Polinomios

 coeficiente es un factor vinculado a un monomio. Dado un divisor del monomio, el coeficiente es el cociente del monomio por el divisor. Así el monomio es el producto del coeficiente y el divisor. Los diferentes coeficientes dependerán de la factorización del monomio.

Un coeficiente numérico es un factor constante de un objeto específico. Por ejemplo, en la expresión 9x², el coeficiente de x² es 9. En álgebra elemental, coeficientes numéricos de términos semejantes se agrupan para simplificar las expresiones algebraicas..

El objeto puede ser cosas tales como una variable, un vector, una función, etc. En algunos casos, los objetos y los coeficientes están ordenados de la misma manera, dando lugar a expresiones tales como:

donde a_n es el coeficiente de la variable x_n para cada n = 1, 2, 3, …

En un polinomio P(x) de una variable x, el coeficiente de x^k puede ordenar por k, dando por ejemplo:

Para el mayor valor de k, donde a_k ≠ 0, a_k se denomina primer coeficiente de P, ya que la mayor parte de las veces, los polinomios se escriben a partir de la izquierda, con la mayor potencia de x. Así, por ejemplo, el primer coeficiente del polinomio:

es 4.

Los coeficientes de los polinonios también pueden estar en otro orden:

9x2+9+6

y debe ser a₀ ≠ 0 y a₀ es el primer coeficiente de Q.

Coeficiente binomial

Importantes coeficientes en matemáticas incluyen los coeficientes binomiales que son los coeficientes en la declaración del teorema del binomio. Estos se pueden encontrar parcialmente con el triángulo de Pascal. Por ejemplo,

El coeficiente 4 en los términos de x^by^c - x^cy^bes conocido como el coeficiente binomial  o  (los dos tienen el mismo valor).

Álgebra lineal

En álgebra lineal, el primer coeficiente de una fila en una matriz es la primera entrada no nula en aquella fila. Así, por ejemplo, dado:

El primer coeficiente de la primera fila es 1; 2 es el primer coeficiente de la segunda fila; 4 es el primer coeficiente de la tercera fila, y la última fila no tiene ningún coeficiente.

Aunque los coeficientes con frecuencia sean vistos como constantes en el álgebra elemental, con mayor frecuencia suelen ser variables. Por ejemplo, las coordenadas  de un vector (física) v en un espacio vectorial con base , son los coeficientes de los vectores de la base en la expresión

Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática , se desarrolla el binomio . El coeficiente del término en  que es  es la derivada de . Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de , el término lineal es .

Notación científica

La notación científica se usa para representar números reales. Siendo r el número real a representar, la representación en notación científica está compuesta de tres partes:

• c. El coeficiente, conformado por un número real con un solo dígito entero seguido de una coma (o punto) y de varios dígitos fraccionarios.
• b. La base, que en nuestro sistema decimal es 10, y en el sistema binario de los computadores es 2.
• e. El exponente entero, el cual eleva la base a una potencia.

Coeficiente
	Un número usado para multiplicar una variable Ejemplo: 4y significa 4 veces y, donde y es una variable, por lo tanto 4 es un coeficiente.

El coeficiente es cualquier factor que se encuentre antes del número o signo en cuestión. El coeficiente puede ser numérico o literal.

Ejemplos de coeficiente:

En el producto 3b el número 3 es el coeficiente del factor b, indicando que el factor b, se toma 3 veces como solución.

3b = b+b+b.

Si un producto es 9n, el factor  “n” se tomará 9 veces.
9n = n+n+n+n+n+n+n+n+n+

En forma inversa, con los literales se toma así:
a4 =  4+4+4+4+4…a veces.

En el factor dc “d” es el coeficiente de c, por lo tanto.
dc = c+c+c+c+c….d veces.

En más de dos factores,  los primeros son factores de los que le suceden.

En los factores opqr = “o” es el coeficiente de pqr; los factores op, son los coeficientes de qr; y opq son los factores de r.

En las cantidades que no tienen coeficiente numérico,  el coeficiente se tendrá sobre entendido por defecto momo 1

En “n” se sobre entiende 1n; en “opqr” se sobre entiende 1opqr.

 criterio de Eisenstein proporciona una condición suficiente para que un polinomio sea irreducible sobre el conjunto de los números racionales.

Si tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

y un número primo  tal que

•  divide a todo  para i ≠ n
•  no divide a 
•  no divide a 

entonces  es irreducible sobre .

