Polinomio irreducible

En teoría de Anillos, un polinomio

p

no constante (y por lo tanto no nulo) con coeficientes en un dominio íntegro

R

(es decir,

p \in R[x]

) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que

\deg(p)

. Es decir, si

p = r \cdot q

entonces ha de ser

r \in R

q \in R

(es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto

\scriptstyle \mathbb{R}

de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto

\scriptstyle \mathbb{C}

de los números complejos (también cuerpo), el conjunto

\scriptstyle \mathbb{Q}

de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto

\scriptstyle \mathbb{Z}

de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

Ejemplos

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridaddonde estén definidos:

p_1(x)=x^2+4x+4\,=(x+2)(x+2)

p_2(x)=x^2-4\,=(x-2)(x+2)

p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)

p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})

p_5(x)=x^2+1\,=(x-i)(x+i)

Sobre el anillo $\scriptstyle \mathbb{Z}$ de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb{Q}$ de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb{R}$ de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb{C}$ de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en $\scriptstyle \mathbb{C}$ , cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales

p(z)=a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)

donde

a_n

es el coeficiente principal del polinomio y

z_1,\ldots,z_n

son los ceros de

p(x)

. Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo

\scriptstyle \mathbb{R}

, tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

Criterios de irreducibilidad

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si

x^{{p^{m-1}}\over {ri}} \not \equiv 1 \pmod{ f(x)}

cuando p es primo y x es un elemento de orden

p^m \in \mathbb{Z}_p[x]/f(x)

Polinomios irreducibles de Z[x]

Un polinomio $\scriptstyle P(x)$ es irreducible sobre $\scriptstyle \mathbb{Z}[X]$ , si y sólo si $\scriptstyle Q(x) = P(x+1)$ también es irreducible.
Trivialmente un polinomio de segundo grado, que no tenga a 1 o -1 como raíz, sólo puede ser reducible si su término independiente no es un número primo: $\scriptstyle P(x) = (ax+b)(cx+d) = ax^2 + (ad+bc)x + bd$ , si $\scriptstyle \{b,d\}\cap\{{+1,-1}\}= \varnothing$ , entonces la reducibilidad implica que el término independiente tiene dos divisores no triviales y por tanto no puede ser primo.

Polinomios irreducibles de Q[x]

Lema de Gauss: Si un polinomio

\scriptstyle P(x)

es irreducible sobre

\scriptstyle \mathbb{Z}[X]

, entonces también es irreducible considerado sobre

\scriptstyle \mathbb{Q}[X]

.¹

Polinomios irreducibles de R[x]

Los polinomios irreducibles sobre

\scriptstyle \mathbb{R}[X]

son los monomios y los polinomios

\scriptstyle x^2+bx+c

de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir:

$\Delta < 0;\, \qquad \Delta = b^2 - 4c$

Polinomios irreducibles (primos)

Un polinomio con coeficientes enteros que no pueden ser factorizados en polinomios de grado menor, también con coeficientes enteros, es llamado un polinomio irreducible o primo.

Ejemplo 1:

x² + x + 1

es un polinomio irreducible. No hay forma de encontrar dos enteros b y c tal que su producto sea 1 y su suma también sea 1, así que no podemos factorizarlo en términos lineales (x +b)(x + c).

Ejemplo 2:

El polinomio

x² – 2

es irreducible con enteros. Sin embargo, podría factorizarlo como

si se nos permite usar números irracionales. Así la irreducibilidad de un polinomio depende del sistema numérico en que esté trabajando.

Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una clase particular de polinomios en el campo de los números reales, que son utilizados dentro del ámbito del análisis numérico. El nombre hace referencia al matemático ucraniano Sergei Natanovich Bernstein.

El algoritmo de evaluación más numéricamente estable es el de De Casteljau.

Definición

Un polinomio de Bernstein

P(x) \,

de orden n aproxima una función

f(x) \,

en un intervalo, mejor cuanto mayor sea n, a partir de esta fórmula:

P(x) = \sum_{i=0}^n {c_i B^n_i (x)}

donde los

B^n_i(x)

son elementos de la distribución binomial respecto de la variable

x \,

y los

c_i \,

son valores de la función que queremos aproximar.

