Teoremas epónimos de las matemáticas

 teorema de Bolzano–Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos secuencialmente compactos.En el análisis real, el teorema de Bolzano-Weierstrass es un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeo dimensionalmente finito Rⁿ. El teorema establece que cada sucesión acotada en Rⁿ tiene una subsucesión convergente. Una formulación equivalente es que un subconjunto de Rⁿ es secuencialmente compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Lema: Cada sucesión { x_n } en R tiene una subsucesión monótona.

Demostración: Vamos a llamar a un número entero positivo n un "pico de la secuencia", si m> n implica x_n > x_m  es decir, si x_n es mayor que todos los términos siguientes de la secuencia. Supongamos primero que la secuencia tiene picos infinitos, n₁ < n₂ < n₃ < … <n_j < … Entonces la subsecuencia correspondiente     a los picos es monótonamente creciente, y ya está. Así que supongamos ahora que sólo hay un número finito de picos, sea N el último pico y n₁ = N + 1. Luego n₁ no es un pico, ya que n₁ > N, lo que implica la existencia de un n₂ > n₁ con    Una vez más, n₂ > N no es un pico, por lo tanto hay n₃ > n₂ con   Repetiendo este proceso conduce a una subsucesión infinita no decreciente   , si lo desea.

Ahora supongamos que tenemos una secuencia acotada en R, por el Lema existe una subsucesión monótona, necesariamente limitada. Pero se sigue del teorema de convergencia monótona que esta subsecuencia deben converger, y la prueba es completa. Por último, el caso general puede ser fácilmente reducida al caso de n = 1 como sigue: dada una secuencia limitada en Rⁿ, la secuencia de las primeras coordenadas es una secuencia real limitado, por lo tanto tiene una subsucesión convergente. A continuación, puede extraer un subsubsucesión en el que convergen las segundas coordenadas, y así sucesivamente, hasta que al final hemos pasado de la secuencia original a subsecuencia n veces - que sigue siendo una subsecuencia de la secuencia original - en la que cada coordenada converge secuencia , por lo tanto, la propia subsucesión es convergente.

Supongamos que A es un subconjunto de Rⁿ con la propiedad de que toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente a un elemento de A. Entonces, A debe ser limitada, pues de lo contrario existe una secuencia en la x_m en A con || x_m || ≥ m para todos los m, y luego cada subsecuencia es ilimitada y por tanto no convergentes. Por otra parte A debe ser cerrado, ya que desde un punto de no interior x en el complemento de A se puede construir una secuencia A con valores de convergencia a x. Así, los subconjuntos A, de Rⁿ, para que cada secuencia en la A tiene una subsucesión convergente a un elemento de A –  es decir, los subconjuntos que están secuencialmente compacto en la topología de subespacio –  son precisamente los conjuntos cerrados y limitados. Esta forma del teorema hace especialmente clara la analogía con el Teorema de Heine-Borel, que afirma que un subconjunto de Rⁿ es compacto si y solo si es cerrado y acotado. De hecho, la topología general nos dice que un espacio es compacto metrizable si y solo si es secuencialmente compacto, de modo que la de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel son esencialmente los mismos.

Teorema de Weierstrass

Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].

Es decir, que hay al menos dos puntos x₁, x₂ pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.

Ejemplo 

 es continua en el intervalo [−1, 4]

1Demuestra que la función f(x) = x² − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función:  ?

2Sea la función:

¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]?

3Sea la función f(x)= x² + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]?

4Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x³ + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2.

5Sea la función f(x) = x³ − x² + 1. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1,2] tal que f(c) = 0?

6Justificar que la función polinómica f(x) = x³ + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0.

7Demostrar que la ecuación e^−x + 2 = x tiene al menos una solución real.

8Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x.

9Dada la función:

Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1.

TEOREMAS DE BOLZANO Y DE WEIERSTRASS

1.- APROXIMACIÓN A LOS TEOREMAS.

A) DEFINICIONES BÁSICAS.

Recordarás que, si a y b son números reales, con a, el intervalo cerrado [a,b] es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b, es decir, [a,b]= {x Î R | a £ x £ b}.

También sabes que una función f(x) es continua en un punto x₀ Î R si coincide el valor de la función en el punto x₀ con el límite de la función cuando x tiende a x₀ .

Intuitivamente, significa que los valores que toma la función en puntos próximos a x₀ están cerca del valor que toma en x_0.
Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en cada uno de sus puntos.
Intuitivamente, significa que la gráfica de la función en [a,b] no se corta, que se puede recorrer con un solo trazo.

B) TEOREMA DE BOLZANO.

