Educación básica - Matemáticas

Propiedades de la multiplicación

Muchas veces los niños usan las propiedades de la multiplicación sin llegar a entenderlas correctamente y sin saber muy bien porqué funcionan. A través de estos ejemplo vamos a intentar que lo entiendan mejor.

Pedimos a Carlos que sume 60 + 30 y contesta que “60 más 30 son 90 porque 6 más 3 son 9 y añadiendo un cero al final tengo 90”

Muchos estudiantes aprenden a hacer este “truco” y es correcto, ¿pero saben por qué funciona? Simbólicamente, podemos expresarlo de la siguiente manera:

Una de las propiedades de la multiplicación, la propiedad distributiva, está implícita en el cálculo, ¿os habéis dado cuenta?

Ahora veamos otro ejemplo preguntando a los hermanos gemelos de Carlos, Arón y Hugo, cuánto da 8 x 6.

Arón no se acordaba de que 8 x 6 era 48, pero sí sabía que era igual que 8 x 5 más 8.  Así que hizo “8 por 5 igual a 40, a 40 le sumo 8  y me da 48. Así que 8 por 6 es igual a 48”. Arón está en lo correcto, 8 por 6 es 48, ¿verdad?

Nosotros podemos expresarlo de la siguiente manera:

Y aquí vemos de nuevo la propiedad distributiva de la multiplicación implícitamente.

Sin embargo Hugo, ha llegado a la misma solución pero de diferente manera.

“Yo no me acuerdo de cuánto da 8 x 6 porque la tabla del 8 no me la sé muy bien aún, pero la del 6 sí que me la sé y 6 x 8 da 48, por lo tanto 8 x 6 es 48.”

¿Alguien se ha dado cuenta de qué propiedad de la multiplicación ha usado? Efectivamente,Hugo ha usado la propiedad conmutativa. ¡Excelente!

Conocer y entender bien las propiedades de los números y de las operaciones ayuda a que el aprendizaje de la aritmética sea más eficiente y ofrece formas diferentes y más flexibles de aplicar lo aprendido en otros campos como en el álgebra, la geometría o la resolución de problemas.

Aplicaciones de las propiedades de la multiplicación.

¿Cuándo aplicamos la propiedad distributiva? Entre todas las aplicaciones que tiene ponemos dos casos:

• Para hacer multiplicaciones de números grandes de forma más sencilla.

Ejemplo 1

102 x 5 = (100 + 2) x 5 = 100 x 5 + 2 x 5 = 500 + 10 = 510

Ejemplo 2

225 x 2 = (200 + 25) x 2 = 200 x 2 + 25 x 2 = 400 + 50 = 450

• Para resolver ecuaciones.

Ejemplo 3

3 x (5 + A) = 45

3 x 5 + 3 x A = 45

15 + 3 x A = 45

3 x A = 45 – 15

3 x A = 30

A = 10

¿Cuándo aplicamos la propiedad asociativa?

• Para multiplicar de forma más sencilla más de dos números.

Ejemplo 4

(4  x 15) x 2 = 4  x (15 x 2) = 4 x 30= 120

Para terminar, ¿cuándo aplicamos la propiedad conmutativa?

• A la hora de aprenderse las tablas de multiplicar.

Sabiendo que el orden de los factores no varía el producto, no es necesario aprenderse todas las tablas enteras, fijaros en estas tablas de multiplicar simplificadas

División: diferencias entre latinos y anglosajones

 diferencias al resolver una división entre España y otros países latinos frente al sistema anglosajón.

Partimos de la base de que ya sabemos dividir y que solamente estamos comparando métodos.

Está claro: ambos son perfectamente válidos y fiables para resolver cualquier tipo de divisiónya que, como comentamos en el post en el que introducíamos este tema: “Matemáticas, lengua universal”, los conceptos sobre los que se construyen los procesos de las matemáticas(o se deberían construir cuando se enseñan bien) son los mismos en todo el mundo.

En este caso se trata sobre todo de la manera distinta de ordenar los elementos que interviene en la propia división. Vayamos paso a paso, primero creemos un contexto que le dé sentido a la existencia de estas operaciones ya que las división no existirían si no fueran necesarias.

Imaginemos la siguiente situación:

Tres amigos van a alquilar una casa cerca de la playa para pasar allí sus vacaciones de verano. El alquiler de toda la casa es de 489€ todo el mes. ¿Cuánto tendrá que pagar cada uno?

Para saber el resultado necesitamos calcular la división de 489€ entre 3 amigos.

¡Vamos a ello! A la izquierda situamos el desarrollo del algoritmo que se utiliza en España y la derecha el anglosajón e iremos resolviendo ambos al tiempo.

• Como se puede observar, la disposición inicial es similar, los elementos que intervienen son exactamente los mismos: dividendo, divisor y para separar ambos, una “caja”. La diferencia reside en donde se sitúa cada elemento.
• Para facilitar la comprensión vamos a poner todos los cálculos que se realizan en ambos casos.
  
• En ambos casos, lo primero que hacemos es buscar un cociente que multiplicado por el divisor nos de la cifra más cercana a la parte del dividendo que buscamos, en este caso 4. Obtenemos el 1.
• Como se puede observar, otra de las diferencias está en la posición del cociente: en el sistema español el cociente se escribe debajo del divisor y en el algoritmo inglés lo ponemos encima del dividendo.
• Luego, en las dos formas debemos restar al dividendo la cifra que hemos obtenido de multiplicar cociente y divisor.
• Por último bajamos la siguiente cifra del divisor y la añadimos el resultado de la resta (en este caso 1 y 8 forman el 18).
• En este punto el proceso se vuelve a repetir tantas veces como sea necesario.

• Con este ejemplo se puedo observar que el resultado es el mismo (evidentemente, una división es una división) y que los dos siguen las mismas estructuras de cálculo. Se podría decir que la diferencia está en la ordenación de los elementos que forman la división.
• Es verdad que la tendencia del sistema que se utiliza en España es la de hacer muchos de todos estos procesos mentalmente, sobre todo las restas de los divisores, mientras en el sistema anglosajón se mantienen.