Educación básica - Matemáticas

Números primos Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3.  El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12. El 12 es un número compuesto. El 2 es el único número primo que es par. La Criba de Eratóstenes La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número. Si quieres obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, sigue los pasos indicados: Tacha el número 1, ya que no se considera primo ni compuesto. Encierra el número 2 y tacha sus múltiplos. o sea, el 4, el 6, el 8, etc. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 3, y tacha sus múltiplos. Encierra el número siguiente, que aún no se elimina, o sea el 5, y tacha sus múltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números. Los números encerrados son los números primos. Los restantes corresponde a los números compuestos, con exepción del 1.    1     2     3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   31   32  33   34    35   36   37   38   39   40   41   42   43    44   45   46   47   48   49   50   51   52   53   54   55   56    57   58   59   60   61   62   63   64   65   66   67   68   69   70   71   72   73   74   75   76   77   78    79   80   81   82   83   84   85   86   87   88   89   90   91   92   93   94   95   96   97   98   99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  150

Números primos

    Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.

    Ejemplos: a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.
                    b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)

    El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)

    Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.

    En la siguiente tabla tenemos todos los primos menores que 1000, que hacen un total de 168 (21×8)

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73
79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181
191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281	283	293	307
311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521	523	541	547	557	563	569	571
577	587	593	599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827	829	839	853
857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

Póster con los números primos hasta 1000 (pdf)     Listado con los primos menores que 1.000.000 (txt) 

Para ver los 10.000 primeros números primos pincha aquí

Primos en el anillo de los enteros de Gauss

Cómo averiguar si un número es primo.

    El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5, ... , n-1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número n es primo. Este método puede hacerse más eficiente observando simplemente, que si un número es compuesto alguno de sus factores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √ n. Por lo tanto, el número de divisiones a realizar es mucho menor. Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... , [√ n]. En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √ n.

     Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15'0665... basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.

     Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen factores pequeños. Sin embargo si el número tiene por ejemplo unas 20 cifras y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones para comprobarlo.  Aunque un ordenador pueda realizar millones de divisiones en un segundo, el tiempo necesario es bastante considerable. Y cuando el número de dígitos aumenta el tiempo necesario ¡¡crece de forma exponencial!!

    Ejemplo práctico: Supongamos que queremos saber si un número de unas 50 cifras es primo. La raíz cuadrada de un número de este orden está en torno a 10²⁵. Si un ordenador hace 1000 millones de divisiones por segundo, necesitará 10²⁵/10⁹ segundos; es decir, 10¹⁶ segundos. Este tiempo equivale, aproximadamente, a 1'6*10¹⁴ minutos, que son 2'7*10¹² horas, o también 1'16*10¹¹ días, aproximadamente  3'17*10⁸ años. Que para hacer esto se necesiten 317.097.920 años se me antoja una tarea poco recomendable. Y si nos decidiésemos a llevarla a cabo, ¿sería útil esta información pasado todo este tiempo?  O más drástico todavía, ¿seguiría existiendo nuestra especie entonces?

    Debemos pues, buscar una alternativa que nos permita responder a este problema de una forma más favorable; necesitamos un algoritmo más eficiente.

    Una respuesta puede ser el teorema pequeño de Fermat. Este teorema afirma que si n es primo y mcd(a,n) = 1, entonces a^n-1 ≡ 1 (mod n). Hay que tener en cuenta que la exponenciación modular puede realizarse en un tiempo bastante favorable, si se hace de forma adecuada (hay algoritmos que nos dan la respuesta en tiempo polinómico)

    Ejemplo: Queremos comprobar si el número 15 es primo o no (utilizando esta propiedad). Tomamos a = 2, n = 15, y evaluamos 2¹⁴ (mod 15). La respuesta es 2¹⁴ ≡ 4 (mod 15). Podemos asegurar entonces que 15 es compuesto. Probemos con a = 2, n = 341, evaluamos 2³⁴⁰ (mod 341) y obtenemos que 2³⁴⁰ ≡ 1 (mod 341). Esto no nos permite deducir que 341 sea compuesto, pero tampoco que sea primo. Al probar con a=3 tenemos 3³⁴⁰ ≡ 56 (mod 341), lo cual implica que 341 es compuesto. 

    A los números que se comportan como el 341 en el ejemplo anterior se les llama pseudoprimos para la base 2 (se comportan como un primo para a=2). Este comportamiento es bastante más peculiar peculiar para algunos números. Tomando por ejemplo a=2 y n=561, obtenemos que 2⁵⁶⁰ ≡ 1 (mod 561), 3⁵⁶⁰ ≡ 1 (mod 561), 5⁵⁶⁰ ≡ 1 (mod 561)  y así con todas las bases con las que probemos. Es decir, se comporta como un primo para cualquier base que elijamos. Sin embargo, 561 es compuesto (561 = 3·11·17). A los números que como éste, son pseudoprimos para todas las bases se les llama números de Carmichael. Los números de Carmichael menores que 100.000 son 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973 y 75361. 

Desde luego, no parecen muy abundantes. Los expertos se preguntaban en los años 80 si serían un conjunto finito, con lo cual una vez identificados se podrían "evitar" fácilmente, aunque la creencia generalizada apuntaba a que el conjunto era infinito. Se demostró que si un número es de Carmichael debe ser libre de cuadrados y producto de al menos tres primos distintos. En 1994, Alford, Granville y Pomerance demostraron que existen infinitos números de Carmichael. De hecho, su resultado indica que para n suficientemente grande C(n) > n^2/7, donde C(n) es la cantidad de números de Carmichael menores que n.

    Para evitar este contratiempo, podemos recurrir a un teorema un poco más fino debido a Euler. Este resultado afirma que si n es primo y mcd (a,n)=1, entonces a^(n-1)/2 ≡ ±1 (mod n). Con esto evitamos que algunos números compuestos puedan pasar por primos como ocurre utilizando el teorema pequeño de Fermat.

