domingo, 6 de septiembre de 2015

Teoremas epónimos de las matemáticas

 Teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones.
Todo grupo es isomórfico a un subgrupo de un grupo simétrico. Si el grupo es finito y tiene orden n, entonces es isomórfico a un subgrupo de S_n
Sea G un grupo y g un elemento de este grupo.Definimos la aplicacióntPlantilla:Ind de G en G como la traslación a la izquierda :
\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx.
La asociatividad de la ley de grupos confirma que :
(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h.
Se deduce en particular que tPlantilla:Ind es una permutación de biyeccion recíproca t_{g^{-1}}), lo que permite definir una aplicación \varphi de Gen S(G) por :
\forall g \in G \qquad \varphi (g)=t_g
  • Por tanto, laimagen de \varphi, notada Im(\varphi), es un subgrupo de S(G).
  • Demostremos que \varphi es inyectiva. Para ello consideremos g y h dos elementos del grupo. Si tPlantilla:Ind y tPlantilla:Ind son iguales, entonces las imágenes del elemento neutro por dos aplicaciones también son iguales y g es igual a h. Esto prueba que la aplicación es efectivamente inyectiva.
  • La aplicación G en Im(\varphi) que a todo elemento g~ de G asocia \varphi(g) est entonces también un morfismo inyectivo. Además essobreyectiva por propia construcción, y por tanto un isomorfismo de grupos. Así pues, G es isomorpho a su imagen, un subgrupo deS(G).


El Teorema de Cayley

Además de para buscar los autovalores el polinomio caracteristico puede ser usado para otras cosas, por ejemplo, buscar $A^{-1}$ cuando esto sea posible. El resultado teórico en el que nos basamos es el Teorema de Cayley que afirma que toda matriz es raiz de su polinomio característico, es decir, si consideramos $p(\lambda )= \mid A-\lambda I \mid $, entonces $p(A)=0$ donde interpretamos $p(\lambda )$ como polinomio en el anillo de las matrices cuadradas.
Por ejemplo si $p(\lambda )=\lambda ^3+5\lambda ^2-\lambda +3$ es el polinomio característico de una matriz $A\in M_{3\times 3}$ entonces

\begin{displaymath}p(A)=A^3+5A^2-A+3I_3=0\end{displaymath}


Por tanto la inversa de $A$ es

\begin{displaymath}A^{-1}=\frac{-1}{3}(A^2+5A-I_3)\end{displaymath}


Si tenemos una matriz $2\times 2$ cuyo polinomio característico es $\lambda ^ 2 -1$ entonces según el teorema de Cayley $A^2-I_2=0$, es decir $A^2=I_2$, luego $A=A^{-1}$.
Si para una cierta $A\in M_{3\times 3}$ $p(\lambda )=\lambda ^3+2\lambda ^2+\lambda$ es su polinomio característico, entonces $\lambda =0$ es un valor propio y esto quiere decir que $ \mid A-0I_3 \mid = \mid A \mid =0$ y por tanto $A$ no tiene inversa. Fijémonos que en general si evaluamos en $0$ obtenemos que el término independiente del polinomio es precisamente el determinante de $A$.









teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.
En términos matriciales, eso significa que :
si A es una matriz cuadrada de orden n y si
p(X)= \det(XIn-A) = X^n + p_{n-1}X^{n-1} + \ldots + p_1 X + p_0
es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces al sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:
p(A)= A^n + p_{n-1}A^{n-1} + \ldots + p_1 A + p_0 I_n = 0_n.\;
El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.- .................................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Cayley-Hamilton&printable=yes








Teorema de Ceva es un teorema de geometría elemental. Lleva el nombre de Giovanni Ceva (1648-1734), matemático italiano, quien lo formuló precisando la condición necesaria y suficiente.
El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si
\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,
donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo).

Proposición directa

Sean A,B,C vértices de un triángulo cualquiera y los puntos L,M, N en sus respectivos lados opuestos. El teorema de Ceva expresa si las rectas Al, BM y CN pasan por un mismo punto entonces

\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1,

Proposición recíproca

Si en cada lado de un triángulo se escoge un punto (no coincidente con el vértice) de tal modo que el producto de las razones, en que los puntos señalados dividen los lados del triángulo, sea igual a 1, entonces las rectas que unen los vértices del triángulo y los puntos de lados opuestos pasan por un mismo centro (punto).En forma sucinta si \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1, entonces Al, BM, y CN pasan por el mismo punto. 1


Existe una forma trigonométrica equivalente del teorema de Ceva, que establece que , AD,BE,CF son concurrentes si y solo si
\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD} \cdot \frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE} \cdot \frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}=1.



El teorema de Ceva, caso 1: las tres líneas son concurrentes en un punto O dentro de ABC.
El teorema de Ceva, caso 2: el punto O se encuentra fuera de ABC.
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)