Para aproximar la función en el intervalo

[0,1] \,

estos elementos toman los siguientes valores:

c_i = f \left( \frac{i}{n} \right) \qquad \text{y} \qquad B^n_i (x) = {n \choose i} x^i (1 - x)^{n - i}

(aquí

{n \choose i}

es el coeficiente binomial).

y más en general transformando las ecuaciones para un intervalo

[a,b] \,

, los

B^n_{i}(x)_{[a,b]}

se convierten en polinomios de la base de Bernstein:

c_i = f \left( i \, \frac{b-a}{n}+a \right) \qquad \text{y} \qquad B^n_i (x)_{[a,b]} = {n \choose i} {(x-a)^i (b-x)^{n-i} \over (b-a)^n}

Así, la fórmula general desarrollada es:

P(x) = \sum_{i=0}^n {f \left( i \, \frac{b-a}{n}+a \right) \frac{n!}{i!(n-i)!} \frac{(x-a)^i (b-x)^{n-i}}{(b-a)^n}}

Propiedades

Polinomios de Bernstein de grado 3.

Para un grado n, existen n+1 polinomios de Bernstein

B^n_0,\dots,B^n_n

definidos sobre el intervalo

[a,b] \,

, por

B^n_i (x) _{[a,b]} = {n \choose i} {(x-a)^i (b-x)^{n-i} \over (b-a)^n}

Estos polinomios presentan estas propiedades importantes, que cumplen para cualquier valor de

x \,

en el intervalo

[a,b] \,

Partición de la unidad : $\qquad \sum_{i=0}^n B^n_i (x) = 1$
Positividad : $B^n_i (x) \geq 0, \qquad \forall i \in 0 \dots n$
Simetría : $B^n_i (x) =B^n_{n-i} (1-x), \qquad \forall i \in 0 \dots n$

Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinación convexa. La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión. Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribución binomial.

Para el intervalo

[0,1] \,

existe esta fórmula de recurrencia:

B_i^n(x) = \begin{cases} (1-x)B_i^{n-1}(x) , & i = 0 \\ (1-x)B_i^{n-1}(x) + x B_{i-1}^{n-1}(x),& i = 1 \dots n-1 \\ xB_{i-1}^{n-1}(x),& i = n \end{cases}

Ejemplo

En el caso de un polinomio de orden

2

la base en

[0,1] \,

está compuesta de:

$B^2_0 (x) = {2 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{2 - 0} = (1 - x)^2$
$B^2_1 (x) = {2 \choose 1} x^1 (1 - x)^{2 - 1} = 2 x (1 - x)$
$B^2_2 (x) = {2 \choose 2} x^2 (1 - x)^{2 - 2} = x^2$

Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma:

P(x) = c_0 B^2_0(x) + c_1 B^2_1(x) + c_2 B^2_2(x) = f(0) (1 - x)^2 + 2 f\left( \frac{1}{2}\right) x (1 - x) + f(1) x^2

Si aproximamos

f_1(x) = x \,

obtenemos el mismo polinomio:

P_1 (x) = x \,

si evaluamos

f_2(x) = x^2 \,

aproxima a:

P_2 (x) = \frac{x^2 + x}{2} \,

y probando con

f_3(x) = e^x \,

resulta:

P_3 (x) = (1 - x)^2 + 2 \sqrt{e} \, x (1 - x) + e x^2 \approx \ 0.421 x^2 + 1.29 x + 1 \,

Aplicaciones

Los polinomios de Bernstein son utilizados para demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass y por esto son también utilizados para efectuar aproximaciones e interpolaciones de funciones como, por ejemplo, la curva de Beziér, así como para la estimación de las funciones de densidad de probabilidad:

Para n que tiende al infinito, el polinomio converge uniformamente hacia la función f (x), o sea

|B_n(x)-f(x)| \le 5/4\ \omega (f, 1/\sqrt n)

donde

\omega (f, \delta) = \sup_{|h| \le \delta} |f(x+h)-f(x)|

, llamado módulo de continuidad.

Introducción

Como introducción del trabajo que desarrollaremos posteriormente, recordemos la definición de polinomios de Bernstein en su forma usual.