Ejemplos

Considérese .

Probaremos los siguientes primos .

• p = 2

2 no divide a 15, entonces probaremos

• p = 3

3 no divide a 10, entonces probaremos

• p = 5

5 divide a 15, el coeficiente de x, y a 10, el término constante. Además, 5 no divide a 3, el primer coeficiente; y 25 = 5² no divide a 10. Concluiremos, por lo tanto, que g(x) es irreducible.

En algunos casos, la elección del primo puede ser poco clara, pero puede llegar a revelarse por un cambio de variable y = x + a. Por ejemplo, consideremos h(x) = x² + x+ 2. Es aparentemente difícil, ya que ningún primo divide a 1, el coeficiente de x. Pero si cambiamos h(x) en h(x + 3) = x² + 7x + 14 veremos inmediatamente que el primo 7 divide al coeficiente de x y al término constante, y que 49 no divide a 14. Así, con el cambio introducido, logramos que el polinomio satisficiera el criterio de Eisenstein.

Otro caso notable es el del polinomio ciclotómico para un primo p. Esto es:

(x^p − 1)/(x − 1) = x^{p − 1} + x^{p − 2} + ... + x + 1.

Aquí, el polinomio satisface el criterio de Eisenstein, en una nueva variable y, después de establecer x = y + 1. El coeficiente constante será entonces p; los otros coeficientes son divisibles por p por las propiedades de los coeficientes binomiales C(p,k) que son p! dividido por algo que no involucra a p.

Prueba elemental

Considérese f(x) como un polinomio módulo p; esto es, redúzcanse los coeficientes al cuerpo Z/pZ. Entonces será c.xⁿ para una constante c distinta de cero. Dado que dichos polinomios tienen una factorización única, cualquier factorización de f mod p resultará en monomios. Ahora, si f no fuese irreducible como polinomio entero, podríamos escribirlo como g.h, y f mod p como el producto de g mod p y h mod p. Estos últimos deben ser monomios, como acabamos de afirmar, por lo que tendremos que g mod p es d.x^k y h mod p es e.x^n-k donde c = d.e.

Vemos ahora que las condiciones dadas sobre g mod p y h mod p significan que p² dividirá a a₀, lo que contradice nuestra hipótesis. De hecho a₀ será g(0).h(0) y pdivide a ambos factores, como hemos dicho más arriba.

Explicación avanzada

Aplicando la teoría del polígono de Newton para el campo de los números p-ádicos, para un polinomio de Eisenstein, se supone que tomaremos la menor envolturaconvexa de los puntos.

(0,1), (1, v₁), (2, v₂), ..., (n − 1, v_n-1), (n,0),

donde v_i es la evaluación p-ádica de a_i (es decir, la mayor potencia de p que lo divide). Ahora, los datos que tenemos sobre los v_i for 0 < i < n, es decir, que existe por lo menos uno, es lo que necesitamos para concluir que la menor envoltura convexa es exactamente el único segmento de (0,1) a (n,0), con pendiente −1/n.

De la teoría general sabemos que p se ramifica completamente en la extensión de los números p-ádicos generados por una raíz de f. Por esa razón, f es irreducible sobre el campo p-ádico, y a fortiori sobre el campo de los números racionales.

Esta prueba es mucho más complicada que el argumento directo por reducción módulo p. Sin embargo, permite ver, en términos de teoría algebraica de números, la frecuencia con que puede aplicarse el criterio de Eisenstein después de algún cambio de variable; y así limita marcadamente la posible elección de p.

De hecho sólo los primos p que se ramifiquen en la extensión de Q generada por una raíz de f tienen alguna posibilidad de servir. Pueden ser hallados en términos deldiscriminante de f. Por ejemplo, en el caso de x² + x + 2 dado más arriba, el discriminante es −7, de modo que 7 es el único primo con posibilidades de satisfacer el criterio. Se torna, mod 7, en:

(x − 3)²

— es inevitable la repetición de una raíz, ya que el discriminante es 0 mod 7. Por lo tanto el cambio de variable es algo realmente predecible.

Una vez más, para el polinomio ciclotómico se torna en:

(x − 1)^{p − 1} mod p;

Por métodos de álgebra lineal puede demostrarse que el discriminante es p^{p − 2} (excepto variación de signo).

