AMIGOS PARA SIEMPRE: Polinomios

división de polinomios (también división polinomial o división polinómica) es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo.

El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.

Sean los polinomios f(x) y g(x), donde g(x) no es el polinomio nulo, entonces existe un único par de polinomios q(x) y r(x) tal que:

\frac{f(x)}{g(x)}=q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}

con el grado de r(x) menor que el grado de g(x).

La división sintética permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x). El problema es expresado como un problema de división no algebraico:^{[cita requerida]}

g(x)\overline{\vert f(x)}

;

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos explícitamente, aún si sus coeficientes son cero.

Condiciones de divisibilidad

Si A es un anillo, la división polinomial en A[X] no es siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios con coeficientes enteros, no es posible dividir X² por 2X + 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y no pertenece a Z[X].

La única condición para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible. En el ejemplo de abajo, la división por X - 1 (1X- 1) no causa problemas porque el coeficiente dominante es 1, que inversible en Z.

División por un binomio

El cociente y el resto de una división de un polinomio con coeficiones enteros en x entre x+a se pueden hallar usando la división larga, o utilizando la regla de Ruffini. Tiene la propiedad de que el cociente de esta división será un polinomio en x cuyo grado es una unidad menor que el grado del dividendo y cuyo coeficiente del término general del cociente es igual al coeficiente del término general del dividendo.

Ejemplo

Encontrar:

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3}

Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicó previamente, se incluye explícitamente el término x, aunque su coeficiente sea cero):

x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}

1. Dividir el primer término del dividendo por el término de mayor grado del divisor. Poner el resultado arriba de la línea horizontal (x³ ÷ x = x²).

\begin{matrix} x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42} \end{matrix}

2. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer término del eventual cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos términos del dividendo (x² * (x-3) = x³ - 3x²).

\begin{matrix} x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \qquad\;\; x^3 - 3x^2 \end{matrix}

3. Restar el producto obtenido en el paso previo de los términos correspondientes del dividendo original, y escribir el resultado debajo. Tener cuidado al realizar esta operación de colocar el signo que corresponda. ((x³-12x²) - (x³-3x²) = -12x² + 3x² = -9x²) Luego, "desplazar hacia abajo" el próximo término del dividendo.

\begin{matrix} x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \qquad\;\; \underline{x^3 - 3x^2}\\ \qquad\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x \end{matrix}

4. Repetir los tres pasos previos, excepto que esta vez utilizar los dos términos que se acaban de escribir en el dividendo.

\begin{matrix} \; x^2 - 9x\\ \qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42 \end{matrix}

5. Repetir el paso 4. Esta vez, no hay nada para "desplazar hacia abajo".

\begin{matrix} \qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\ \qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123 \end{matrix}

El polinomio arriba de la línea horizontal es el cociente, y el número que queda (-123) es el resto.

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x-3}

Este método es una reminiscencia de los métodos de división utilizados en clases elementales de aritmética.

División según las potencias crecientes

En algunos casos es interesante considerar que X es pequeño frente a 1 y hacer las divisiones al revés, empezando por las constantes (que son los términos mayores) y terminando por los Xⁿ, con n grande. Formalmente, se modifica la definición del grado: d ^o (Xⁿ) = - n. La diferencia es que ya no hay unicidad, y es necesario fijarse por antelación una precisión, es decir un grado máximo al resto.

División euclidiana creciente polinomio.png

Por ejemplo, dividamos

1

por

1 - X

al orden 3: el resto deber haber como término más fuerte (aquí el monomio de menor exponente) a lo mejor X⁴. La igualdad obtenida (en azul) equivale a:

\frac {1 - X^4} {1 - X} = 1+ X + X^2 + X^3

lo que, además de ser cierta, es un caso especial de la suma de términos de una sucesión geométrica:

1+q+q^2 + ... + q^n = \frac {1-q^{n+1}} {1-q}

y cada valor de n corresponde a una división euclidiana con una precisión distinta.

Otro punto de vista es considerar a

1 + X + X^2 + ... + X^n \

como el inicio del desarrollo de

\frac {1} {1-X}

en serie de Taylor.

Más generalmente, la serie de Taylor de una función racional se obtiene mediante la división euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador. Por ejemplo, consideremos la función trigonométrica tangente:

\tan = \frac {\sin} {\cos}

, y busquemos su desarrollo alrededor de 0 al orden 5. Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno, y dividirlas descartando sistemáticamente los términos de orden mayor que aparecen en el cálculo. Como la función tangente es par, sólo hay tres monomios (en X, X³ y X⁵) que buscar. El resultado es

\tan x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} + O(x^{7})

La división euclidiana también existe en los anillos de polinomios de múltiples variable K[X,Y,Z...], donde hay varias maneras de definir el grado (parcial, total...) y otras tantas de proceder a la división.

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8 Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completodejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²