El teorema de Euler para poliedros establece una relación entre los números de caras (C), aristas (A) y vértices (V) que se cumple para todopoliedro convexo. La relación es la siguiente:
Ejemplo
Supongamos que tenemos un prisma cuadrangular.
Éste tiene seis caras, C=6, las dos bases y los cuatro paralelogramos de los laterales. También es conocido el número de vértices que tiene, V=8.
¿Cúantas aristas (A) tiene el prisma cuadrangular?
Y se obtiene que tiene doce aristas, A=12.
teorema de poliedros, el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de unpoliedro convexo1 (sin orificios, ni entrantes) el famoso teorema tiene como cualidad hallar el Area de un poliedro convexo (sin compartimentos de entrad y salida) cualquiera, en el que también concluye que sólo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos una serie de relaciones:
Teorema de los Poliedros
donde:
= Número de caras
= Número de vértices
= Número de aristas
= Número de lados del polígono regular
= Número de aristas que convergen en los vértices
La relación (1) se llama característica de Euler y sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.
Ejemplo
Un cubo, tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas, entonces 
; 
; Teorema de los Poliedros de Euter- Sólidos Platónicos - Poliedros Irregulares - Prisma Regular - División de los Prismas: Prisma
Leonhard Euler matemático suizo del siglo XVIII publicó las relaciones que había entre las caras, aristas y vértices de los poliedros que acabamos de estudiar.
Representando por:
Algunas de las relaciones encontradas por Euler fueron las siguientes:
Para comprobar lo que acabas de leer tomamos los datos de la Tabla siguiente:
15(3).23 Realiza las comprobaciones anteriores con el resto de los poliedros regulares.
SÓLIDOS PLATÓNICOS
Sólidos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos perfectos o sólidos de Platón es lo mismo.
Se refieren a los poliedros regulares que acabamos de estudiar: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro o cubo y dodecaedro.
Sólidos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos perfectos o sólidos de Platón es lo mismo.
Se refieren a los poliedros regulares que acabamos de estudiar: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro o cubo y dodecaedro.
Se llaman platónicos porque, parece ser que fue Platón (filósofo griego, 400 años antes de Cristo) quien primero los estudió.
Desde la antigüedad llaman la atención estos 5 poliedros. Su convexidad y regularidad, es decir, que todos los polígonos que forman sus caras son convexos (la suma de todos sus ángulos interiores valen menos de 180º) y son iguales en cuanto a lados y ángulos.
Con estas propiedades es imposible construir otros poliedros regulares.
Los griegos hacían corresponder los elementos principales del universo con cada uno de estos cinco poliedros regulares:
Más adelante volveremos sobre estos cinco poliedros regulares para aprender el modo de calcular sus áreas y volúmenes.
POLIEDROS IRREGULARES
Son los poliedros que sus caras no son polígonos regulares iguales ni tampoco sus ángulos poliedros son iguales.
Son los poliedros que sus caras no son polígonos regulares iguales ni tampoco sus ángulos poliedros son iguales.
Ejemplos:
No todas las caras de cada uno de los cuerpos geométricos son iguales ni en cada uno de sus ángulos poliedros concurren el mismo número de caras.
Los poliedros irregulares no los estudiaremos.
Los poliedros irregulares no los estudiaremos.
PRISMA REGULAR.
La palabra prisma procede de la palabra griega prysma que significa serrar oaserrar, serrín o aserrín.
Un prisma regular es un cuerpo geométrico que está limitado por dos polígonos regulares paralelos que son las bases y lateralmente tiene tantos paralelogramos como lados tiene el polígono de su base.
Vemos por los prismas regulares que aparecen en la figura que en, realidad son poliedros, es decir, cuerpos geométricos limitados por polígonos regulares. Hay que señalar que para que sean prismas hay que “serrarles” de modo que los dos cortes (bases) que paralelamente les damos sean polígonos regulares iguales.
DIVISIÓN DE LOS PRISMAS.
Los prismas pueden ser:
Rectos: son prismas también llamados regulares y sus caras laterales o son rectángulos o cuadrados y las aristas son iguales y perpendiculares a las bases, además, su altura es igual a la medida de cualquiera de las aristas.
Oblícuos: son prismas en la que alguna de las caras laterales o es un rombo o un romboide y además, su altura no coincide con la medida de las aristas laterales.
Nos ocuparemos solamente de los prismas rectos.
PRISMA TRIANGULAR.
Es el que tiene por bases triángulos y por caras laterales tantos rectángulos como lados tiene una de las bases.
Construcción del prisma:
Necesitas una cartulina, regla, lapicero y pegamento.
En la figura siguiente tienes indicadas las medidas, si quieres las modificas.
En color marrón tienes dibujadas las solapas para que una vez dobladas apliques pegamento para la construcción del prisma:
PRISMA CUADRANGULAR.
Es el que tiene por base un cuadrado.
Construcción de este prisma:
Con las herramientas antes citadas dibujas el desarrollo de la siguiente figura. Una vez cortada y doblada la cartulina por las debidas líneas y aplicado el pegamento en las solapas obtendríamos el prisma:
PRISMA PENTAGONAL.
Es el que tiene por base un pentágono.
Construcción:
Como en casos anteriores sirviéndote de la siguiente plantilla:
El proceso sería el mismo para el resto de los prismas rectos.
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