miércoles, 2 de marzo de 2016

Educación básica - Matemáticas

FACTORES PRIMOS DE UN NÚMERO

Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de números primos.
     Ejemplo: Encontremos los factores primos de 48.
    48: 2
    24: 2
    12: 2
    6: 2
    3: 3
    1  
    Luego 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 
También se puede utilizar un diagrama de árbol.
Utilicemos este método para obtener los factores primos de 8.

      Por lo tanto 8  = 2 x 2 x 2  = 
    
 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades. Calculemos por medio de una tabla, donde vamos dividiendo por los números primos. Cuando el número no sea divisible se conservará.
     Ejemplos: Determinemos el m.c.m. de 12 y 18
1218: 2
69: 2
39: 3
13: 3
  1  
     El m.c.m. entre 12 y 18 es 2 · 2 · 3 · 3 = = 36
Obtengamos ahora el m.c.m entre 8, 12, y 15
81215: 2
4615: 2
2315: 2
1315: 3
 15: 5
  1 
El m.c.m. es 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120.
    Otro método para obtenerlo es determinando los múltiplos de cada número y después ver los que son comunes y de ellos elegir el menor.
     Múltiplos de 12: {12, 24, 36, 48 ...}
     Múltiplos de 18: {18, 36, 54, ...}
     El menor múltiplo común de 12 y 18 es 36.
 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m. c. d.)
El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Se calcula obteniendo los divisores de cada uno de los números y luego, de los divisores comunes, se elige el mayor de ellos.
     Ejemplos: Obtengamos el m.c.d entre 12 y 18
Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}





Mínimo común múltiplo

El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.
El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo:

¿Qué es un "múltiplo"?

Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.

Aquí tienes ejemplos:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...
Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...

¿Qué es un "múltiplo común"?

Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:
Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...
 
¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)

¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Calcular el mínimo común múltiplo

En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.

Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:
Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15
Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.

Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....
Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)

El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números, excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1 Se descomponen los números en factores primos.
2 Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Ejemplos:
Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60:
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
Solución: 
m.c.m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5= 1080
1 080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60.
1 080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.

Propiedades del mínimo común múltiplo

1 Dados varios números todo múltiplo común a ellos es múltiplo del m.c.m de dichos números.
2 Los múltiplos comunes a varios números son también múltiplos del m.c.m de dichos números.
Ejemplo:
m.c.m. (16, 8) = 80
Algunos de los múltiplos comunes de 16 y 8 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 80
3 Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números.
Ejemplo:
m.c.m. (16, 8) = 80
Algunos de los múltiplos de 80 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 16 y de 8
4El m.c.m. de dos números primos entre sí es su producto.
Ejemplo:
m.c.m (2,5) = 2 · 5 = 10
5Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.
Ejemplo:
El número 36 es múltiplo de 12.
m. c. m. (12, 36) = 36
6Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número.
Ejemplo:
m.c.m. (32, 84) = 672
32 · 4 = 128
84 · 4 = 336
m.c.m (128, 336) = 2688 = 672 · 4

El Máximo Común Divisor (M.C.D. o MCD) de varios números es el mayor de sus divisores comunes.
Para cacularlo:
- Factorizamos los números
- Tomamos todos los factores comunes elevados a los menores exponentes
- El M.C.D. es el producto de los factores anteriores
Ejemplo: M.C.D.(24, 36, 40)

\qquad 24 = 2^3 \cdot 3
\qquad 36 = \fbox{2^2} \cdot 3^2
\qquad 40 = 2^3 \cdot 5
Factores comunes (a todos los números): 2, y elevado al menor exponente (dentro de un recuadro) sería: 2^2.
Por tanto:
M.C.D.(24, 36, 40) = 2^2 = \fbox{4}


Las abreviaturas empleadas para designar al Máximo Común Divisor pueden ser, indistintamente, M.C.D.⇔ MCD o también m.c.d. ⇔ mcd

El método más sencillo e intuitivo para saber cúal es el máximo común divisor de varios números, consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor.
Máximo Común Divisor de 6, 12 y 18

Los divisores de 6 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Los divisores de 12 son ⇒ 1, 2, 3, 4, 6, 12
Los divisores de 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18

Los divisores comunes de 6, 12 y 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6

Como el mayor es 6, el M.C.D. (6 , 12 , 18) = 6

Si dos números sólo tienen como divisor común el 1 decimos que son Primos Entre Si, y entonces su Máximo Común Divisor es igual a 1.

Otro procedimiento para calcular el máximo común divisor, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
  1. Realizamos la factorización de los números.
  2. Tomamos todos los factores comunes elevados al menor exponente.
  3. El M.C.D será el producto de los factores anteriores.
Máximo Común Divisor de 36, 84 y 120

Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5

Factores comunes, con menor exponente ⇒ 22 y 3

2 x 2 x 3 = 12, por tanto, el M.C.D. (36, 84, 120) = 12

Los números que no tiene ningún factor primo común son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.

Por último, también podemos hallar el Máximo Común Divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas, conocido como algoritmo de Euclides. Este procedimiento es muy útil cuando los números son grandes.
Para hallar el Máximo Común Divisor de dos números procedemos como sigue:
  1. Dividimos el mayor por el menor, si el resto es cero, el divisor (el menor) es el M.C.D de los dos números.
  2. Si el resto no es cero, se divide nuevamente el divisor entre el resto. Si el nuevo resto es cero, el último divisor (el resto anterior) es el M.C.D.
  3. Si el nuevo resto no es cero, seguimos haciendo lo mismo hasta conseguir un resto igual a cero. El último divisor, el que nos da un resto igual a cero, será el M.C.D de los números dados.
  4. Si el último divisor, el que nos da resto cero, es igual a 1, quiere decir que sólo tienen como divisor común el 1, es decir, son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Máximo Común Divisor de 2310 y 98

2310 : 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto
98 : 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto
56 : 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto
42 : 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto

Como el divisor 14 nos da un resto igual cero,
es el M.C.D de los números dados.
M.C.D. (2310 , 98) = 14
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