Teoremas epónimos de las matemáticas

Teorema de Brianchon

En geometría, el teorema de Brianchon, nombrado así en honor a Charles Julien Brianchon (1783—1864), establece lo siguiente:

Sea ABCDEF un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica. Entonces, los segmentos AD, BE, CF se intersecan en un solo punto.

El punto de intersección se denomina punto de Brianchon.

El teorema de Brianchon se cumple en el plano afín y en el plano proyectivo real. Sin embargo, su enunciado en el plano afín puede ser menos informativo y más complicado que en el plano proyectivo. Considérese, por ejemplo, el caso de cinco rectas tangentes a una parábola. Pueden ser considerardas como cinco de los seis lados de un hexágono, siendo el lado restante la recta del infinito; sin embargo, no hay tal recta en el plano afin (ni en el plano proyectivo a menos que uno escoja una recta para desempeñar ese papel). Una recta que vaya desde un vértice al vértice opuesto sería entonces una recta paralela a una de las cinco rectas tangentes. El teorema de Brianchon para el plano afín no informaría de una situación así.

El teorema dual de este teorema es el teorema de Pascal, que tiene excepciones en el plano afín pero no en el proyectivo.

El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante el concepto de eje radical o la reciprocación.

Teorema de Brianchon

Las rectas que unen los vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto (punto de Brianchon).

Teorema de Brianchon

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Construcción

Dibujamos una circunferencia cualquiera de centro C y sobre ella seis puntos. En cada uno de esos puntos trazamos una recta tangente a la circunferencia. La intersección de estas rectas dará lugar al hexágono ABCDEF. Trazamos las diagonales de los vértices opuestos y comprobamos que se cortan en el punto P (Punto de Brianchon).

Nota

Este teorema fue publicado por Brianchon (1783-1864) en 1804 cuando todavía era alumno de la famosa l´Ecole Polytechnique. Los teoremas de Pascal y Brianchon constituyen el primer ejemplo claro de teoremas “duales” (Boyer, p. 658). En la ley de correlación o de dualidad toda propiedad proyectiva de una figura plana da origen a otra propiedad intercambiando los conceptos “punto” y “recta” y modificando las también las relaciones entre los puntos y las rectas. Así, los teoremas de Pascal y Brianchon pueden enunciarse del siguiente modo: Dado un hexágono  a una cónica, los tres  comunes a los tres pares  de opuestos tienen una  común.

El teorema de Brianchon se debe a Charles Julien Brianchon (1783-1864) y afirma que: Las diagonales de un exágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto. La siguiente figura muestra una elipse inscrita en un exágono. Al punto común a las tres diagonales, coloreado en rojo, en la figura se le conoce como punto de Brianchon. El teorema de Brianchon es el teorema dual del teorema de Pascal. ¿Qué es un teorema dual? Consulta el tema Geometría proyectiva y dualidad. Casos límite Haciendo concidir dos lados consecutivos del exágono en uno solo y sustituyendo el vértice desaparecido por el punto de contacto, obtenemos que En todo pentágono circunscrito a una cónica, la recta que une un vértice con el punto de contacto del lado opuesto, y las diagonales que unen los otros vértices no consecutivos, son tres rectas que concurren en un mismo punto. Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener que: En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, si se toman los puntos de contacto de dos lados que se cortan en un vértice, la recta de unión de este con su opuesto y las de unión de los puntos de contacto con los otros dos vértices son tres rectas que concurren en un mismo punto. O también, En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, las dos diagonales y las rectas que unen los puntos de contacto de lados opuestos son cuatro rectas que concurren en un punto. Por último, En todo triángulo circunscrito a una cónica, las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto de los lados opuestos son tres rectas que concurren en un punto. teorema de Brooks establece la relación entre la valencia máxima del grafo con el número cromático: Si G es un grafo conexo que no sea completo ni un ciclo de longitud impar, entonces  R. L. Brooks, (1941) En donde  es la valencia máxima del grafo G. La siguiente demostración es sólo para grafos no regulares. Basta buscar una ordenación adecuada y aplicar el algoritmo voraz para colorear secuencialmente. Sea G un grafo de n vértices y x un vértice tal que  (que existe por la no regularidad). El vértice x lo colocamos en el último lugar de la ordenación, es decir, x=vn . Los vértices adyacentes a x los enumeramos vn-s, vn-s-1, ..., vn-1, luego consideramos los adyacentes a vn-1 que no han sido ordenados, luego los de vn-2, y así hasta ordenarlos todos (lo cual es posible al ser G conexo). En esta ordenación {v1, v2, ..., vn}, todos los vértices tienen un vértice (o más) adyacente posterior (con subíndice mayor) excepto el vértice x . Luego, el número de vértices adyacentes con subíndice menor es igual o menor a Δ . Al aplicar el algoritmo voraz para colorear surgen los colores prohibidos. El número de colores prohibidos en el paso k de la ejecución del algoritmo es el número de colores usados por lo vértices adyacentes anteriores, y por los vértices anteriores. Luego, en cada paso del algoritmo hay a lo sumo Δ-1 colores prohibidos. Por lo tanto, se puede colorear G con Δ colores.