    Ejemplo: Para comprobar que 91 es compuesto basta ver 2⁴⁵ ≡ 57 (mod 91). ¿Y que pasa con un número de Carmichael como el 561?. Veamos 2²⁸⁰ ≡ 1(mod 561), pero 5²⁸⁰ ≡ 67 (mod 561). Parece que esto funciona.

    Pero todavía podemos afinar un poco más. La idea es que si n es primo, entonces Z_n es un cuerpo. Y en un cuerpo las únicas raíces cuadradas de 1 son 1 y -1. En el último ejemplo estamos diciendo que Z₅₆₁ no es un cuerpo porque en él, la raíz de 1 es 67, y por tanto 561 no es primo. Si tomamos n-1 y lo dividimos entre 2 de forma sucesiva, mientras sea posible, estamos extrayendo raíces cuadradas y se trata de comprobar si los resultados dan siempre 1 ó -1. Esto da lugar al test de Miller-Rabin.

    Ejemplo: Tomando n = 561 hacemos 2²⁸⁰ (mod 561) ≡ 1 ,  2¹⁴⁰ (mod 561) ≡ 67, que continuaría con 2⁷⁰ y  2³⁵, pero ya no es necesario calcularlos porque tenemos que la raíz cuadrada de 1 es 67 (mod 561). Por tanto, 561 es compuesto.

    Si al llegar a 2³⁵ no obtenemos un resultado distinto de +1 ó -1, tendríamos que elegir otra base. Y ahí es donde podemos tener dificultades, porque si n es bastante grande quizá tengamos que probar con muchas bases y la respuesta tardará en llegar. Y podemos empezar a preguntarnos si la tardanza se debe a que n es primo o porque es un compuesto que se comporta como un primo para un conjunto "grande" de bases. ¿Qué debemos hacer entonces? La solución es determinar el número de bases con las que tenemos que probar para asegurar que un número compuesto no pase la prueba como si fuese primo.

Definiciones: Si un entero n compuesto e impar verifica la congruencia de Euler para la base b, entonces n es un pseudoprimo de Euler para la base b. Asímismo, si n pasa el test de Miller-Rabin para la base b, entonces n es un pseudoprimo fuerte para la base b. Los siguientes resultados nos dan la respuesta a la cuestión del párrafo anterior.

Proposición: Si n es compuesto e impar, al menos la mitad de las bases b que verifican 0

Teorema (Rabin): Si n es un entero compuesto impar, entonces n es un pseudoprimo fuerte para la base b, para a lo sumo un 25% de las posibles bases que verifican 0 < b < n, mcd(b,n) = 1.

    Desde luego que el teorema anterior no es para tirar cohetes. Probar con un 25% de las bases es algo descomunal si n es un número grande. Sin embargo, también hay que decir, que experimentalmente se ha comprobado que el test es mucho más eficiente de lo que indica la acotación del 25%. Es decir, cuando el número es compuesto, basta probar con unas pocas bases (la mayoría de veces con una sola) para demostrar que el número es compuesto. Si probamos con varias bases y nuestro número pasa el test, la probabilidad de que sea primo es muy pequeña. Y se puede elegir el número de bases que queramos de manera que la probabilidad sea menor que una cota prefijada de antemano.

Yendo un poco más lejos, hay un resultado de Miller basado en la hipótesis generalizada de Riemann, que afirma lo siguiente:

Teorema (Miller, 1976): Si la hipótesis generalizada de Riemann es cierta y n es un entero compuesto impar, entonces n no pasa el test de Miller-Rabin para alguna base b < 2·log²n  (¿¿teorema de bach, aukemy, montgomery 1985??)

    Este resultado implicaría un test de primalidad en tiempo polinómico del orden de O(log⁵n).

    En la tabla de abajo podemos ver la cantidad de números de Carmichael y pseudoprimos para la base 2. Por ejemplo, el primer 1 de la fila que comienza con 10³ indica que sólo hay un número de Carmichael menor que 1000, y el 3 que sigue que hay 3 pseudoprimos para la base 2 menores que 1000. 

( Nota: Los pseudoprimos de Euler también son llamados a veces pseudoprimos de Euler-Jacobi )

10n	Carmichael	psprimos(2)	pspEuler(2)	pspFuerte(2)
101	0	0	0	0
102	0	0	0	0
103	1	3	1	0
104	7	22	12	5
105	16	78	36	16
106	43	245	114	46
107	105	750	375	162
108	255	2057	1071	488
109	646	5597	2939	1282
1010	1547	14884	7706	3291
1011	3605	38975	20417	8607
1012	8241	101629	53332	22407
1013	19279	264239	124882	58892

Tabla 2: Pseudoprimos y números de Carmichael

    Los primeros pseudoprimos para la base 2 son 341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, ...
    Los primeros pseudoprimos para la base 3 son 91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2821,...
    Los primeros pseudoprimos para la base 5 son 4, 124, 217, 561, 781, 1541, 1729, 1891, ...

    Los primeros pseudoprimos de Euler para la base 2 son 561, 1105, 1729, 1905, 2047, 2465, ...
    Los primeros pseudoprimos de Euler para la base 3 son 121, 703, 1729, 1891, 2821, 3281, 7381, ...

    Los primeros pseudoprimos fuertes para la base 2 son 2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, ...

    Los primeros pseudoprimos fuertes para la base 3 son 121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, ...

    Estos ejemplos nos permiten ver que si en lugar de la base 2 utilizamos las bases 2 y 3, los números que pueden pasar el test siendo compuestos son muchos menos. Y si tomamos más bases todavía, los resultados mejoran considerablemente. Por ejemplo, sólo hay un pseudoprimo fuerte para las bases 2, 3, 5 y 7 menor que 25·10⁹, y este número es 3,215,031,751.

