polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.¹ Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

En esta imagen se muestran, para cuatro puntos ((−9, 5), (−4, 2),(−1, −2), (7, 9)), la interpolation polinómica (cúbica) L(x), que es la suma de las bases polinómicasescaladas y₀l₀(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x)y y₃l₃(x). La interpolación polinómica pasa exactamente por los cuatro puntos (llamados puntos de control) y cada base polinómica escalada pasa por su respectivo punto de control y se anula cuando x corresponde a los otros puntos de control.

Definición

Dado un conjunto de k + 1 puntos

(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)

donde todos los x_j se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x)

de bases polinómicas de Lagrange

\ell_j(x) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}

Demostración

La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con el problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.

Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador

Concepto

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómicaestándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δ_i,j, que puede resolverse inmediatamente.

Uso

Ejemplo

La función tangente y su interpolador.

Se desea interpolar

f(x)=\tan(x)

en los puntos

$x_0=-1.5$	$f(x_0)=-14.1014$
$x_1=-0.75$	$f(x_1)=-0.931596$
$x_2=0$	$f(x_2)=0$
$x_3=0.75$	$f(x_3)=0.931596$
$x_4=1.5$	$f(x_4)=14.1014$

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.

La base polinómica es:

\ell_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4} ={1\over 243} x (2x-3)(4x-3)(4x+3)

\ell_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4} =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x-3)

\ell_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4} ={1\over 243} (243-540x^2+192x^4)

\ell_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4} =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x+3)

\ell_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3} ={1\over 243} x (2x+3)(4x-3)(4x+3)

Así, el polimomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los

\ell_i(x)

y los valores de las abscisas:

{1\over 243}\Big(f(x_0)x (2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_1)x (2x-3)(2x+3)(4x-3)

+f(x_2)(243-540x^2+192x^4)-8f(x_3)x (2x-3)(2x+3)(4x+3) \,

+f(x_4)x (2x+3)(4x-3)(4x+3)\Big)\,

=-1.47748x+4.83456x^3.\,

Desventajas de su uso

Si se aumenta el número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación a una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4, dado que no existen métodos directos de resolución de ecuaciones de grado 4, salvo que se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, situación extremadamente rara.

La tecnología actual permite manejar polinomios de grados superiores sin grandes problemas, a costa de un elevado consumo de tiempo de computación. Pero, a medida que crece el grado, mayores son las oscilaciones entre puntos consecutivos o nodos. Se podría decir que a partir del grado 6 las oscilaciones son tal que el método deja de ser válido, aunque no para todos los casos.

Sin embargo, pocos estudios requieren la interpolación de tan sólo 6 puntos. Se suelen contar por decenas e incluso centenas. En estos casos, el grado de este polimonio sería tan alto que resultaría inoperable. Por lo tanto, en estos casos, se recurre a otra técnica de interpolación, como por ejemplo a la Interpolación polinómica de Hermite o a los splines cúbicos

Otra gran desventaja, respecto a otros métodos de interpolación, es la necesidad de recalcular todo el polinomio si se varía el número de nodos.

Otras aplicaciones

Aunque el polinomio interpolador de Lagrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto fácilmente en una computadora, también tiene otras aplicaciones en el campo del álgebra exacta, lo que ha hecho más célebre a este polinomio, por ejemplo en el campo de los proyectores ortogonales:

Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita E en el que definimos un producto escalar (no necesariamente el usual). Sea F un operador normal, tal que gracias al teorema de la descomposición espectral es igual a

\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}P_{i}

. Donde

P_i

son los proyectores ortogonales y

\lambda_i

los autovectores de F asociados a cada proyector. Entonces:

P_i=\prod_{i\neq j}\frac{F-\lambda_jI}{\lambda_i-\lambda_j}=l_i(F)

Siendo I la matriz identidad.

Demostración:

Haciendo uso de la descomponsición espectral y aplicando las propiedades de los proyectores:

l_i(F)=l_i( \sum_{j=1}^{n} \lambda_jP_j )= \sum_{j=1}^{n} l_i( \lambda_j )P_j = \sum_{j=1}^{n} \delta_{ij}P_j = P_i

Polinomios de interpolación de Lagrange

Un polinomio de interpolación de Lagrange, p, se define en la forma:

$\begin{displaymath}p(x) = y_{0}\ell_{0}(x) + y_{1}\ell_{1}(x) + \cdots + y_{n}\ell_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} y_{k}\ell_{k}(x) \end{displaymath}$

(68)

en donde $\ell_{0}, \ell_{1}, \dots, \ell_{n}$ son polinomios que dependen sólo de los nodos tabulados $x_{0},x_{1},\dots,x_{n}$ , pero no de las ordenadas $y_{0},y_{1},\dots,y_{n}$ . La fórmula general del polinomio $\ell_{i}$ es:

$\begin{displaymath}\ell_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} \end{displaymath}$

(69)

Para el conjunto de nodos $x_{0},x_{1},\dots,x_{n}$ , estos polinomios son conocidos como funciones cardinales. Utilizando estos polinomios en la ecuación (68) obtenemos la forma exacta del polinomio de interpolación de Lagrange.

Ejemplo: Suponga la siguiente tabla de datos:

x	5	-7	-6	0
y	1	-23	-54	-954

Construya las funciones cardinales para el conjunto de nodos dado y el polinomio de interpolación de Lagrange correspondiente.

Las funciones cardinales, empleando la expresión (69), resultan ser:

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \ell_{0}(x) = \frac{(x+7)(x+6)x}{(5+7)(5+6... ...l_{3}(x) = \frac{(x-5)(x+7)(x+6)}{(0-5)(0+7)(0+6)} \end{array}\end{displaymath}$

El polinomio de interpolación de Lagrange es:

$\begin{displaymath}p_{3}(x) = \ell_{0}(x) -23\ell_{1}(x) - 54\ell_{2}(x) - 954\ell_{3}(x) \end{displaymath}$

interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del polinomio.

Existen ciertas ventajas en el uso de este polinomio respecto al polinomio interpolador de Lagrange. Por ejemplo, si fuese necesario añadir algún nuevo punto o nodo a la función, tan sólo habría que calcular este último punto, dada la relación de recurrencia existente y demostrada anteriormente.