teorema de Beatty señala la condición necesaria y suficiente para que dos sucesiones pseudo-aritméticas sean una partición de

\mathbb{N}^*

. Fue publicado en 1926 por el matemático canadiense Samuel Beatty, profesor de la Universidad de Toronto.¹ Otra demostración de este teorema se publicó en 1927 por A.Ostrowski (Basilea) y A. C. Aitken (Chicago).

Afirma la relación de equivalencia de los dos puntos siguientes :

Los números p et q son positivos, irracionales y verifican $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
Las dos secuencias de enteros $P = (E(np))_{n \in \mathbb{N}^*}$ y $Q = (E(nq))_{n \in \mathbb{N}^*}$ forman una partición del conjunto $\mathbb{N}^*$

en donde la función E designa la función parte entera. El resultado no es generalizable (engañosamente): no es posible hacer una partición de

\mathbb{N}^*

con más de tres sucesiones pseudo-aritméticas.

Sean p y q dos reales estrictamente positivos, tales que las sucesiones P y Q formen una partición de

\mathbb{N}^*

El resultado se vuelve intuitivo si se introduce la densidad de una parte A de

\mathbb{N}^*

, es el límite - si existe - cuando n tiende a

+ \infty

\frac{\textrm{card}A \cap \{1, \dots, n\}}{n}

. Por ejemplo, el conjunto de números pares (o el conjunto de números impares) tiene una densidad que es de 1/2, el conjunto de números primos tiene una densidad de 0.

Se ve fácilmente que los conjuntos

\{E(n\alpha), n \in \mathbb{N}^*\}

donde

\alpha

es un real positivo tienen densidad

\frac{1}{\alpha}

. Los soportes de las secuencias P y Q forman una partición de

\mathbb{N}^*

, luego la suma de sus densidades vale 1 :

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

Además, p y q no pueden ser racionales los dos, dado que si por caso

p = \frac{a_1}{b_1}, q = \frac{a_2}{b_2}

, entonces

E(b_1 a_2 p) = E(b_2 a_1 q) (= a_1a_2)

. Las sucesiones P y Q no tienen ningún elemento en común. Una de las dos es irracional, por consiguiente las dos son irracionales (pues

p^{-1} + q^{-1} = 1

Recíprocamente, si p et q son irracionales y

p^{-1} + q^{-1} = 1

, se prueba por absurdo que los soportes de las sucesiones P y Q son disjuntas. Sea k un entero que se escribe bajo la forma

k = E(np) = E(mq)

Por definición de parte entera, se tienen las inecuaciones siguientes :

k \leq np < k + 1 \mbox{ y } k \leq mq < k + 1

Si se divide la primera inecuación por p, y la segunda por q :

\frac{k}{p} \leq n < \frac{k}{p} + \frac{1}{p} \mbox{ y } \frac{k}{q} \leq m < \frac{k}{q} + \frac{1}{q}

Sumando las dos inecuaciones, se obtiene :

k \leq n + m < k + 1

k, n y m siendo enteros, esto imlica

k = n + m

; se sigue forzosamente la igualdad entre las dos inecuaciones precedentes. Entonces k = np y k = mq. Lo cual es absurdo dado que p y q son irracionales.

Ahora se demuestra que todo entero natural no nulo es alcanzado por una de las dos sucesiones. Sea

n \geq 1

y k = E(np). k es alcanzado por la sucesión P, entonces no por la sucesión Q, existe un único entero m tal que :

E(mq) < k < E((m+1)q)

De hecho, el entero E(mq) es el entero más grande de la sucesión Q inferior a k. Las aplicaciones

r \mapsto E(rp)

r \mapsto E(rq)

son inyectivas dado que p y q son mayores que 1. El intervalo

\{1, \dots, k\}

contiene entonces

m + n

elementos de sucesiones P y Q (dado que ambas sucesiones tienen soportes disjuntos). Para concluir, es suficiente con probar que k = n + m. Se tiene :

\frac{k}{p} \leq n < \frac{k + 1}{p} \mbox{ et } \frac{k}{q} - 1 < m < \frac{k+1}{q}

Sumando, se sigue que k - 1 < n + m < k + 1, o bien k = n + m. QED.

