En la teoría de grafos , un borde dominando conjunto para un gráfico G = ( V , E ) es un subconjunto D ⊆ E de tal manera que cada borde no en D es adyacente a al menos un borde en D . Un conjunto dominante de borde también se conoce como un conjunto dominante de línea . Las figuras (a) - (d) son ejemplos de conjuntos dominantes de bordes (líneas rojas gruesas).
Un conjunto dominante de borde mínimo es un conjunto dominante de borde más pequeño. Las figuras (a) y (b) son ejemplos de conjuntos de dominación mínima de bordes (se puede verificar que no hay un conjunto de dominios dominantes de tamaño 2 para este gráfico).
Propiedades [ editar ]
Un conjunto dominante de borde para G es un conjunto dominante para su gráfico lineal L ( G ) y viceversa.
Cualquier coincidencia máxima es siempre un conjunto que domina el borde. Las figuras (b) y (d) son ejemplos de emparejamientos máximos.
Además, el tamaño de un conjunto dominante de borde mínimo es igual al tamaño de una coincidencia máxima máxima . Una coincidencia máxima mínima es un conjunto dominante de borde mínimo; La figura (b) es un ejemplo de una coincidencia máxima mínima. Un conjunto dominante de borde mínimo no es necesariamente una coincidencia máxima mínima, como se ilustra en la Figura (a); sin embargo, dado un borde mínimo que domina el conjunto D , es fácil encontrar una coincidencia máxima mínima con | D | bordes (véase, por ejemplo, Yannakakis y Gavril 1980 ).
Algoritmos y complejidad computacional [ editar ]
Determinar si hay un conjunto dominante de borde de un tamaño dado para un gráfico dado es un problema NP-completo (y por lo tanto, encontrar un conjunto dominante mínimo de borde es un problema NP-difícil ). Yannakakis y Gavril (1980) muestran que el problema es NP completo incluso en el caso de un gráfico bipartito con máximo grado 3, y también en el caso de un gráfico plano con máximo grado 3.
Existe un algoritmo de aproximación de tiempo polinómico simple con factor de aproximación 2: encuentre cualquier coincidencia máxima. Una coincidencia máxima es un conjunto que domina el borde; además, una coincidencia máxima M puede ser, en el peor de los casos, 2 veces más grande que una coincidencia máxima más pequeña, y una coincidencia máxima más pequeña tiene el mismo tamaño que el conjunto dominante de borde más pequeño.
También la versión ponderada del problema puede aproximarse dentro del factor 2, pero el algoritmo es considerablemente más complicado ( Fujito y Nagamochi 2002 ; Parekh 2002 ).
Chlebík y Chlebíková (2006) muestran que encontrar una aproximación mejor que (7/6) es NP-difícil.
un conjunto dominante conectado y un árbol de extensión máxima de la hoja son dos estructuras estrechamente relacionadas definidas en un gráfico no dirigido .
Definiciones [ editar ]
Un conjunto dominante conectado de un gráfico G es un conjunto D de vértices con dos propiedades:
- Cualquier nodo D puede llegar a cualquier otro nodo en D por un camino que permanece totalmente dentro de D . Es decir, D induce un subgrafo conectado de G .
- Cada vértice en G o bien pertenece a D o es adyacente a un vértice en D . Es decir, D es un conjunto dominante de G .
Un mínimo conectado dominando conjunto de un gráfico G es un conjunto dominante conectado con el más pequeño posible cardinalidad entre todos conjunto dominante conectados de G . El número de dominación conectado de G es el número de vértices en el conjunto dominante mínimo conectado. [1]
Cualquier árbol de expansión T de un gráfico G tiene al menos dos hojas, vértices que solo tienen un borde de T incidente. Un árbol de hoja de máxima expansión es un árbol de expansión que tiene el mayor número posible de hojas entre todos los árboles de expansión de G . El número máximo de hojas de G es el número de hojas en el árbol de expansión máxima de hojas. [2]
Complementariedad [ editar ]
Si d es el número de dominación conectado de un gráfico n -vertex G , donde n> 2 , y l es su número máximo de hojas, entonces las tres cantidades d , l y n obedecen a la ecuación simple
Si D es un conjunto dominante conectado, entonces existe un árbol de expansión en G cuyas hojas incluyen todos los vértices que no están en D : forma un árbol de expansión del subgrafo inducido por D , junto con los bordes que conectan cada vértice v restante que no está en D a un vecino de v en D . Esto muestra que l ≥ n - d .