Definición [Polinomios de Bernstein]

Sea

una función continua. El polinomio n-ésimo de Bernstein

de la función

se define como:

donde

Una construción de los polinomios de Bernstein para la función constante

sobre el intervalo

, la hacemos de la siguiente forma

Observemos que

. Por lo tanto,

se cumple que:

lo cual nos dice que el n-ésimo polinomio de Berntein de la función constante

coincide con

, o sea es 1.

Con esto como preámbulo y asumiendo que

es continua, definimos en Mathematica el n-ésimo polinomio de Bernstein evaluado en

de la siguiente forma:

In[1]:=

No deja de ser interesante que Mathematica acepta ese procedimento sin dificultad, logrando resultados como los siguiente:

In[2]:=

Out[2]=

Observemos que Mathematica no simplifica el resultado. Para lograr una expresión más simple debemos definir la siguiente regla lógica:

In[3]:=

$regla = {(1 - x)^n (-1/(-1 + x))^n -> 1, (1 - x)^n (1/(1 - x))^n -> 1} ; B[n, f, x] /. f -> (# &) /. regla$

Out[4]=

Es decir, el polinomio n-ésimo de Bernstein de la función

coincide con

, o sea es

Veamos otros ejemplos en los cuales la función

esta definida por

, Sen(x) + 3

, respectivamente.

Para la función

In[5]:=

Out[5]=

obtenemos que el n-ésimo polinomio de Bernstein es:

Para la función

In[6]:=

Out[6]=

obtenemos que el n-ésimo polinomio de Bernstein es:

Para la función

In[7]:=

Out[7]=

obtenemos que el n-ésimo polinomio de Bernstein es:

Para la función

obtenemos que

In[8]:=

Out[8]=

((3 + n^2) x)/n^3 + ((-21 + 21 n - n^2 + n^3) x^2)/n^3 + (18 (2 - 3 n + n^2) x^3)/n^3 + (3 (-6 + 11 n - 6 n^2 + n^3) x^4)/n^3

y para la función

obtenemos que

In[9]:=

Out[9]=

((3 + n^2) (1/(1 - x))^n (1 - x)^n x)/n^3 + ((-21 + 21 n - n^2 + n^3) (1/(1 - x))^n (1 - x)^n ... x^4)/n^3 - 1/2 i (1 - x)^n (((-1 + x - e^i/n x)/(-1 + x))^n - ((1 + (-1 + e^(-i/n)) x)/(1 - x))^n)

Observe el uso que se dió a la función pura (#&), si no se usan los paréntesis el procedimiento no funciona.

Los polinomios de Bernstein tiene las siguientes propiedades:

• Si

es continua entonces

es una función continua.

• Si

entonces

, para toda

Además, en $÷r ( [0, 1], {| {| _ 8)$ se cumple que para toda

se tiene que

con la norma ${| {| _ ∞$ . Es decir, la convergencia es uniforme. La demostración se basa en los siguientes hechos:

Primero, como

es continua en

entonces

es acotada y podemos elegir

, con lo cual

Por otro lado, al ser

continua en

, para cualquier

existe un

tal que para todo

, que cumplen

se tine que

Con las definiciones anteriores de

, podemos afirmar que:

Con esto, el resto de la demostración es sencilla. Esencialmente ésta es la demostración del teorema de Korovkin. (El Lic. Gerardo Araya escribió una excelente tesis de graduación sobre este tema, dirigida por el profesor Vernor Arguedas [1])

Es importante recalcar que los polinomios de Bernstein aproximan a la función

, no la interpolan necesariamente.

Los términos intermedios en la construcción del n-ésimo polinomio de Bernstein de la función

$B _ 2 (n ) = {B _ 2(i, n) | i = 0, 1, 2, ..., n}$

son muy útiles.

Usando Mathematica podemos graficar los términos intermedios del polinomio de Bernstein

(observe que

In[60]:=

$Bernstein2[i_, n_] := Binomial[n, i] x^i (1 - x)^(n - i) ; Bernstein2[n_] := Table[Bernstein2 ... gt; {AbsolutePointSize[5], Table[Point[{i/n, Bernstein2[i, n] /. x -> i/n}], {i, 0, n} ] }]] ;$