AMIGOS PARA SIEMPRE: Teoremas epónimos de las matemáticas

Teorema de Cauchy es un caso particular de los Teoremas de Sylow. Afirma que para todo grupo finito G, si existe un primo p que divide al orden del grupo (donde el orden del grupo es el número de elementos de G), entonces existe un elemento a de G que tiene orden p (donde el orden de a es el menor entero positivo k tal que a^k = e, siendo e el elemento unidad de G).

teorema del valor medio de Cauchy es una generalización delteorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones

\textstyle \frac{0}{0}

\textstyle \frac{\infty}{\infty}

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Sean $f$ y $g$ continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$ . Entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que:

$(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,$

En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces podemos escribir:

$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot$

Augustin Louis Cauchy

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Sea G(x) una función definida como:

$G(x) = [g(b)-g(a)] \cdot [f(x)-f(a)] - [f(b)-f(a)] \cdot [g(x)-g(a)] \,\!$

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.

Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:

$G'(x) = [g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)] \cdot g'(x)$

y sabiendo que G'(c) es 0

$0 = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)$

de donde se deduce que

$[f(b)-f(a)]\cdot g'(c) = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)$

Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de

\textstyle \frac{0}{0}

\textstyle \frac{\infty}{\infty}

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe un punto c pertenece

(a, b) tal que:

El valor del primer miembro es constante:

La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x), tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.

Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.

Ejemplos

1 Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:

f(x) = x² − 2x + 3 y g(x) = x³ − 7x² + 20x − 5.

En caso afirmativo, aplicarlo.

Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en

por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) .

Además se cumple que g(1) ≠ g(4).

Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:

2 Analizar si el el teorema de Cauchy es aplicable a las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x en el intervalo [0, π/2].

Las funciones f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas y derivables en toda la recta real.

Y en particular son continuas en el intervalo [0, π/2] y derivables en (0, π/2).

g(π/2) ≠ g(0)

Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Cauchy:

g' (c) ≠ 0 −sen(π/4) ≠ 0.

El teorema integral de Cauchy, descubierto por Augustin Louis Cauchy en 1825, es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja.

Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D entonces para cualquier contorno cerrado simple contenido en D se tiene:

\oint_C f(z)dz = 0

Posteriormente, Edouard Goursat demostró que no era necesario considerar la hipótesis de que la derivada de f fuera continua para asegurar que el valor de la integral sea cero. De esta manera:

El teorema sigue siendo válido cuando el contorno C no es simplemente conexo pero tiene un número finito de "agujeros".
Sea C un contorno simple cerrado, y sean C_j (j=1, 2, ..., n) un número finito de contornos simples cerrados dentro de C, tales que las regiones interiores a cada C_j no tengan puntos en común. Sea R la región cerrada formada por todos los puntos dentro de C, salvo los puntos interiores a cada C_j. Denotamos por F toda la frontera orientada de R formada por C y todos los contornos C_j, recorridos en un sentido tal que los puntos interiores de R queden a la izquierda de F. Entonces, si f es analítica en todo R,

\oint_F f(z)dz = 0

A raíz de este trabajo, actualmente el teorema es conocido como teorema integral de Cauchy-Goursat.

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, se pueden demostrar proposiciones como la siguiente:

Sea ƒ(z) analítica sobre C, siendo C un contorno cerrado simple, y en el interior de C. Si se toma un punto interior "

z_0

" de C, se cumple que:

\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2 \pi i f(z_0)

que corresponde a la fórmula integral de Cauchy.

Teorema de Cauchy-Hadamard, llamado así por los matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy y Jacques Hadamard, estableciendo el radio de convergencia de una serie de potencias que aproxima una función en torno de un punto a.Considérese la serie de potencias formal de una variable compleja z de la forma

f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}

donde

a,c_n\in\mathbb{C}.

Entonces el radio de convergencia de ƒ en el punto a estará dado por

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \big( | c_{n} |^{1/n} \big)

donde lim sup denota el límite superior, el límite cuando n tiende a infinito del supremo de una sucesión de valores después de la n-ésima posición. Si la secuencia de valores no está acotada, de manera que lim sup sea ∞, entonces la serie de potencias no convergerá cerca de a, mientras que si el lim sup es 0 entonces el radio de convergencia será ∞, lo cual significa que la serie de potencias converge en todo el plano complejo.

Sin pérdida de generalidad asumiremos que