Teoremas epónimos de las matemáticas

 teorema del punto fijo de Brouwer (nombrado así en honor al matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer) forma parte de la familia de los así llamados «teoremas de punto fijo»,¹ que enuncian que, si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x₀ tal que f(x₀) = x₀, es decir, un punto fijo de la función. La forma más simple del teorema de Brouwer asume por hipótesis que la función f está definida sobre un intervalo cerrado y acotado, de extremos diferentes, J en sí mismo.² De manera más general, la función está definida sobre un conjunto convexo ycompacto K de un espacio euclídeo y a valores en K.- .....................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_punto_fijo_de_Brouwer&printable=yes

teoremas del punto fijo .- ....................:http://www.um.es/functanalysis/meetingsold/LaManga/pdfs/A1.pdf

teorema de Cantor es un resultado formalizable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel, que afirma lo siguiente:

El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A. El teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos: si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto de partes de ese conjunto tiene 2n elementos. El hecho de que sea válido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes: Existe una infinidad de cardinales transfinitos, lo cual significa que en realidad existen muchos tipos de infinito (de hecho una infinidad) cada uno mayor que el anterior. Este resultado a priori es muy poco intuitivo, pero tremendamente importante en la fundamentación de las matemáticas. No existe ninguna manera de enumerar todos los subconjuntos de . Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuación una demostración. Consideremos una función cualquiera , entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no essobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un subconjunto particular B definido como: Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de A. El argumento que construyó Cantor es por reducción al absurdo presuponiendo que existe , puesto que B es un subconjunto de A. Ahora podemos distinguir dos casos: Si , entonces por la definición de B se tiene que , lo cual es contradictorio. Si , entonces por la definición de B se tiene que , lo cual es contradictorio. En ambos casos llegamos a una contradicción, por tanto no existe dicha a y entonces f (que es una función cualquiera) no es sobreyectiva, como queríamos demostrar. La diagonalización de Cantor Este artículo está basado en una colaboración enviada por Daniel. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos puedes enviar tus propuestas a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Introducción En las últimas semanas habéis podido leer en Gaussianos un par de artículos relacionados con los conjuntos infinitos y sus peculiaridades. A saber, Qué extraño es el infinito y El mALEPHicio del infinito. En este último se alude a la demostración de Cantor de la imposibilidad de poner en correspondencia biunívoca el conjuntos de los naturales, , con el conjunto de los reales, . En este artículo vamos a desgranar dicha demostración. La demostración de Cantor Como hemos dicho antes, en El mALEPHicio del infinito vimos cómo poder en correspondencia uno a uno el conjunto de los naturales positivos con el conjunto de los enteros distintos de cero y con los racionales positivos (y por extensión con los racionales). Y comentamos que no podemos hacer lo mismo con los reales. Para demostrar este hecho comenzamos con un resultado previo: Lema: El cardinal del intervalo  es el mismo que el cardinal de . Demostración: La idea de la demostración es encontrar una función que pongan en correspondencia uno a uno el intervalo  con . Este tipo de funciones se llaman biyectivas. La función que buscamos es composición de dos: La primera es la función , que establece una biyección entre el intervalo  y el intervalo . Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo. La segunda es . Esta función es una biyección entre el intervalo  y , es decir, pone en correspondencia biunívoca ese intervalo con el conjunto de los números reales. Realizando la composición de las dos obtenemos una biyección entre el intervalo  y . Por tanto ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. La idea ahora es demostrar que el infinito de los números reales es mayor que el de los naturales. Para ello veremos que el cardinal de estos últimos es menor que el de los primeros. Pero antes vamos a dar una definición sobre esto que nos va a echar una mano: Dados dos conjuntos, , decimos que el cardinal de  es menor que el cardinal de ,  pueda ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto de  para decir que , no es numerable, es decir,  que pueda ponerse en correspondencia uno a uno con . Ese subconjunto va a ser el propio , que como sabemos es un subconjunto de los reales. Ya tenemos entonces la primera parte: podemos poner en correspondencia biunívoca a  con un subconjunto de . Según el resultado demostrado anteriormente tenemos que . Por ello si demostramos que  y  son el mismo número) tendríamos algo así: La clave es la siguiente: vamos a encontrar un elemento del intervalo  que no corresponde con ningún número natural. Para ello tomamos  y nos quedamos con su primer decimal, al que sumamos 1 obteniendo ; tomamos ahora  y nos quedamos con su segundo decimal, sumándole también 1, obteniendo ; y así sucesivamente (si alguno de ellos es un 9 ponemos un cero). Ahora formamos el número siguiente: Para que se entienda mejor pongo el siguiente ejemplo: Si tenemos las siguientes relaciones: construiríamos . Es evidente que, construido así,  y también es claro que  no corresponde con ningún número natural, ya que difiere con  en (al menos) el primer decimal, con  en (al menos) el segundo, con  en (al menos) el tercero… Hemos encontrado entonces un elemento del intervalo  que no corresponde con ningún número natural en cualquier correspondencia que podamos crear entre estos dos conjuntos. teorema de Schröder y Bernstein establece un criterio para establecer si existe una función biyectiva entre dos conjuntoscualesquiera A y B: Para cualesquiera conjuntos A y B, si existe una función inyectiva de A en B y existe una función inyectiva de B en A, entonces existe una correspondencia biunívoca entre B y A. Formalmente: El teorema puede parecer trivial para conjuntos finitos, pero el enunciado del teorema se cumple para conjuntos de cualquier cardinalidad. El teorema resulta útil en muchos casos para poder determinar si un conjunto tiene la misma cardinalidad que otro conjunto, ya que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad justo cuando existe una correspondencia biunívoca entre ellos.