Teoremas epónimos de las matemáticas

 teorema de Desargues, llamado así en honor a Gérard Desargues, expone:

En el plano proyectivo, dos triángulos son proyectivos desde un punto si y sólo si son proyectivos desde una recta.

Considere los triángulos ABC y DEF. El que los triángulos sean proyectivos desde un punto significa que las rectas AD, BE y CF concurren en un mismo punto O. De modo parecido, el que los triángulos sean proyectivos desde una recta significa que los pares de lados (AB, DE), (BC, EF) y (AC, DF) se cortan respectivamente sobre una misma recta r.

Al punto O se le llama centro de perspectiva y a la recta r, eje de perspectiva.

Para demostrar este teorema, considere los planos p y q secantes en la recta r. Sea AB un segmento sobre el plano q y M la intersección de la recta AB con la recta r. Sean S y T dos puntos exteriores a dichos planos. Sean C y D las proyecciones sobre el plano p de los puntos A y B desde el punto S y E y F las proyecciones del mismo segmento AB desde el punto T sobre el plano p.

El plano determinado por los puntos SAB corta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, pero considerando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r.

Sea O la intersección de la recta ST sobre el plano p. El plano STA corta al plano p sobre la recta CE que contiene al punto O. De manera similar, el plano STB corta al plano p en la recta DF que también contiene al punto O. Por tanto, las rectas CE y DF se cortan en dicho punto.

De modo que los pares de puntos C, E y D, F son proyectivos desde el punto O. Las rectas CD y EF son proyectivas desde la recta r.

El recíproco también es cierto: Si las rectas CD y EF pertenecen al mismo plano p, son proyectivas desde una recta r y los puntos correspondientes C, E y D, F son proyectivos desde un punto O en dicho plano, entonces existe un plano q, secante al plano p en r, una recta AB sobre dicho plano y un par de puntos exteriores a ambos planos desde los cuales la recta AB se proyecta sobre CD y EF, el punto A sobre C y E, y el punto B sobre D y F.

En el teorema de Desargues, podemos considerar los triángulos como las proyecciones de un único triángulo sobre algún plano q desde dos puntos distintos S y T. La recta r y el punto O son respectivamente, la intersección del plano q con aquel donde los dos triángulos son proyectivos y la intersección de la recta ST con aquel plano. Los vértices correspondientes en ambos triángulos serán proyectivos desde el punto O y los lados correspondientes de ambos triángulos serán proyectivos desde la recta r. Esto demuestra el teorema.