    La sucesión de los números impares más pequeños que pasan el test de Miller-Rabin usando los primeros k números primos para k = 1, 2, 3,...  está dada por 2047, 1373653, 25326001, 3215031751, 2152302898747, 3474749660383, 341550071728321, 341550071728321, ... (Sloane A014233; Jaeschke 1993). Por lo tanto, el test es totalmente determinista si usamos los siete primeros números primos (con 8 no da ninguna mejora) para números menores menores de 3,4·10^14.

    Lo que se hace en la práctica para números muy grandes es tomar una serie de bases al azar y comprobar si se verifican las congruencias. Si no se verifica en algún caso, el número es compuesto con total seguridad. Si se verifican todas, hay una "sospecha" muy grande de que el número es primo, aunque no puede asegurarse. La probabilidad de error puede hacerse tan pequeña como se quiera con solo coger un número suficiente de bases.

Gracias a los trabajos de Pomerance, Selfridge y Wagstaff (1980) y Jaeschke (1993) podemos elaborar tests de rápida ejecución y completamente deterministas (usando Miller-Rabin) si consideramos números hasta un cierto tamaño:

• Para números menores que 25,326,001 basta probar con las bases 2, 3 y 5.
• Para números menores que 4,759,123,141 basta probar con las bases 2, 7 y 61.
• Para números menores que 2,152,302,898,747 basta probar con las bases 2, 3, 5, 7 y 11.
• Para números menores que 341,550,071,728,321 basta probar con las bases 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17.

     En 1980, Adleman publica un artículo titulado "On distinguishing prime numbers from composite numbers". Sus resultados son mejorados por Pomerance, Rumely, Cohen, H.W. Lenstra y A.K. Lenstra. Esta trabajo conjunto junto con el teorema que viene a continuación dan lugar a un test de primalidad conocido como APR (hay más de una versión de este test)

Teorema (Odlyzko-Pomerance, 1982): Existe una constante c>0 efectivamente computable tal que para todo n > e^e existe un entero positivo t que satisface:
     i)  t es libre de cuadrados.
    ii)  0 < t < (log n)^{c·log(log(log n))} y tal que s(t) > √ n , donde s(t) = Π { q ∈ Z⁺ / q primo y q-1 divisor de t }

El test APR seguiría entonces los siguientes pasos:

Paso1: Introducimos un primo impar n.
Paso2: Buscamos (secuencialmente) un valor t que verifique s = s(t) > √ n.
Paso3: Factorizamos t. A sus factores p_i les llamamos primos iniciales.
Paso4: Factorizamos s. A sus factores q_i les llamamos primos euclídeos.
Paso5: Se comprueba que mcd (s·t, n) = 1 (si no es el caso, n no es primo)

Paso6: Para cada primo inicial p se tiene una de estas dos opciones:
    a)  n^p-1 ≠ 1 (mod p²)
    b)  n^p-1 ≡ 1 (mod p²) y para cada primo euclídeo q tal que p | q-1 existe un carácter ξ (aplicación de un grupo en el cuerpo de los números complejos) ξ: Z_q^* --------> G_p de orden p y conductor q, tal que G(ξ)ⁿ ∈ η(ξ)ⁿ·G(ξⁿ) módulo nZ[ξ_p, ξ_q] para algún 1 ≠ η(ξ) ∈ G_p (revisar)
    Si se da el caso a) probamos con otro primo inicial y si se da b) seguimos con el paso 7.

Paso7: Para cada i = 0, 1, 2, 3, ... , t-1 se calcula mcd( nⁱ (mod s) , n). Si alguno de los resultados obtenidos es un número comprendido estrictamente entre 1 y n entonces el número n es compuesto. Si todos los resultados dan 1 ó n, entonces podemos estar seguros de que n es primo. 

(continuará con AKS, Agrawal 2002)

Cuántos números primos hay

    Una de las primeras preguntas que podemos hacernos es si la cantidad de números primos es finita o infinita. Euclides de Alejandría demostró que hay infinitos. Supongamos que existe solamente un número finito de primos. Sea C = { p₁, p₂, ... p_n } el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora el número M = p₁×p₂× ... p_n+1. Como cada primo p_i es mayor que 1, M es un número mayor que cualquiera de los p_i; es decir, M no está en el conjunto C y por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como producto de factores primos (por el teorema fundamental de la aritmética). Por hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos que aparecen en el conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q | M y obviamente, q | p₁×p₂× ... p_n. Por consiguiente, q divide a la diferencia M - p₁×p₂× ... ×p_n (que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q es un número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el conjunto de los números primos nopuede ser finito (q.e.d.)

    Hay otras demostraciones posibles, como la de Euler, que se obtiene como corolario de un teorema que afirma que la suma de la serie de los inversos de los números primos es divergente. Otra demostración más reciente (y sencilla de hacer) fue obtenida por Polya basándose en los números de Fermat. Más adelante veremos más sobre estos números que se definen como F_n=2^(2ⁿ)+1. Así, F₁=5, F₂=17, F₃=257, etc. Polya observó y demostró que para todo k>0 se tiene que F_n y F_n+k son coprimos; es decir, no tienen factores comunes. Esto implica la infinitud de los números primos, ya que cada uno de los F_n da lugar a uno o varios números primos que no aparecen en los anteriores números de Fermat. Curioso, ¿no? La demostración es como sigue:

    Observamos en primer lugar que todos los números de Fermat son impares, evidente. En segundo lugar hay que ver que F_n+k-2 es múltiplo de F_n para todo k>0. Para ello sólo hay que seguir este cálculo:

Ahora, si m ¹ 1 es un divisor común de F_n y F_n+k , entonces m es divisor de F_n+k - 2 y F_n+k , y por tanto de su diferencia; es decir, m es divisor de 2 al mismo tiempo que de F_n que es impar. Contradicción. Podemos concluir entonces que cualesquiera dos números de Fermat no tienen ningún factor en común, q.e.d.