Sea pues f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a,b] de la recta real, es decir, su gráfica no se corta. Supongamos que f(a) y f(b)sean valores de distinto signo (por ejemplo, f(a)>0 y f(b)<0 i="">), o lo que es lo mismo, que la gráfica de f(x) tenga un punto por encima del eje horizontal (el (a,f(a))) y otro por debajo (el (b,f(b))). Parece lógico pensar que la gráfica de f(x) corte al eje horizontal, o dicho de otra forma, que f(x) se anule en algún punto c del intervalo [a,b] y al no anularse en los extremos, debe hacerlo en el intervalo abierto (a,b).

Eso es precisamente lo que dice el teorema de Bolzano: si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo, se anula en al menos un punto c del intervalo abierto (a,b).

El teorema no dice cuál es el punto c en el que se anula la función ni el número de puntos en los que se anula; tan sólo dice que se anula en algún (o algunos) punto del intervalo abierto.

Al punto en el que se anula la función f(x) se le suele llamar raíz (o cero) de f(x), luego la tesis del teorema dice que f(x) tiene al menos una raízen (a,b).

El teorema de Bolzano se usa, sobre todo, para hallar aproximaciones a las raíces de las ecuaciones, es decir, a los ceros de las funciones, según se verá en el apartado dedicado a problemas.

También parece intuitivo que una función f(x) continua en el intervalo [a,b] tome cualquier valor comprendido entre f(a) y f(b).Esta es una consecuencia sencilla del teorema de Bolzano y se llama teorema de Darboux o de los valores intermedios.

El teorema de Darboux se demuestra fácilmente: si p es un número real comprendido entre f(a) y f(b), basta aplicar el teorema de Bolzano a la función f(x)-p.

C) TEOREMA DE WEIERSTRASS.

Si f(x) está definida en [a,b], decimos que tiene un máximo absoluto en x₁ Î [a,b] si f(x₁)³ f(x), para todo x Î [a,b]. La función f(x) tiene unmínimo absoluto en el punto x₂ Î [a,b] si f(x₂) £ f(x), para todo x Î [a,b].

Hay otra propiedad que parece que debe cumplir una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a,b] que es la siguiente: la función, al dibujarse con un solo trazo en el intervalo cerrado, no puede tomar valores que crezcan indefinidamente tanto por arriba como por abajo (como podría hacer en un intervalo abierto); más bien, parece que los valores que toma deben estar limitados, es decir, que la función debe tener un máximo y un mínimo absolutos. Esto es lo que asegura el teorema de Weierstrass que dice:

Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene en [a,b] un máximo y un mínimo absolutos, al menos.

Tampoco dice nada el teorema sobre los puntos en los que la función alcanza los extremos ni cuántos de éstos tiene.

Una sencilla consecuencia del teorema de Weierstrass es que, si f(x) es continua en [a,b] y llamamos m al mínimo y M al máximo def(x) en [a,b], la imagen de f es el intervalo [m, M] y por tanto, la función está acotada.

El teorema de Bolzano y el de Weierstrass son resultados que parecen intuitivos y evidentes pero demostrarlos rigurosamente es díficil, ya que es necesario usar propiedades "profundas" de la estructura de la recta real (habitualmente se demuestran usando la propiedad de existencia del supremo o la de los intervalos encajados). Las demostraciones se salen del nivel de este curso por lo que no aparecen aquí.

D) NOTAS BIOGRÁFICAS SOBRE BOLZANO Y WEIERSTRASS.

Quizá tengas curiosidad por saber quiénes fueron los dos matemáticos que dan nombre a los teoremas que estudiamos en esta lección; aquí tienes una escueta información sobre la vida y obra de cada uno de ellos.

Bernhard Bolzano fué un sacerdote católico, filósofo y matemático checoslovaco, de ascendencia italiana, nacido y muerto en Praga (1.781-1.848).

Se adelantó a los analistas del siglo XIX en conceptos tales como función continua, criterios de convergencia de series, etc.
En su obra más importante "Paradojas del infinito" (publicada hacia 1.847) se reconoce por primera vez la necesidad de demostrar rigurosamente proposiciones aparentemente evidentes, aunque sus ideas son más filosóficas que matemáticas.
Contribuyó a la sistematización de la teoría de funciones y fué un precursor de la aritmetización del análisis, enunciando en 1.817 el teorema que estudiamos aquí.
Como filósofo, fué un profundo conocedor de la filosofía escolástica y uno de los fundadores de la fenomenología.

Karl Weierstrass fué un matemático alemán, nacido en Ostenfelde y muerto en Berlín (1.815-1.897).

Fué profesor del Instituto Industrial y de la Universidad de Berlín, donde tuvo a H. E. Heine como alumno.
Introdujo el rigor matemático en el cálculo de variaciones y dió un ejemplo de función continua no derivable en ningún punto.

Investigó en diversos campos de las Matemáticas, destacando sobre todo, en análisis funcional y funciones analíticas y elípticas, siendo uno de los matemáticos que culminaron las investigaciones en torno a la idea de función y su aritmetización.