Teorema de Desargues: Sean ABC y A’B’C’ dos triángulos con vértices y aristas diferentes. Los puntos de intersección de las rectas que forman las aristas tomadas dos a dos, es decir los puntos P = AB ÇA’B’, Q = BC ÇB’C’ y R = ACÇA’C’, están alineados si y sólo si las rectas AA’, BB’ y CC’son concurrentes. DESARGUES Y PASCAL En el contexto de los trabajos de perspectiva del Renacimiento y ante la aparición de nuevos problemas en la ciencia aplicada, surgen en el siglo XVII varias figuras clave en la recuperación de los conocimientos geométricos griegos y en los nuevos enfoques que dieron lugar al nacimiento de la Geometría Proyectiva. Además de Kepler, que se orientó más hacia la Óptica y la Astronomía, tres son los nombres que se destacan:  Girard Desargues (1591-1661),  Blaise Pascal (1623-1662) y  Philippe de la Hire (1640-1718). Por la importancia de sus resultados nos centraremos en los dos primeros: Desargues investiga: Las secciones cónicas y los puntos del infinito. La invarianza de la razón doble y las cuaternas armónicas. La teoría de polares, y, por supuesto, obtiene su famoso Teorema de Desargues. El trabajo de Pascal  se concentra en su Essay pour las coniques, donde aparece el teorema que hoy lleva su nombre, uno de los más bellos y sugestivos de la matemática. El teorema de Pappus puede considerarse como el caso no regular del Teorema de Pascal. Desgraciadamente, el siglo XVII no era adecuado para la geometría pura. Los problemas científicos del momento requerían métodos algebraicos más efectivos para los cálculos que la tecnología necesitaba. Por esto, la Geometría Proyectiva fue abandonada en favor de la Geometría Analítica, el Álgebra y el Cálculo Infinitesimal. Los resultados de Desargues, Pascal y de la Hire se olvidaron hasta principios del siglo XIX, cuando se produjo el resurgimiento de la geometría pura.  Teorema de Desargues en el plano Teorema de Desargues en el espacio TEOREMA DE DESARGUES: Si proyectamos un triángulo de vértices A,B,C desde un punto O obtenemos otro triángulo de vértices A',B',C', y decimos que los dos triángulos son perspectivos. Entonces, dos triángulos son perspectivos si y sólo si los lados correspondientes se cortan en puntos alineados. RAZON DOBLE: La pregunta de Alberti: ¿qué se conserva por proyección, si no lo hacen ni la longitud ni los ángulos?, da lugar a estudiar cuándo varios puntos dados en una recta se pueden transformar (por proyecciones sucesivas) en otros tantos dados en otra.  Si se tienen tres puntos, esto siempre es posible. El invariante numérico que interviene para cuatro puntos A,B,C,D es su razón doble (CA/CB):(DA/DB), pues cuatro puntos se pueden transformar en otros cuatro si la razón doble de los primeros es la misma que la de los segundos. TEOREMA DE PASCAL: Si se inscribe un hexágono en una cónica, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos están alineados. Hexagrama místico de Pascal TEOREMA DE PAPPUS: Sean L y L' dos rectas distintas del plano proyectivo. Si A,B,C están en L y  A',B',C' en L', y ninguno de ellos es el punto de intersección de las rectas, entonces  los tres puntos de intersección:  (1) P  de BC' con CB', (2) Q  de CA' con AC', y  (3) R  de AB' con BA', están alineados.  teorema de los círculos de Descartes establece la relación entre cuatro círculos tangentes entre sí por medio de su curvatura. Este problema geométrico ha sido abordado por milenios. En la Grecia Antigua, del siglo III a. C. Apolonio de Perga dedicó un libro entero al tema, lamentablemente el libro llamado Sobre tangencias, no está entre sus obras sobrevivientes. En él se describía el que será el tamiz de Apolonio. René Descartes abordó el problema en 1643, en una carta a la princesa Isabel de Bohemia y del Palatinado. Da una solución al problema, y por lo tanto, se atribuye su nombre al teorema. Frederick Soddy redescubrió en 1936 la solución, por lo cual, este problema es a veces conocido como los círculos besadores de Soddy, porque Soddy escogió para publicar su versión del teorema en la forma de un poema titulado The Kiss Precise, publicado en la revistaNature (20 de junio de 1936). Soddy también extendió el teorema de las esferas; Thorold Gosset prorrogó el teorema a dimensiones arbitrarias. Fifi y hel :v El teorema es más fácil de enunciar en términos de la curvatura de los círculos. La curvatura de un círculo se define como , donde r es el radio. Mientras más grande el círculo, menor es la magnitud de su curvatura, y viceversa. El signo (+) en la curvatura se aplica a un círculo que es tangente exterior a los demás círculos, al igual que los tres círculos (negros) en la imagen. Internamente tangente de un círculo como el gran círculo (rojo), que circunscribe a los demás círculos, se aplica el signo (-). Si consideramos una línea recta como un círculo degenerado de curvatura k = 0, el teorema es igualmente aplicable. Si cuatro círculos son mutuamente tangentes de curvatura ki (para cada i = 1,...,4), el teorema nos dice: Al tratar de encontrar el radio del cuarto círculo tangente a los otros tres círculos, la ecuación se reescribe como: El signo ± refleja que en general existen dos soluciones, criterios externos pueden favorecer una solución sobre la otra en un determinado problema. Círculos tangentes. Dado tres círculos mutuamente tangentes (negro), ¿Cuál es el radio del cuarto círculo? . En general hay dos soluciones posibles (rojo).