Otra demostración interesante se la debemos a Erdos: Consideremos un número x fijo y sean p₁, p₂, ..., p_n £ x, los números primos menores o iguales que x. .Como todo entero puede expresarse como producto de un cuadrado por un número libre de cuadrados, podemos escribir cada entero m £ x de la forma

donde e_i ∈ {0, 1} y Q² ≤ x. Podemos elegir los e_i de 2ⁿ formas diferentes, y Q de r(x) formas y, por tanto, podemos asegurar que todos los números m ≤ x pueden escribirse alguna de estas 2ⁿ·r(x) formas, o sea, x ≤ 2ⁿ·r(x). Ahora, despejamos n de esta expresión, x ≤ 4ⁿ, y por tanto, n ≥ ln x / ln 4. El número de primos es mayor que cualquier número x fijado de antemano, q.e.d.

La sucesión de los números primos

        La sucesión de los números primos es poco predecible. No sabemos si obedecerán algún tipo de regla u orden que no hemos sido capaces de descubrir todavía. Durante siglos, las mentes más preclaras intentaron poner fin a esta situación pero sin éxito. Leonhard Euler comentó en una ocasión: "Los matemáticas han intentado en vano hasta la fecha descubrir algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente no podrá penetrar nunca".  En una conferencia dada por D. Zagier en 1975, éste dijo: "Hay dos hechos en torno a la distribución de los números primos que espero crean tan abrumadoramente, que quedarán por siempre grabadas en sus corazones. La primera es que a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos que construyen los números naturales, los números primos crecen como  la mala hierba alrededor de los números naturales, simulando no obedecer otra ley que la del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más asombroso, porque dice justamente lo opuesto: que los números primos hacen gala de una pasmosa regularidad, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen esas leyes con una precisión casi militar" (Havil 2003)

Euler commented "Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers, and we have reason to believe that it is a mystery into which the mind will never penetrate" (Havil 2003, p. 163). In a 1975 lecture, D. Zagier commented "There are two facts about the distribution of prime numbers of which I hope to convince you so overwhelmingly that they will be permanently engraved in your hearts. The first is that, despite their simple definition and role as the building blocks of the natural numbers, the prime numbers grow like weeds among the natural numbers, seeming to obey no other law than that of chance, and nobody can predict where the next one will sprout. The second fact is even more astonishing, for it states just the opposite: that the prime numbers exhibit stunning regularity, that there are laws governing their behavior, and that they obey these laws with almost military precision" (Havil 2003, p. 171).

        Pero el espíritu del hombre es obstinado y su inquietud por descubrir no conoce fronteras. Así, con el paso de los años y los siglos se ha ido avanzando a pequeños pasos, pero tantos, que al mirar atrás parecen gigantescos. En primer lugar presentamos una tabla con las cifras del número primo que ocupa el lugar 10ⁿ-ésimo. Lectura: El primo que ocupa el lugar 1000 (10³) en la sucesión de los números primos es 7919.

= n =	Primo 10n	Número de cifras	|	= n =	Primo 10n	Número de cifras
0	2	1	|	11	2760727302517	13
1	29	2	|	12	29996224275833	14
2	541	3	|	13	323780508946331	15
3	7919	4	|	14	3475385758524527	16
4	104729	6	|	15	37124508045065437	17
5	1299709	7	|	16	394906913903735329	18
6	15485863	8	|	17	4185296581467695669	19
7	179424673	9	|	18	44211790234832169331	20
8	2038074743	10	|	19	465675465116607065549	21
9	22801763489	11	|	20	4892055594575155744537	22
10	252097800623	12	|	21	?	23

Tabla 3: Dígitos del 10ⁿ-ésimo primo

    

        Otra posibilidad es contar cuántos primos acaban en una determinada cifra o cuántos son de una determinada forma como 4k+1 ó 4k+3. Por ejemplo, los números primos de la forma 4k+1 son 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97... y los de la forma 4k+3 son 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83... Para abreviar los llamaremos primos de tipo 1 y de tipo 3 respectivamente. Observamos que de los 24 primos enumerados, 11 son del tipo 1 y 13 del tipo 3. Contando el número de primos de cada tipo hasta 100.000 obtenemos:

x	Primos 4k+1	Primos 4k+3		x	Primos 4k+1	Primos 4k+3
100	11	13		10.000	609	619
200	21	24		20.000	1.125	1.136
300	29	32		50.000	2.549	2.583
400	37	40		70.000	3.491	3.443
500	44	50		100.000	4.783	4.808
600	51	57		200.000	8.995	8.988
700	59	65		300.000	13.026	12.970
800	67	71		400.000	16.967	16.892
900	74	79		500.000	20.804	20.733
1000	80	87		600.000	24.573	24.524
2000	147	155		700.000	28.306	28.236
3000	222	207		800.000	32.032	31.918
5000	329	339		900.000	35.676	35.597
7000	442	457		1.000.000	39.266	39.231

Tabla 4: Recuento de primos de la forma 4k+1 y 4k+3 desde 3 hasta x

    Observamos que los primos de tipo 3 van ganando por un escaso margen a los de tipo 1. Este fenómeno fue observado ya por  Tchebychev, que se lo contaba en una carta a M. Fuss el 23 de marzo de 1853.Este sesgo resulta quizás inesperado en vista de un importante resultado en la teoría analítica de los números conocido como “el teorema de los números primos para progresiones aritméticas”. Este resultado nos dice que, para todo módulo a, los primos tienden a distribuirse equitativamente entre las diferentes progresiones an + b tales que mcd(a, b) = 1. Esto implica entre otras cosas que cualquier progresión aritmética contiene infinitos primos, hecho que fue conjeturado ya por Gauss y demostrado por Dirichlet en 1837. También nos permite deducir que existe "el mismo número de primos" acabados en 1, 3, 7 ó 9, tomando como progresiones aritméticas 10n+1, 10n+3, 10n+7 y 10n+9.