En la otra dirección, si T es cualquier árbol de expansión en G , entonces los vértices de T que no son hojas forman un conjunto dominante de G conectado . Esto muestra que n - l ≥ d . Poner estas dos desigualdades juntas demuestra la igualdad n = d + l .
Por lo tanto, en cualquier gráfico, la suma del número de dominación conectado y el número máximo de hojas es igual al número total de vértices. Computacionalmente, esto implica que determinar el número de dominación conectado es tan difícil como encontrar el número máximo de hojas.
Algoritmos [ editar ]
Es NP-complete para probar si existe un conjunto dominante conectado con un tamaño menor que un umbral dado, o de manera equivalente para probar si existe un árbol de expansión con al menos un número determinado de hojas. Por lo tanto, se cree que el problema del conjunto dominante mínimo conectado y el problema del árbol de expansión de la hoja máxima no se pueden resolver en tiempo polinómico.
Cuando se ve en términos de algoritmos de aproximación, la dominación conectada y los árboles de extensión máxima de la hoja no son lo mismo: aproximar uno dentro de una relación de aproximación dada no es lo mismo que aproximar el otro a la misma relación. Existe una aproximación para el conjunto dominante mínimo conectado que logra un factor de 2 ln Δ + O (1) , donde Δ es el grado máximo de un vértice en G. [4] El problema máximo del árbol de expansión de la hoja es MAX-SNP difícil , lo que implica que no es probable un esquema de aproximación de tiempo polinómico . [5] Sin embargo, se puede aproximar a un factor de 2 en el tiempo polinómico. [6]
Ambos problemas pueden resolverse, en gráficos de n -vértices, en el tiempo O (1.9 n ) . [7] El problema de la hoja máxima es manejable con parámetros fijos , lo que significa que puede resolverse en tiempo exponencial en el número de hojas, pero solo polinomial en el tamaño del gráfico de entrada. El valor klam de estos algoritmos (intuitivamente, una cantidad de hojas hasta las cuales se puede resolver el problema en un período de tiempo razonable) ha aumentado gradualmente, a medida que los algoritmos para el problema han mejorado, a aproximadamente 37, [8] y tiene se sugirió que al menos 50 deberían ser alcanzables. [9]
En las gráficas de grado máximo tres, el conjunto dominante conectado y su problema complementario de árbol de expansión de la hoja máxima se pueden resolver en tiempo polinomial , transformándolos en una instancia del problema de paridad matroide para matroides lineales . [10]
Aplicaciones [ editar ]
Los conjuntos dominantes conectados son útiles en el cálculo del enrutamiento para redes móviles ad hoc . En esta aplicación, se utiliza un pequeño conjunto dominante conectado como una red troncal para las comunicaciones, y los nodos que no están en este conjunto se comunican pasando mensajes a través de vecinos que están en el conjunto. [11]
El número máximo de hojas se ha empleado en el desarrollo de algoritmos manejables de parámetros fijos : varios problemas de optimización NP-hard pueden resolverse en tiempo polinómico para gráficos de número máximo de hojas acotadas.
conjunto dominante conectado y un árbol de extensión máxima de la hoja son dos estructuras estrechamente relacionadas definidas en un gráfico no dirigido .
Definiciones [ editar ]
Un conjunto dominante conectado de un gráfico G es un conjunto D de vértices con dos propiedades:
- Cualquier nodo D puede llegar a cualquier otro nodo en D por un camino que permanece totalmente dentro de D . Es decir, D induce un subgrafo conectado de G .
- Cada vértice en G o bien pertenece a D o es adyacente a un vértice en D . Es decir, D es un conjunto dominante de G .
