Polinomios

polinomios de Bernoulli  se definen mediante la función generatriz:

Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz. Los números de Bernoulli  son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., .

La identidad  nos permite dar una forma cerrada de la suma

Expresión explícita de polinomios de menor grado

 .

 números y polinomios de Bernoulli.

Enunciado

1.  Se considera una sucesión de números reales Bn$B_n$ llamados números de Bernoullidefinidos de la forma

B0=1 y ∑i=0i(−1)n(n+1i)Bi=0 para n≥1.$$B_0=1\text{ y }\sum _{i=0}^i(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{i})B_i=0\text{ para }n\ge 1.$$

Calcular Bi$B_i$ para i=1,…,7.$i=1,\dots ,7.$ Demostrar que Bn$B_n$ es racional para todo n.$n.$

Solución.  1. Usando la relación de recurrencia dada, obtenemos

B0=1,B1=12,B2=16,B3=0,B4=−130,B5=0,B6=142,B7=0.

 binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos monomios.

Ejemplos

1. .
2. .
3.  es una diferencia de expresiones trigonométricas.

Operaciones sobre binomios

Factor común

Representación gráfica de la regla defactor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

o realizando la operación:

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

Suma por diferencia

El binomio  puede factorizarse como el producto de dos binomios:

.

Demostración:

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: .

Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales   es:

.

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda deltriángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: 

Cuadrado de un binomio

Visualización de la fórmula parabinomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

.

La operación se efectúa del siguiente modo:

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma , se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

Ejemplo:

Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática , se desarrolla el binomio . El coeficiente del término en  que es  es la derivada de . Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de , el término lineal es .

Igualmente, para  se desarrolla . En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de  es , que es la derivada de .

Un binomio es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x² + 3x

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x - 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² + 12 x + 9

Binomio al cubo

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más, o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más, o menos, el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³ =

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x + 5) · (2x - 5)

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

Binomio de Newton

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.