x	10n + 1	10n + 3	10n + 7	10n + 9
100	5	7	6	5
200	10	12	12	10
500	22	24	24	23
1.000	40	42	46	38
2.000	73	78	77	73
5.000	163	172	169	163
10.000	306	310	308	303
20.000	563	569	569	559
50.000	1274	1290	1288	1279
100.000	2387	2402	2411	2390
200.000	4478	4517	4503	4484
500.000	10386	10382	10403	10365
1.000.000	19617	19665	19621	19593

    El intento de "controlar" los números primos llevo a muchos a la búsqueda de algún tipo de fórmula o expresión algebraica que generase la sucesión de los números primos. Goldbach demuestra en 1752 que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que dé números primos para cualquier valor entero. Años después Legendre demuestra que no existe ninguna función algebraica racional que cumpla tal requisito. Queda por decir que todavía se puede buscar un polinomio de forma que produzca una sucesión de números primos lo más larga posible. Euler propuso el polinomio n² + n + 41 que da números primos para valores 0 ≤ n < 40 (también para 40 < n < 81 excepto n = 41, 44, 49, 56, 65 y 76 [sucesión cuadrática]).

    Otro resultado que hay que mencionar, a pesar de los resultados de Goldbach y Legendre, es que se ha podido encontrar un polinomio en 10 variables con coeficientes enteros que da números primos siempre que se sustituyan las variables por enteros no negativos. Jones, Sato, Wada y Wiens han hallado un polinomio de grado 25 en 26 variables cuyos valores positivos son exactamente los números primos.

    Otra fórmula que produce únicamente números primos tiene que ver con una constante q = 1'3063778..., conocida como constante de Mills (el menor número que tiene esta propiedad). Tomando f(n) = [θ^(3ⁿ)] siempre se obtienen números primos, donde [x] representa la parte entera de x. Los primeros valores de f(n) son 2, 11, 1361, 2521008887, ... No se sabe todavía si θ es racional o irracional (febrero 2012).

    Hacia 1845 Joseph Bertrand propone que para cada entero positivo n, existe al menos un primo p tal que n < p < 2n. Esta proposición conocida como postulado de Bertrand, fue demostrada por Tchebychev en 1850. En 1919, Ramanujan prueba que para n > 5, existen al menos dos primos entre n y 2n; para n > 8, existen al menos tres primos entre n y 2n; para n > ?, existen al menos cuatro primos entre n y 2n. De forma más general, demuestra que para cada k > 0, existen k primos entre n y 2n salvo para un número finito de casos. Erdös, en 1932, consigue una prueba bastante más simple del caso de dos primos entre n y 2n para n>6, añadiendo además que uno de esos dos primos debe ser de la forma 4k+1 y el otro de la forma 4k+3.

    Otra cuestión similar (pero más restrictiva) había sido propuesta por Legendre unos años antes de la demostración de Tchebychev. Legendre conjeturó que existe al menos un primo entre n² y (n+1)² para todo entero n > 0. La conjetura sigue sin demostrarse. (febrero 2012)

El teorema del número primo

π(n) ≈ n/log n ≈ Li(x) 

    La función que nos dice cuántos números primos hay en el intervalo [0, n] se representa por π(n) =  # { p ≤  n , p primo}. Legendre y Gauss dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a calcular números primos y contar los que había en grandes intervalos. Conjeturaron que el valor de π(n) podía aproximarse por n/log(n). 

Tchebychev, en su intento de demostrar esta conjetura, obtiene que existen dos constantes c₁ y c₂ verificando 0 < c₁ ≤ 1 ≤ c₂ < ∞ tales que

c₁ · n / log(n) ≤ π(n) ≤ c₂ · n / log(n)

En 1881, James J. Sylvester da otro resultado similar pero mucho más fino; a saber, que 0,96695 ≤ c₁ ≤ 1 ≤ c₂ ≤ 1,04423

El teorema del número primo nos da una aproximación asintótica al valor de π(n) y se expresa de la siguiente forma:

Fue demostrado en primer lugar por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896 basándose en algunas propiedades de la función Zeta de Riemann.

Una mejor aproximación de π(x) es la función Li(x).

lo cual equivale a decir que

se aproxima mejor a π(n) que n/log(n).

En 1901, Koch demuestra que la Hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad  | π(x) - Li(x) | ≤ c·√x·ln(x) para alguna constante c. Erdös en 1949 y Selberg en 1950 dieron demostraciones más sencillas en el sentido que no se apoyan en "herramientas de gran calibre" como la función zeta o similares.

