luego DFM es un triángulo isósceles, de donde FD = FM. Se sigue que AF = FD, lo que demuestra el teorema.

(BD)\perp (AC)

(EF)\perp (BC)

implica

AF=FD\

La fórmula de Brahmagupta por Al-Shanni

Publicado el 08/05/2015

Si $a,b,c,d$ son los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y $s$ es el semiperímetro, el área $S$ del cuadrilátero es: $S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

A partir de las propiedades (P1) y (P2) de la entrada anterior, a las que llamaremos respectivamente “teorema de la cuerda rota” y “lema de Al-Shanni“, tenemos una bonita demostración geométrica, debida a Al-Shanni (siglo X), de la fórmula de Brahmagupta, que no usa la fórmula de Herón (como la de Euler), ni trigonometría (como la que hoy se encuentra en la wikipedia).

La demostración que sigue es una variante de la de Al-Shanni. En una nota1 final indico la diferencia con la original de Al-Shanni presentada por Al-Biruni2.

(1) Sean $AB=a,BC=b$ dos lados adyacentes de un cuadrilátero, y $a > b.$

Entonces el punto medio $E$ de la quebrada $ABC$ está en el lado $AB$ y $AE=EB+BC=(a+b)/2 \ , \ EB=(a-b)/2.$
Sean $c > d$ los otros dos lados del cuadrilátero y $s$ el semiperímetro.
Como $2s = a+b+c+d, \ \ a+b = (s-c) + (s-d),$ y como $c > d,\ \ (s-c) < (s-d),$ por tanto $(s-c)$ es menor que la mitad de $a+b$ y existe en el segmento $AE$ un punto $U$ tal que $AU = (s-c), \ \ UB+BC = (s-d).$ Y como $AE=((s-d)+(s-c))/2,$ $EU = ((s-d)-(s-c))/2 = (c-d)/2.$

(2) Sea un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en una circunferencia.

La mediatriz de una diagonal $DB$ del cuadrilátero corta a la circunferencia en $G$ y $F$ , puntos medios de los arcos $DAB$ y $DCB.$
Trazamos las perpendiculares $GE$ y $FH$ a los segmentos mayores de las quebradas $DAB$ y $DCB$ . Por el teorema de la cuerda rota, $E$ y $H$ son los puntos medios de esas quebradas y si, en la figura, $AB=a,AD=b,CB=c,CD=d,$ por la observación del párrafo anterior existen puntos $U,V$ en los segmentos $BE, BH$ tales que $BU = (s-c),$ $UA+AD = (s-d),$ $BV=(s-a),$ $VC+CD= (s- b),$ y además $EU = CH, \ \ HV= AE$ .

(3) Como $GF$ es un diámetro de la circunferencia, $\angle GBF$ es recto, y el área del cuadrilátero

$GBFD$ , doble del área de $\triangle GBF$ , es igual a $GB \cdot BF.$ Por el lema de Al-Shanni, $\triangle DGB- \triangle DAB = GE \cdot EA$ y $\triangle DFB-\triangle DCB= FH \cdot HC,$ y entonces el área de $ABCD$ es $S = GB \cdot BF - GE \cdot EA - FH \cdot HC$ .

Por otro lado, aplicando Euclides II.5 a la quebrada $DAB$ , tenemos $BU ( UA+AD) = BE^2 - EU^2,$ y como $BE^2 = GB^2- GE^2,$ y por el párrafo anterior $EU^2 = CH^2$ y $BU=(s-c)$ y $UA+AD = (s-d),$ tenemos $(s-c)(s-d) = GB^2 - GE^2 - CH^2.$

(4) El triángulo rectángulo $GBF$ es semejante al $GEA$ , porque $\angle GAB = \angle GFB,$ y

semejante al $CHF$ porque $\angle FCB = \angle FGB.$
Entonces $\frac{GB}{BF} = \frac{GE}{EA} = \frac{CH}{HF} =$ $\frac{GB^2}{GB \ BF} = \frac{GE^2}{GE \ EA} = \frac{CH^2}{CH \ HF}.$
Por Euclides V.19, si $\dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{w}$ entonces $\dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{w}=\dfrac{x-z}{y-w}$ .
Por tanto $\frac{GB}{BF} = \frac{GB^2- GE^2 - CH^2}{GB \ BF - GE \ EA - CH \ HF},$ o, por el párrafo anterior, $\dfrac{GB}{BF} = \dfrac{(s-c)(s-d)}{S}$ .
Simétricamente $\dfrac{BF}{GB} = \dfrac{(s-a)(s-b)}{S}$ y por tanto $\dfrac{(s-c)(s-d)}{S} = \dfrac{S}{(s-a)(s-b)},$ de donde concluimos $S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ .

1 – Aparte de la notación y el orden de presentación, la diferencia principal entre esta demostración y la de Al-Shanni está en la construcción inicial de los puntos $U, V,$ donde sustituí el argumento de Al-Shanni por el de los párrafos (1) y (2), quizá más cómodo.

Para construir los puntos $U,V$ Al-Shanni demuestra primero que $BH > AE$ y $BE > CH$ de la siguiente forma:

Los triángulos rectángulos $\triangle AEG$ y $\triangle DKG$ son semejantes, porque $\angle GAB = \angle GDB,$ y como $GD > GA$ , tenemos que $DK > AE$ .
Como $K$ es el punto medio del segmento $DB$ y $H$ el de la quebrada $DCB$ , mayor que $DB$ , tenemos que $BH > DK.$
Por tanto $BH > AE.$ De la misma forma $BE > CH.$

Y Al-Shanni coloca los puntos $U,V$ en $EB, HB$ tales que $EU = CH$ y $HV=AE,$ y prosigue con el argumento de los párrafos (3) y (4) para concluir que el área de $ABCD$ es media proporcional entre $BU(UA+AD)$ y $BV(VC+CD)$ .
Por último Al-Shanni observa que, como por el teorema de la cuerda rota $HC+CD+DA+AE$ es igual al semiperímetro, éste será igual también a $CD+DA+AU$ y a $CB+BU$ , y por tanto $BU=s-BC, DA+AU=s-CD$ , y de la misma forma $BV=s-AB, DC+CV=s-DA$ .