AMIGOS PARA SIEMPRE: Teoremas epónimos de las matemáticas

domingo, 6 de septiembre de 2015

Teoremas epónimos de las matemáticas

teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz oteorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.

Caso general

Sea : $f \colon A \subseteq \Bbb{R}^n \to \Bbb{R} \,$ , A un conjunto abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en A.

Entonces para cualquier punto $(a_1, a_2, \dots, a_n) \in A,$ se cumple que:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).$

Enunciado del teorema en dos variables

Sea

$f : \Omega \subseteq \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}$

una función de dos variables, definida en un conjunto abierto $\Omega$ del plano $\mathbb{R}^{2}$ . Si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en $\Omega$ ( $f\in \mathcal{C}^2(\Omega)$ ) estas son iguales, es decir:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \equiv \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

Demostración

Sea

p = (x_0, y_0) \in \Omega \,

Y sean

\varepsilon \,

\delta > 0 \,

reales tales que

(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \times (y_0 - \delta, y_0 + \delta) \subset \Omega \,

. Lo cual es posible, ya que

\Omega \,

es un abierto de

\mathbb{R}^2 \,

Se definen dos funciones

F \,

G \,

F : (-\varepsilon, \varepsilon) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \,

G : (-\delta, \delta) \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \,

de modo que:

F(t) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0 + t, y_0) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, \varepsilon) \,

G(s) = f(x_0 + t, y_0 + s) - f(x_0, y_0 + s) \qquad \forall s \in (-\delta, \delta) \,

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

F(t) - F(0) = (t - 0) F'(\xi_1) = t \left[ \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0 + s) - \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \xi_1, y_0) \right] =

= t s \frac{{\partial}^2 f}{\partial y \partial x} (x_0 + \xi_1, y_0 + \sigma_1) \,

y análogamente:

G(s) - G(0) = s t \frac{{\partial}^2 f}{\partial x \partial y} (x_0 + \xi_2, y_0 + \sigma_2) \,

con

\xi_i \in (0, t) \,

\sigma_i \in (0, s) \,

, por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen

t, s > 0 \,

Luego haciendo tender

t \,

s \,

0 \,

se logra la tesis.

3. DERIVADAS PARCIALES

Si y = f(x) es una función de una variable. Su primera derivada

(1)

se interpreta como la razón de cambio instantanea de y con respecto de x.

Para una función z = f(x, y) de dos variables, se comprende que de manera analoga la razón con la que cambia al variar x y y (ya sea de manera individual o simultaneamente).

La razón de cambio de z con respecto de x, se obtiene dejando fija a y y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y)

(2)

Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto de y en el punto (a, b), se obtiene dejando fija a x y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y) donde x = a es constante se denota como

(3)

Algunas otras notaciones comunes para las derivadas parciales son:

(4)

Observemos que si eliminamos la variable y de la ecuación (2), tendriamos el límite de la ecuación (1). Esto significa que podemos calcular (2) como una derivada ordinaria con respecto de x, considerando ay como constante durante el proceso de derivación . De manera similar, podemos calcular (3) como una derivada ordinaria, tomando a y como la única variable y tratando a x como una constante durante el cálculo.

Regla para hallar derivadas parciales de z = f(x, y)

Para hallar Dx, considere y como constante y derive f(x,y) con respecto ax

Para hallar Dy, considere x como constante y derive f(x,y) con respecto ay

Ejemplo 1. Si