Criterio de Eisenstein

Publicado el noviembre 27, 2015 por Fernando Revilla

Demostramos el criterio de Eisenstein y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
(a)  Demostrar el criterio de Eisenstein:
Sea P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0∈Z[x].$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0\in \mathbb{Z}[x].$ Supongamos que existe p$p$ primo tal que
(i)$(i)$  p∤an,p∣an−1,…,p∣a0.$p\nmid a_n,p\mid a_{n-1},\dots ,p\mid a_0.$
(ii)$(ii)$  p2∤a0.$p^2\nmid a_0.$
Entonces,  P(x)$P(x)$ es irreducible en Q[x]$\mathbb{Q}[x]$ (como consecuencia también lo es en Z[x]$\mathbb{Z}[x]$).
(b)  Demostrar que los polinomios P(x)=x5−2x+6$P(x)=x^5-2x+6$ y Q(x)=x7−12$Q(x)=x^7-12$ son irreducibles en Q[x].$\mathbb{Q}[x].$

Solución
(a)  Por contradicción, si P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ es reducible en Q[x],$\mathbb{Q}[x],$ por el lema de Gauss también es reducible en Z[x]:$\mathbb{Z}[x]:$

P(x)=(blxl+al−1xl−1+⋯+b0)(cmxl+cm−1xm−1+⋯+c0)$$P(x)=(b_l{x}^l+a_{l-1}{x}^{l-1}+\cdots +b_0)(c_m{x}^l+c_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +c_0)$$

con l−m=n,$l-m=n,$ bi,ci∈Z.$b_i,c_i\in \mathbb{Z}.$ Igualando coeficientes del mismo grado:

a0=b0c0,a1=b1c0+b0c1,a2=b2c0+b1c1+b0c2,…(1)$$a_0=b_0{c}_0,a_1=b_1{c}_0+b_0{c}_1,a_2=b_2{c}_0+b_1{c}_1+b_0{c}_2,\dots (1)$$

Por hipótesis p∣a0=b0c0$p\mid a_0=b_0{c}_0$ y p2∤a0=b0c0,$p^2\nmid a_0=b_0{c}_0,$ por tanto p∣b0$p\mid b_0$ o p∣c0$p\mid c_0$ pero no a ambos. Supongamos que p∣b0$p\mid b_0$ y p∤c0.$p\nmid c_0.$ Entonces,

a1=b1c0+b0c1⇒p∣a1 por hip.pa′1=b1c0+pb′0c1$$a_1=b_1{c}_0+b_0{c}_1\underset{p\mid a_1\text{ por hip.}}{\underbrace{\Rightarrow }}p{a}_1^{\prime }=b_1{c}_0+p{b}_0^{\prime }{c}_1$$

⇒b1c0=p(a′1−b′0c1)⇒p∤c0p∣b1.$$\Rightarrow b_1{c}_0=p(a_1^{\prime }-b_0^{\prime }{c}_1)\underset{p\nmid c_0}{\underbrace{\Rightarrow }}p\mid b_1.$$

De la igualdad a2=b2c0+b1c1+b0c2$a_2=b_2{c}_0+b_1{c}_1+b_0{c}_2$ deducimos de manera análoga que p∣b2$p\mid b_2$ y de las restantes igualdades (1),$(1),$ que p∣b3,…p∣bn.$p\mid b_3,\dots p\mid b_n.$ Esto implica que p$p$ divide a todos los ai,$a_i,$ que es una contradicción pues p$p$ no divide a an.$a_n.$

(b)  Para el polinomio P(x)$P(x)$ elijamos p=2.$p=2.$ Entonces,

(2∤1,2∣0,2∣0,2∣0,2∣−2,2∣6)∧(22∤6)$$(2\nmid 1,2\mid 0,2\mid 0,2\mid 0,2\mid -2,2\mid 6)\wedge (2^2\nmid 6)$$

por tanto, y de acuerdo con el criterio de Eisenstein,  P(x)$P(x)$ es irreducible en Q[x].$\mathbb{Q}[x].$ Para el polinomio Q(x)$Q(x)$ elijamos p=3.$p=3.$ Entonces,

(3∤1,3∣0,3∣0,3∣0,3∣0,3∣0,3∣0,3∣−12)∧(32∤−12)$$(3\nmid 1,3\mid 0,3\mid 0,3\mid 0,3\mid 0,3\mid 0,3\mid 0,3\mid -12)\wedge (3^2\nmid -12)$$

con lo cual también  Q(x)$Q(x)$ es irreducible en Q[x].