Uno de los primeros ejemplos conocidos descubierto en 1907 por el matemático holandés Wythoff, independiente del teorema de Beatty. Para

\phi

el número de oro, se tiene que :

\frac{1}{\phi} + \frac{1}{\phi^2} = 1 \,.

Las dos sucesiones obtenidas serán entonces :

$E(n\phi)$ , n>0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... (sucesión A000201 en OEIS)
$E(n\phi^2)$ , n>0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... (sucesión A001950 en OEIS)

Las parejas

(E(n\phi), E(n\phi^2))

aparecen en la resolución del juego de Wythoff, y caracterizan las posiciones a partir de las cuales el jugador marcado no puede ganar.

teorema de Bernoulli es un caso particular de la ley de los grandes números, que precisa la aproximación frecuencial de un suceso a la probabilidad p de que este ocurra a medida que se va repitiendo el experimento.

Dados un suceso A, su probabilidad p de ocurrencia, y n pruebas independientes para determinar la ocurrencia o no-ocurrencia de A.
Sea f el número de veces que se presenta A en los n ensayos y $\varepsilon$ un número positivo cualquiera, la probabilidad de que la frecuencia relativa f/n discrepe de p en más de $\varepsilon$ (en valor absoluto) tiende a cero al tender n a infinito. Es decir:

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\rho\left(\left|\frac{f}{n}-p\right|>\varepsilon \right)} = 0$

Jakob Bernoulli

El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, térmica...) esta ha de permancer constante.

El teorema considera los tres unicos tipos de energía que posee el fluido que pueden cambiar de un punto a otro de la conducción. Estos tipos son; energía cinética, energía potencial gravitatoria y la energía debida a la presión de flujo (hidroestática). Veamos cada una de ellas por separado:

Consideración de la energía en dos puntos de una tubería

Imagen 11. Speedace. Copyright

Energía cinética (hidrodinámica)	Debida a la velocidad de flujo
Energía potencial gravitatoria	Debida a la altitud del fluido
Energía de flujo (hidroestática)	Debida a la presión a la que está sometido el fluido

Por lo tanto el teorema de Bernoulli se expresa de la siguiente forma:

Donde:

v es la velocidad de flujo del fluido en la sección considerada.
g es la constante de gravedad.
h es la altura desde una cota de referencia.
p es la presión a lo largo de la línea de corriente del fluido (p minúscula).
ρ es la densidad del fluido.

Si consideramos dos puntos de la misma conducción (1 y 2) la ecuación queda:

Donde m es constante por ser un sistema cerrado y V también lo es por ser un fluido icompresible. Dividiendo todos los términos por V, se obtiene la forma más común de la ecuación de Bernoulli, en función de la densidad del fluido:

Una simplifación que en muchos casos es aceptable es considerar el caso en que la altura es constante, entonces la expresión de la ecuación de Bernoulli, se convierte en:

teorema de Bohr–Mollerup llamado así debido a los matemáticos daneses Harald Bohr y Johannes Mollerupque lo probaron en 1922, otorga una caracterización de la función gamma, definida para x > 0 por

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt$

como la única función f en el intervalo x > 0 que simultáneamente cumple las siguientes tres propiedades:

$f(1)=1.\,$
$f(x+1)=x\,f(x)\ ~ \mbox{para}\ x>0. \,$
$\log f \,$ es una función convexa. (O sea, $f \,$ es logarítmicamente convexa.)

Que el log f es convexo es a menudo expresado diciendo que f es log-convexo, en lo que refiere que una función log-convexa es aquella función cuyo logaritmo es convexo.

Un tratamiento elegante de este teorema se puede encontrar en el libro de Emil Artin The Gamma Function, el cual ha sido reeditado por la AMS en una colección de escritos de Artin.

Como dato curioso, el teorema fue publicado por primera vez en un libro de análisis complejo pensando Bohr y Mollerup que ya había sido demostrado previamente.