Un mínimo conectado dominando conjunto de un gráfico G es un conjunto dominante conectado con el más pequeño posible cardinalidad entre todos conjunto dominante conectados de G . El número de dominación conectado de G es el número de vértices en el conjunto dominante mínimo conectado. [1]
Cualquier árbol de expansión T de un gráfico G tiene al menos dos hojas, vértices que solo tienen un borde de T incidente. Un árbol de hoja de máxima expansión es un árbol de expansión que tiene el mayor número posible de hojas entre todos los árboles de expansión de G . El número máximo de hojas de G es el número de hojas en el árbol de expansión máxima de hojas. [2]
Complementariedad [ editar ]
Si d es el número de dominación conectado de un gráfico n -vertex G , donde n> 2 , y l es su número máximo de hojas, entonces las tres cantidades d , l y n obedecen a la ecuación simple
Si D es un conjunto dominante conectado, entonces existe un árbol de expansión en G cuyas hojas incluyen todos los vértices que no están en D : forma un árbol de expansión del subgrafo inducido por D , junto con los bordes que conectan cada vértice v restante que no está en D a un vecino de v en D . Esto muestra que l ≥ n - d .
En la otra dirección, si T es cualquier árbol de expansión en G , entonces los vértices de T que no son hojas forman un conjunto dominante de G conectado . Esto muestra que n - l ≥ d . Poner estas dos desigualdades juntas demuestra la igualdad n = d + l .
Por lo tanto, en cualquier gráfico, la suma del número de dominación conectado y el número máximo de hojas es igual al número total de vértices. Computacionalmente, esto implica que determinar el número de dominación conectado es tan difícil como encontrar el número máximo de hojas.
Algoritmos [ editar ]
Es NP-complete para probar si existe un conjunto dominante conectado con un tamaño menor que un umbral dado, o de manera equivalente para probar si existe un árbol de expansión con al menos un número determinado de hojas. Por lo tanto, se cree que el problema del conjunto dominante mínimo conectado y el problema del árbol de expansión de la hoja máxima no se pueden resolver en tiempo polinómico.
Cuando se ve en términos de algoritmos de aproximación, la dominación conectada y los árboles de extensión máxima de la hoja no son lo mismo: aproximar uno dentro de una relación de aproximación dada no es lo mismo que aproximar el otro a la misma relación. Existe una aproximación para el conjunto dominante mínimo conectado que logra un factor de 2 ln Δ + O (1) , donde Δ es el grado máximo de un vértice en G. [4] El problema máximo del árbol de expansión de la hoja es MAX-SNP difícil , lo que implica que no es probable un esquema de aproximación de tiempo polinómico . [5] Sin embargo, se puede aproximar a un factor de 2 en el tiempo polinómico. [6]
Ambos problemas pueden resolverse, en gráficos de n -vértices, en el tiempo O (1.9 n ) . [7] El problema de la hoja máxima es manejable con parámetros fijos , lo que significa que puede resolverse en tiempo exponencial en el número de hojas, pero solo polinomial en el tamaño del gráfico de entrada. El valor klam de estos algoritmos (intuitivamente, una cantidad de hojas hasta las cuales se puede resolver el problema en un período de tiempo razonable) ha aumentado gradualmente, a medida que los algoritmos para el problema han mejorado, a aproximadamente 37, [8] y tiene se sugirió que al menos 50 deberían ser alcanzables. [9]
En las gráficas de grado máximo tres, el conjunto dominante conectado y su problema complementario de árbol de expansión de la hoja máxima se pueden resolver en tiempo polinomial , transformándolos en una instancia del problema de paridad matroide para matroides lineales . [10]
Aplicaciones [ editar ]
Los conjuntos dominantes conectados son útiles en el cálculo del enrutamiento para redes móviles ad hoc . En esta aplicación, se utiliza un pequeño conjunto dominante conectado como una red troncal para las comunicaciones, y los nodos que no están en este conjunto se comunican pasando mensajes a través de vecinos que están en el conjunto. [11]
El número máximo de hojas se ha empleado en el desarrollo de algoritmos manejables de parámetros fijos : varios problemas de optimización NP-hard pueden resolverse en tiempo polinómico para gráficos de número máximo de hojas acotadas.
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