domingo, 6 de septiembre de 2015

Teoremas epónimos de las matemáticas

Teorema de la rotación de Euler dice que, en un espacio tridimensional, cualquier movimiento de un sólido rígido que mantenga un punto constante, también debe dejar constante un eje completo. Esto también quiere decir que cualquier composición de rotaciones sobre un sólido rígido con ejes arbitrarios es equivalente a una sola rotación sobre un nuevo eje, llamado Polo de Euler. Al ser la combinación de rotaciones otra rotación, el conjunto de las operaciones de rotación tiene una estructura algebraica conocida comogrupo. En concreto al grupo de rotaciones se le conoce como "grupo especial ortogonal de dimensión 3" o SO(3)
El teorema toma su nombre de Leonhard Euler, que lo demostró en 1775 con un argumento geométrico. La extensión de este concepto a la cinemática da el concepto de Eje instantáneo de rotación.
En términos de álgebra lineal, esto también quiere decir que el producto de dos matrices de rotación es también una matriz de rotación y que todas ellas tienen un único autovalor real que debe ser la unidad.
Euler enuncia su teorema de la siguiente forma:1
Theorema. Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest diameter, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.
que en traducción libre sería:
Rotando una esfera de forma arbitraria alrededor de su centro, siempre es posible encontrar un diámetro cuya posición tras la rotación es igual que la inicial
Para probar esto Euler primero toma un círculo máximo de la esfera fija y el círculo máximo correspondiente tras la rotación en la esfera rotada. Estos dos círculos se intersecan en dos puntos opuestos. Escogemos uno cualquiera A. Este punto está en el círculo inicial luego es transportado a otro punto a del segundo círculo. Pero también, A está en el círculo transportado, y por tanto corresponde a un punto α en el círculo inicial. En este punto, nótese que el arco aA debe ser igual al arco Aα.
Ahora Euler necesita un punto O en la superficie de la esfera situado de forma simétrica respecto de a y A. Si tal punto existe debe cumplir:
  • Las distancias OA y Oa son iguales; los arcos Oa y OA también.
  • Los arcos OA y Oa deben estar igualmente inclinados hacia los círculos y los arcos OAa y OAα deben ser iguales.
Euler define dos planos:
  • El de simetría del ángulo αAa (que pasa por el centro C de la esfera), y
  • El de simetría del arco Aa (que también pasa por C).
Proposición. Estos dos planos se intersecan en un diámetro de la esfera, el cual permanece fijo tras el movimiento.
Dem. Los planos se intersecan en un diámetro porque ambos pasan por el centro de la esfera. Sea O cualquiera de los puntos (hay dos) de corte del diámetro con la superficie de la esfera. Como αA se mueve a Aa y los triángulos tienen los mismos ángulos, el triángulo OαAse convierte en el triángulo OAa. Por tanto O debe permanecer fijo tras el movimiento. Lo mismo para el centro de la esfera y el punto antípoda de O.
Construcción mostrando los puntos del teorema para una esfera cuyos ángulos de Euler son [ψ,θ,φ]. El triedro azul es solidario a la esfera fija y el rojo a la rotada. La línea de nodos N muestra el punto A del teorema. Los arcos Aa y Aαson necesariamente iguales

Una demostración matricial es posible teniendo en cuenta que una rotación se representa por una matriz ortogonal, es decir una tal que:
\mathbf{R}^\mathrm{T}\mathbf{R} = \mathbf{R}\mathbf{R}^\mathrm{T} = \mathbf{E},
donde E es la identidad y T indica la traspuesta. Una matriz ortogonal tiene determinante ±1, siendo el +1 el característico de las de rotación.
1=\det(\mathbf{E})=\det(\mathbf{R}^\mathrm{T}\mathbf{R}) = \det(\mathbf{R}^\mathrm{T})\det(\mathbf{R}) = \det(\mathbf{R})^2 \quad\Longrightarrow \quad \det(\mathbf{R}) = \pm 1.
La matriz de rotación R tiene al menos un autovector n con autovalor λ = 1.
\det(-\mathbf{R}) = (-1)^3 \det(\mathbf{R}) = - \det(\mathbf{R}) \quad\hbox{and}\quad\det(\mathbf{R}^{-1} ) = 1,
tenemos
\begin{align} \det(\mathbf{R} - \mathbf{E}) =& \det\big((\mathbf{R} - \mathbf{E})^{\mathrm{T}}\big) =\det\big((\mathbf{R}^{\mathrm{T}} - \mathbf{E})\big) = \det\big((\mathbf{R}^{-1} - \mathbf{E})\big) = \det\big(-\mathbf{R}^{-1} (\mathbf{R} - \mathbf{E}) \big) \\ =& - \det(\mathbf{R}^{-1} ) \; \det(\mathbf{R} - \mathbf{E}) = - \det(\mathbf{R} - \mathbf{E})\quad \Longrightarrow\quad \det(\mathbf{R} - \mathbf{E}) = 0 \end{align}
luego λ = 1 es raíz de la ecuación
\det(\mathbf{R} - \lambda \mathbf{E}) = 0\quad \hbox{for}\quad \lambda=1.
Habrá al menos un vector n, para el que
(\mathbf{R} - \mathbf{E}) \mathbf{n} = \mathbf{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf{R}\mathbf{n} = \mathbf{n}
La línea dada por el espacio de todos los autovectores del autovalor 1 es el eje de Euler.