Para valores de n no demasiado grandes se comprobó que π(n) < Li(n), lo cual dio lugar a la conjetura de que la desigualdad se verificaba para todo valor de n. Sin embargo, la conjetura fue refutada en 1914 por Littlewood al demostrar que ambas funciones se cruzan infinitas veces. Skewes demostró posteriormente que el primer encuentro de ambas funciones ocurre para un n menor que 10^(10^(10^(34))). Este número ha sido reducido después hasta 10³⁷¹.

x	π(x)	Li(x)-π(x)	θ(x)	Comments
106	78,498	129	-0.209
107	664,579	336	-0.1809
108	5,761,455	753	-0.1339	Meissel 1871
109	50,847,534	1,700	-0.0994	Meissel 1886 (Corrected)
1010	455,052,511	3,103	-0.0594	Lehmer 1959 (Corrected)
1011	4,118,054,813	11,587	-0.0725
1012	37,607,912,018	38,262	-0.0781
1013	346,065,536,839	108,970	-0.0723	Bohmann 1972 (Corrected)
1014	3,204,941,750,802	314,889	-0.0678	Lagarias Miller Odlyzko 1985
1015	29,844,570,422,669	1,052,618	-0.0735	LMO 1985
1016	279,238,341,033,925	3,214,631	-0.0726	LMO 1985
1017	2,623,557,157,654,233	7,956,588	-0.0581	Deléglise Rivat 1994
1018	24,739,954,287,740,860	21,949,554	-0.05177	Deléglise Rivat 1994
1019	234,057,667,276,344,607	99,877,774	-0.0760	Deléglise 1996
1020	2,220,819,602,560,918,840	222,744,643	-0.0546	Deléglise 1996
2*1020	4,374,267,703,076,959,271	472,270,046	-0.0823	X. Gourdon 2000 Nov
1021	21,127,269,486,018,731,928	597,394,253	-0.0471	X. Gourdon 2000 Nov
2*1021	41,644,391,885,053,857,293	1,454,564,714	-0.0816	pi(x) project, 2000 Dec
4*1021	82,103,246,362,658,124,007	1,200,472,717	-0.0479	pi(x) project, 2000 Dec
1022	201,467,286,689,315,906,290	1,932,355,207	-0.0491	pi(x) project, 2000 Dec
1.5*1022	299,751,248,358,699,805,270	2,848,114,312	-0.0592	P. Demichel, X. Gourdon, 2001 Feb
2*1022	397,382,840,070,993,192,736	2,732,289,619	-0.0493	pi(x) project, 2001 Feb
4*1022	783,964,159,847,056,303,858	5,101,648,384	-0.0655	pi(x) project, 2001 Mar (Current world record)

(Añadir Hardy-Wright pag 10)

Números de Fermat

    Un número de Fermat es un número de la forma 2^2ⁿ + 1. La sucesión de números de Fermat para n = 0, 1, 2, ... sería entonces 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ... Cada uno de ellos duplica (o casi) al anterior en número de cifras, lo cual da una idea de la rapidez con la que crecen. Fermat comprobó que los cinco primeros números eran primos y conjeturó que posiblemente todos ellos lo fuesen.

El gran cíclope (Euler) fue el encargado de desmentir esta hipótesis al demostrar que F₅ = 4294967297 es divisible por 641. Además hasta la fecha (abril 2007) no se han vuelto a encontrar más primos entre los números de Fermat.

Factores de los números de Fermat son:

274.177 de F₆, 59.649.589.127.497.217 de F₇, 1.238.926.361.552.897 de F₈, 2.424.833 de F₉, 45.592.577 de F₁₀, ...

Primos de Mersenne y números perfectos

    A los números primos de la forma 2ⁿ-1 se les llama primos de Mersenne. Es fácil demostrar que si 2ⁿ-1 es primo, entonces n debe ser primo. Si suponemos que n es compuesto, pongamos n = a·b (a, b>1), entonces

2ⁿ-1 = (2^a)^b-1 = (2^a-1)·(2^a(b-1) + 2^a(b-2) +  ... + 2^a + 1)

y por lo tanto 2ⁿ-1 también es compuesto. Pero el hecho de que n sea primo no asegura que 2ⁿ-1 sea primo. Una propiedad destacable es que si p es primo y 2^p-1 es compuesto entonces sus factores son de la forma 2kp+1. Por ejemplo pero 2¹¹-1 = 2047 = 23·89 y 23 = 2·11+1, 89 = 8·11+1.

Todavía no se sabe si el número de primos de Mersenne es finito o infinito (diciembre 2010)

    Un número entero se llama perfecto si es igual a la suma de sus divisores (sin contar el propio número). Los casos más sencillos son 6=1+2+3 y 28=1+2+4+7+14. Euclides demostró que si 2ⁿ-1 es un número primo, entonces 2^n-1(2ⁿ-1)  es un número perfecto. Euler demostró que todos los números perfectos pares son de este tipo. Por tanto, no se sabe si hay una cantidad finita o infinita de números perfectos. Tampoco se sabe si existe algún número perfecto que sea impar. 

Tabla de números primos de Mersenne conocidos (diciembre 2010)

Exponente	Dígitos	Año	Descubridor
2	1
3	1
5	2
7	3
13	4	1456	Anónimo (H.Regius1)
17	8	1588	Cataldi   (J. Scheybl2)
19	10	1588	Cataldi
31	12	1772	Euler
61	19	1883	Pervushin
89	27	1911	Powers
107	33	1914	Powers
127	39	1876	Lucas
521	157	1952	Robinson
607	183	1952	Robinson
1279	386	1952	Robinson
2203	664	1952	Robinson
2281	687	1952	Robinson
3217	969	1937	Riesel
4253	1.281	1961	Hurwitz
4423	1.332	1961	Hurwitz
9689	2.917	1963	Gillies
9941	2.993	1963	Gillies
11213	3.376	1963	Gillies
19937	6.002	1971	Tickerman
21701	6.533	1978	Noll y Nickel
23209	6.987	1979	Noll
44497	13.395	1979	Nelson y Slowinski
86243	25.962	1982	Slowinski
110503	33.265	1988	Colquitt y Welsh
132049	39.751	1983	Slowinski
216091	65.050	1985	Slowinski
756839	227.832	1992	Slowinski y Gage
859433	258.716	1994	Slowinski y Gage
1257787	378.632	1996	Slowinski y Gage
1398269	420.921	1996	GIMPS (Armengaud, Woltman, et. al.)
2976221	895.932	1997	GIMPS (Spence, Woltman, et. al.)
3021377	909.526	1998	GIMPS, PrimeNet  (Clarkson, Woltman, Kurowski et. al.)
6972593	2.098.960	1999	GIMPS (Hajratwala, Woltman, Kurowski et. al.)
13466917	4.053.946	2001	Michael Cameron (GIMPS, PrimeNet)
20996011	6.320.430	2003	Michael Shafer's (GIMPS, PrimeNet)

Nota: No se han incluido los últimos primos (que si aparecen en la tabla de abajo) porque aunque se sabe quien es la madre  todavía no sabemos quien es el padre; quiero decir, que se sabe que son primos de Mersenne, pero no se sabe si son los que siguen inmediatamente a los anteriores.

