Educación básica - Matemáticas

PRIMOS RELATIVOS

Dos números naturales se llaman primos relativos si el máximo común divisor entre ellos es 1.
Los números 6 y 9 NO son primos relativos ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Los divisores de 9 son 1, 3 y 9. Por lo tanto el máximo común divisor es 3.
Los números 9 y 14 son primos relativos ya que los divisores de 9 son 1, 3 y 9, mientras que los divisores de 14 son 1, 2, 7 y 14. Por lo tanto el máximo común divisor es 1.

En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1.

Un medio rápido para determinar si dos números enteros son primos entre sí es el algoritmo de Euclides.

Propiedades

Básicas

• El máximo común divisor de dos números primos entre sí a y b es 1. Por tanto, no existe ningún número primo que divida a ambos.

• Si dos números enteros a y b son primos entre sí, entonces existen dos enteros x e y / a·x + b·y = 1. (Identidad de Bézout)

• Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c. (Lema de Euclides)

• Los números enteros a y b son primos entre sí cuando b tiene un inverso para el producto módulo a; es decir, existe un número entero y tal que b·y ≡ 1 (mod a). Una consecuencia de esto es que si a y b son primos entre sí y bm ≡ bn (mod a), entonces m ≡ n (mod a). Dicho de otra manera, b es simplificable en el anilloZ/nZ de los enteros módulo a.

Otras propiedades

Los números 4 y 9 son coprimos. Por tanto, la diagonal del retículo 4 x 9 no interseca con ninguno de los otros puntos del retículo.

Los dos números enteros a y b son primos entre sí, si y sólo si, el punto de coordenadas (a, b) en un sistema cartesiano de coordenadas es "visible" desde el origen (0,0) en el sentido en que no hay ningún punto de coordenadas enteras situado entre el origen y (a,b).

La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean primos entre sí es igual a 6/π².

Dos números naturales a y b son primos entre sí, si y sólo si, los números 2^a-1 y 2^b-1 son primos entre sí.

El número de enteros que son primos entre sí a un entero positivo n, entre 1 y n, es dado mediante la función φ de Euler φ(n).

Si dos números son consecutivos entonces son primos entre sí, (fácilmente se puede ver usando el Algoritmo de Euclides).

Generalización

Dos ideales I y J en un anillo conmutativo A son primos entre sí si I + J = A. Esto generaliza la identidad de Bézout. Si I y J son primos entre sí, entonces IJ = I∩J; además, si K es un tercer ideal tal que I contiene a JK, entonces I contiene a K.

Con esta definición, dos ideales principales (a) y (b) en el anillo de los números enteros Z son primos entre sí, si y sólo si, a y b son primos entre sí.

Tablas de doble entrada ¿Qué ocurre si nuestro conjunto numérico es de sólo cuatro números: {0, 1, 2, 3}? ¿Cómo operaríamos con ellos al sumar y/o multiplicar?. Veamos. Para la suma elaboremos la siguiente tabla de doble entrada: + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Extraña, ¿verdad?, pero está correcta, aunque no te suene para nada que 2 + 2 es 0. Para obtenerla se debe efectuar lo siguiente. sabemos que en IN 2 + 2 es 4, pero en el conjunto dado el 4 no existe, por lo que al llegar al 3, volvemos al comienzo y de ahí que el resultado sea 0. Elaboremos ahora la tabla para la multiplicación: · 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Comprobemos en ambas tablas si se cumplen algunas propiedades, como ser la asociatividad. verifiquemos primero si (2 + 1) + 3 = 2 + (1 + 3)                                        3 + 3 = 2 + 0                                             2 = 2, se cumple ahora con la multiplicación: (3 · 2) · 1 = 3 · (2 · 1)                                             2 · 1 = 3 · 2                                                  2 = 2, se cumple. ¿Tendrán estas tablas elemento neutro?. Investígalo. Ah, y lo más importante ¿sirve para algo lo visto? Tal vez un entendido en computación podría darte esa respuesta. Pregúntale por los sistemas binarios. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en una batería de test que mide la habilidad verbal (X) y el razonamiento abstracto (Y) son las siguientes: Y/X 20 30 40 50 (25-35) 6 4 0 0 (35-45) 3 6 1 0 (45-55) 0 2 5 3 (55-65) 0 1 2 7 Se pide: 1 ¿Existe correlación entre ambas variables? 2 Según los datos de la tabla, si uno de estos alumnos obtiene una puntuación de 70 puntos en razonamiento abstracto, ¿en cuánto se estimará su habilidad verbal? Convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple. xi yi fi xi · fi xi2 · fi yi · fi yi2 · fi xi · yi · fi 20 30 6 120 2 400 180 5 400 3 600 20 40 3 60 1 200 120 4 800 2 400 30 30 4 120 3 600 120 3 600 3 600 30 40 6 180 5 400 240 9 600 7 200 30 50 2 60 1 800 100 5 000 3 000 30 60 1 30 900 60 3 600 1 800 40 40 1 40 1 600 40 1 600 1 600 40 50 5 200 8 000 250 12 500 10 000 40 60 2 80 3 200 120 7 200 4 800 50 50 3 150 7 500 150 7 500 7 500 50 60 7 350 17 500 420 25 200 21 000     40 1 390 53 100 1 080 86 000 66 500