teorema de Frege es un teorema que establece que los axiomas de Peanode la aritmética pueden ser derivados en lógica de segundo orden a partir del principio de Hume. Fue demostrado informalmente por Gottlob Frege en su Die Grundlagen der Arithmetik(Fundamentos de Aritmética),1 publicado en 1884, y luego demostrado formalmente en suGrundgesetze der Arithmetik (Reglas básicas de aritmética),2 publicado en dos volúmenes, en 1893 y 1903.
El teorema fue re-descubierto por Crispin Wright a comienzos de 1980. En el ámbito de lafilosofía de la matemática se conoce como neo-logicismo.
En lógica proposicional, los teoremas de Frege se refieren a esta tautología:
(P \to (Q \to R)) \to ((P \to Q) \to (P \to R))

Frege y la paradoja de Russell

El programa logicista

Gottlob Frege, matemático y lógico alemán, se había propuesto llevar a cabo el llamado programa logicista, consistente en deducir toda la matemática de la lógica y darle así la más sólida de las bases. Dicho programa había de realizarse en dos pasos, en el primero de los cuales se definirían los conceptos matemáticos en función de la lógica para después, en el segundo, demostrar los teoremas matemáticos usando únicamente la lógica.
Tras veinte años de trabajo, en 1902 Frege había terminado el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la Aritmética, con la que creía haber dado por fin, mediante la teoría de conjuntos, solución a la fundamentación lógica de la matemática. De hecho el libro estaba terminándose prácticamente de imprimir cuando Frege recibió una carta de Bertrand Russell en la que el inglés le explicaba que había encontrado una paradoja en la teoría de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo para insertar una nota al final de su libro, sin duda una de las más patéticas confesiones de la historia de la matemática:
"Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación...”.

La paradoja de Russell

Por aquellos años, Russell y Whitehead, defensores como Frege del programa logicista, estaban enfrascados en la composición de suPrincipia Mathematica. Estaba el primero de ellos estudiando las paradojas que había hallado Cantor respecto del cardinal de la clase universal, cuando descubrió una mucho más sencilla, que es la que hoy lleva su nombre. Así lo contó el propio Russell en My philosophical development:
"Me parece que una clase a veces es, y a veces no es, un miembro de sí misma. La clase de las cucharitas de té, por ejemplo, no es otra cucharita de té, pero la clase de cosas que no son cucharitas de té es una de las cosas que no son cucharitas... [esto] me condujo a considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, parecía, debían formar una clase. Me pregunté si esta clase es o no un miembro de sí misma. Si es un miembro de sí misma, debería poseer las propiedades que definen a dicha clase, que consisten en no ser miembros de sí mismas. Si no es un miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase, y por tanto debe ser un miembro de sí misma. Así cada alternativa lleva a su opuesta y existe una contradicción."
Resumiendo: había descubierto que considerar el conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos lleva a una contradicción. Otra forma de exponer la misma idea es mediante la paradoja del barbero, también de Russell: en un pueblo había un barbero que solo afeitaba a aquellos que nunca se afeitaban a sí mismos. ¿Se afeitaba el barbero a sí mismo?
Como primera consecuencia, la paradoja de Russell se cargó el trabajo de Frege, pues este utilizaba el principio de comprehensión, el cual autoriza a pasar del concepto a la clase (es decir, que todo predicado razonable describe un conjunto), de modo que si la teoría de Frege fuese correcta el "conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos" debería de tener sentido.
Lo que le dijo Whitehead a Russell cuando este le contó su descubrimiento es bastante gráfico: "nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana". En cualquier caso, Russell creyó al principio que la paradoja no era más que una curiosidad, hasta que sus infructuosos intentos por resolverla durante más de un año le hicieron ver que se encontraba ante una cuestión fundamental.

La teoría de tipos

En 1902 Russell le manda la famosa carta al pobre Frege y se pone manos a la obra para encontrar una solución. Parecía claro que las dificultades aparecían con los conjuntos que son miembros de sí mismos. Tras enormes sufrimientos intelectuales y varios años de trabajo, Russell propone su teoría de tipos que, simplificando, consistente en organizar los conjuntos en niveles. Por ejemplo, los gatos serían objetos de primer nivel, los conjuntos de gatos de segundo (el conjunto de los siameses, el conjunto de los gatos negros), los conjuntos de conjuntos de gatos de tercero (el conjunto de las razas de gatos), y así sucesivamente. En esta jerarquía solo se puede decir que un objeto de nivel n es miembro de otro objeto solo si este es de nivel n+1. Un conjunto de gatos, por ejemplo los siameses, puede ser miembro de un conjunto de conjuntos de gatos, por ejemplo el conjunto de las razas de gatos, pero no puede ser miembro de otro conjunto de gatos, pues estos solo contienen gatos








El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de númerosrelacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, con a>0 ,ap ≡ a (mod p)

Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, con a>0 ,coprimo con p , ap-1 ≡ 1 (mod p)

Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p (véasearitmética modular). Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.
Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en 1995.- ......................................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat&printable=yes
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