(1) Aunque el quinto número perfecto (primo de Mersenne) 

Cazando primos titánicos

Los números primos más grandes conocidos hoy (diciembre de 2010) son:

Primo	Dígitos	Fecha	Nombre	Descubridor
243112609-1	12.978.189	2008	Mersenne 47??
242643801-1	12.837.064	2009	Mersenne 46??
237156667-1	11.185.272	2008	Mersenne 45??
232582657-1	9.808.358	2006	Mersenne 44??
230402457-1	9.152.052	2005	Mersenne 43??
225964951-1	7.816.230	2005	Mersenne 42?
224036583-1	7.235.733	2004	Mersenne 41?	Josh Findley (GIMPS, PrimeNet)
220996011-1	6.320.430	2003	Mersenne 40	Michael Shafer's (GIMPS, PrimeNet)
213466917-1	4.053.946	2001	Mersenne 39	Michael Cameron (GIMPS, PrimeNet)
27653.29167433+1	2.759.677	2005	x
28433.27830457+1	2.357.207	2004	x
26972593-1	2.098.960	1999	Mersenne 38	Hajratwala, Woltman, Kurowski et. al. (GIMPS, PrimeNet)
5359.25054502+1	1.521.561	2003	x
4847.23321063+1	999.744	2005	x
23021377-1	909.526	1998	Mersenne 37	Clarkson, Woltman, Kurowski et. al. (GIMPS, PrimeNet)
22976221-1	895.932	1997	Mersenne 36	Spence, Woltman, et. al. (GIMPS)
1372930131072+1	804.474	2003	Fermat General
1361244131072+1	803.988	2004	Fermat General
1176694131072+1	795.695	2003	Fermat General

La conjetura de los primos gemelos

Dos primos se llaman gemelos si se diferencian en dos unidades. Por ejemplo 5 y 7 ó también 29 y 31. Saber si hay una cantidad finita o infinita de tales parejas es un problema abierto en mayo de 2007, aunque se cree ampliamente que hay infinitos.

En 1919 Viggo Brun demostró que la suma de los inversos de los primos gemelos converge a un número que llamaremos la constante de Brun para primos gemelos. Se representa como B₂ y su valor se estima en torno a 1.902160583104. 

Alfonso de Polignac (1817-1890) fue un matemático francés que conjeturó que para cada número natural k>0, existen infinitas parejas de primos que están a una distancia de 2k. El caso k=1 es la conjetura de los primos gemelos.

De forma similar al teorema del número del número primo, la conjetura de Hardy-Littlewood postula que el número de primos p£ N, tales que p+2 es también primo se aproxima asintóticamente a 2·C₂·N/(Ln N)², donde C₂ = 0,6601618158... 

En 1940, Paul Erdös demuestra que existe una constante c<1 0="" 1986="" 2004="" 2005="" a.="" a="" al="" arbitrariamente="" c="" con="" de="" debe="" demuestra="" denota="" donde="" e="" el="" en="" fue="" infinitos="" los="" mayor="" mejorando.="" menor="" mero="" n="" os="" p="" paso="" peque="" primo="" primos="" que="" resultado="" se="" ser="" sigue="" tales="">

En 1966, Chen Jingrun demuestra que existen infinitos primos p tales que p + 2 es o primo o semiprimo (producto de dos primos).

En febrero de 2012, la conjetura sigue abierta. 

Curiosidades

La constante 0.235711131719232931374143..., obtenida concatenando los números primos es un número irracional.

Los primeros números de la sucesión de Fibonacci que son primos son 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ... No se sabe todavía si hay infinitos primos es esta famosa sucesión (2007)

Citas

Los matemáticos han intentado en vano hasta hoy descubrir algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio en el que la mente humana nunca podrá penetrar (Leonhard Euler)
"Mathematicians have tried in vain to this day to discover some order in the sequence of prime numbers, and we have reason to believe that it is a mystery into which the human mind will never penetrate." — Leonhard Euler

Puede que Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo extraño está pasando con los números primos (Paul Erdös)
"God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbers." — Paul Erdös

Cómo se protege la cigarra con números primos. 

Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim , tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de las raíces de los árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos y mueren.

La cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es tan largo? Qué quiere decir que el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales que son un número primo de años dan algún tipo de ventaja para la conservación de la vida.

Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos, de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo vital que sea divisible por 2, sinó el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De esta manera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital divisible por 3, si no el parásito y la cigarra volverán a coincidir. . Al fin, si se quiere evitar de encontrase con su parásito, la mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un número primo de años. Como nada dividirá el 17, la Magicicada septendecim raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años, solo se encontrarán cada 34 años, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años por ej., sólo se encontrarán cada 272 (16 x 17) años.

En su turno, el parásito, si quiere luchar, sólo tiene dos ciclos vitales que incrementan la frecuencia de las coincidencias: el del ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las 16 primeras apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero durante un ciclo vital de 16 años. Esto significaría que, en algún estadio evolutivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidirán durante 272 años! En cualquier caso, el largo ciclo vital de las cigarras, y el número primo de años, las protege.

¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca! En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente ha continuado alargando su ciclo vital, hasta conseguir traspasar la barrera de los 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto su falta de coincidencia con las cigarras le habrá llevado a la extinción. El resultado es una cigarra con un ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace ninguna falta porque su parásito ya no existe.

Bibliografía: página 128 de "El enigma de Fermat"

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"The Agrawal -Kayal -Saxena Test

The answer is "yes", according to three computer scientists Indian Institute of Technology in Kanpur (IITK) named Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, and Nitin Saxena. They devised a new "Monte Carlo" test based on a corollary of Fermat's prime theorem, then found a small set of r's that would determine if a number is prime guaranteed.

The pseudo algorithm goes as follows:

1. Input: Integer n > 1
2. if (n has the form ab with b > 1) then output COMPOSITE;
3. r := 2;
4. while (r < n) {
5. if (gcd(n,r) is not 1) then output COMPOSITE;
6. if (r is prime greater than 2) then {
7. let q be the largest factor of r-1;
8. if (q > 4sqrt(r)log n) and (n(r-1)/q is not 1 (mod r)) then
9. break;
10. }
11. r := r + 1;
12. }
13. for a := 1 to 2sqrt(r)log n {
14. if ( (x-a)n is not (xn-a) (mod xr-1,n) ) then output COMPOSITE;
15. }
16. output PRIME;

While understanding how it works is a bit difficult, the routine is fairly easy to follow, except line 14. So, let me explain line 14 first. It is based on this corollary to Fermat's Little Prime Theorem:

Theorem A: Suppose that a and p are relatively prime integers with p > 1. p is prime if and only if
(x - a)p º (xp - a) (mod p)

Proof. If p is prime, then p divides the binomial coefficients pCr for r = 1, 2, ... p-1. This shows that (x-1)p = (xp-ap) (mod p), and the equation above follows via Fermat's Little Theorem. On the other hand, if p > 1 is composite, then it has a prime divisor q. Let qk be the greatest power of q that divides p. Then qk does not divide pCq and is relatively prime to ap-q, so the coefficient of the term xq on the left of the equation in the theorem is not zero, but it is on the right.

The key to understanding this theorem is to recognize that x is meaningless here. We only really care about the coefficients of the polynomial (x - a)p. As you may recall from Algebra, raising a binomial to a power p results in a polynomial of degree p with p + 1 terms.

All but the first and the last term are going to be positive or negative integers with absolute value > 1. If p is prime and a is relatively prime to p, then all of these coefficients will be divisible by p, thus modulo p of each term = 0 except for the first term xp and the last term -ap (which modulo p = -a, since a and p are relatively prime).

The problem is that it still takes exponential time to determine if p is prime using this test, because you have to calculate p-1 coefficients and divide all by p to see if there is a remainder.

In 1999, Dr. Agrawal proposed a monte carlo test, which you can read about here, based on this theorem. To shorten the test and bring it in P, the polynomial (x - a)p would be shortened by applying modulo xr - 1, which is just a fancy but short way of saying "lets just look at the last r terms of (x - a)p" (4).

If r is sufficiently large enough, the only composite numbers that will sneak in are powers of odd primes which can be tested for separately using a much easier test also in P. If you look at the algorithm, line 2 does exactly that test.

This make sense, because if you look at Pascal's Triangle, all of the binomial coefficients in which n = prime or a power of an odd prime are all divisible by n (except for the 1's at the beginning and the ending of each line). In the first 10 lines of Pascal's triangle, all of the numbers in lines 2, 3, 5, 7, and 9 are divisible by the line number, while lines 4, 6, 8 and 10 have numbers that are not divisible, all being composites. Line 9 is the only odd line since it is a power of an odd prime (3*3) (5).

So, to make a deterministic test in P, all we need to do is select an r big enough to rule out all composite p's that are not powers of primes, but small enough to keep the complexity (growth) of the routine from being exponential.

In 2000, Kayal and Saxena used an unproven conjecture to to determine that r does not need to exceed 4(log2 p), this paper can be found here. Thus, the time complexity of their routine is an amazing O(log3 n) and easily in P. Still, an unproven conjecture is an unproven conjecture.

Instead of trying to prove the conjecture, what Drs. Agrawal, Kayal, and Saxena did was use a proven prime theorem relating to Sophie Germain Primes. They proved that if you find a Sophie Germain pair of primes q and 2q +1 such that q > 4(sqrt(2q +1)) log p, then r does not need to exceed 2(sqrt(2q + 1) log p. Their paper can be found here. A peer review that details the theorem can be found here.

The biggest negative of this fix, is that the resulting test for primes becomes a recursive test as you can see from line 6 of the algorithm above. In order to test for prime p we have to test for prime r, etc. This causes our nice little O(log3 n) test to grow to an unwieldy but still polynomial O(log12 n).

So the explanation of the Algorithm is as follows:

* Line 1 inputs n
* Line 2 determines if n is a power of an odd prime (the only case that the rest of the routine will fail on) and returns COMPOSITE if it is.
* Line 3 and 4 initialize the first required loop of r that ends on line 11 and 12.
* Line 5 determines if n and r are relatively prime (required by the Theorem A).
* Line 6 determines if r is prime, thus requiring a recursive call to the routine with r as the input.
* Lines 6 to 10 find the required Sophie Germain pair of primes and sets r to the highest of the two.
* Lines 13 to 15 are the second loop of a.
* Line 14 plugs in values a and r to Agrawal's prime test.

Now as far as I know, no one has written an actual computer program to apply this test (though there are no doubt some graduate students at IITK working on doing just that.), and because of the large -- but still polynomial -- complexity, it may prove too much of a memory burden to test on really big numbers.

The real importance of this discovery is that finding primes is indeed in P, making much easier routines theoretically possible. This has been a goal of mathematicians now for 2200 years."